5.3.2 命题、定理、证明

5.3.2 命题、定理、证明
刷基础
题型1 命题的定义
1.[2019江苏徐州铜山区期末]下列句子中，是命题的是（ ）
A.画一个角等于已知角
B.a ，b 两条直线平行吗
C.对顶角相等
D.过一点画已知直线的垂线
1.C 【解析】A 、B 、D 选项都没有对一件事情作出任何判断，都不是命题.C 选项作出了判断，是命题.
2.下列语句不是命题的是（ ）
A.解方程35913x x +=-
B.整数是有理数
C.一个数的绝对值不小于原数
D.负数的偶次幂是正数
2.A 【解析】B 、C 、D 选项都对事情作出了判断，只有A 选项没有作出任何判断，故A 选项不是命题.
题型2 命题的组成
3.命题“只有符号不同的两个数互为相反数”的题设是（ ）
A.两个数的符号不同
B.两个数只有符号不同
C.两个数互为相反数
D.只有符号不同
3.B 【解析】原命题可以改写为“如果两个数只有符号不同，那么这两个数互为相反数”，“如果”后面的部分是题设，故B 正确.
4.[2019安徽阜阳颖泉区校级月考]命题“绝对值相等的两个数互为相反数”.
（1）将命题改写成“如果……那么……”的形式.
（2）写出该命题的题设和结论.
4.【解】（1）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数.
（2）题设是两个数的绝对值相等，结论是这两个数互为相反数.
题型3 命题的真假
5.[2019湖北随州曾都区校级期中]下列命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行；②直线外一点到这条直线的垂线段，就是这一点到这条直线的距离；③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行.其中真命题的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
5.A 【解析】两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行，①错误；直线外一点到这条直线的垂线段的长度，就是这一点到这条直线的距离，②错误；在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，③正确；在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，④错误.故选A.
6.下列命题是假命题的是（ ）
A.方程28x =的解是4x =
B.236+≠
C.经过同一平面内的任意三点中的两点一定能画三条直线
D.a 是非负数
6.C 【解析】若同一平面内的三点在一条直线上，则经过这三点中的任意两点画不出三条直线，故C 选项是假命题.
7.下列命题是真命题还是假命题？说明理由.
（1）一个数的平方大于原数；
（2）如果x y =，那么55x y +=+.
7.【解】（1）假命题.理由：若一个数为0.1，20.10.01=，0.010.1<，故该命题是假命题.
（2）真命题理由：因为x y =（已知），所以55x y +=+（等量加等量，和相等）.
题型4 举反例判断假命题
8.下列各数可以用来说明命题“任何偶数都是4的整数倍”是假命题的反例是（ ）
A.4
B.8
C.12
D.18
8.D 【解析】18是偶数，但不是4的整数倍.
9.[2019福建福州三模]说明命题“若4x >-，则216x >”是假命题的一个反例可以是________.
9.3x =-（答案不唯一） 【解析】若3x =-，则29x =，条件满足，但916<，结论不成立.
题型5 定理与证明
10.[2019广东中山期中]下列命题是定理的是（ ）
A.内错角相等
B.同位角相等，两直线平行
C.一个角的余角不等于它本身
D.在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直
10.B 【解析】A 选项，内错角相等，需要有前提条件“两直线平行”，是假命题；B 选项，同位角相等，两直线平行，是真命题，也是定理；C 选项，一个角的余角可以等于它本身，如45°，是假命题；D 选项，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题.故选B.
11.[2019江苏南京鼓楼区校级月考]如图，从①12∠=∠，②C D ∠=∠，③A F ∠=∠三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题.
（1）这三个命题中，真命题的个数为________；
（2）选择一个真命题，并且证明.（要求写出每一步的依据）
11.【解】（1）由①②，得③；由①③，得②；由②③，得①均为真命题，故答案为3.
（2）（答案不唯一）选①②为条件，③为结论.如图所示，
∵12∠=∠（已知），13∠=∠（对顶角相等），
∴32∠=∠（等量代换），
∴DB//EC （同位角相等，两直线平行），
∴4D ∠=∠（两直线平行，同位角相等）.
∵C D ∠=∠（已知），
∴4C ∠=∠（等量代换），
∴DF//AC （内错角相等，两直线平行），
∴A F ∠=∠（两直线平行，内错角相等）.
刷提升
1.[2019四川南充期末]下列语句中，不是命题的是（ ）
A.非负数大于0
B.同位角不一定相等
C.画两条平行线
D.若∠1与∠2互补，则1290∠+∠=︒
1.C 【解析】A 、B 、D 选项都对事情作出了判断，只有C 选项没有作出任何判断，故C 选项不是命题.故选C.
2.[2019甘肃陇南徽县期末]下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等，两直线平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④互补的角是邻补角.其中真命题的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
2.C 【解析】①对顶角相等，是真命题；②内错角相等，两直线平行，是真命题；③平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题；④互补的角不一定是邻补角，是假命题.故选C.
3.下列选项中，可以用来证明命题“若21a >，则1a >”是假命题的反例是（ ）
A.2a =-
B.1a =-
C.1a =
D.2a =
3.A 【解析】若2a =-，则241a =>，条件满足，但21-<，即1a <，结论不成立.故“若21a >，则1a >”是假命题.
4.下列说法正确的是（ ）
A.命题是定理，定理是命题
B.命题不一定是定理，定理不一定是命题
C.真命题有可能是定理，假命题不可能是定理
D.定理可能是真命题，也可能是假命题
4.C 【解析】命题不一定是定理，A 选项错误；定理一定是命题，B 选项错误；定理不可能是假命题，D 选项错误；C 选项正确，故选C.
5.某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14.”乙说：“两项都参加的人数小于5.”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题是（ ）
A.若甲对，则乙对
B.若乙对，则甲对
C.若乙错，则甲错
D.若甲错，则乙对
5.B 【解析】若甲对，即只参加一项的人数大于14，不妨设只参加一项的人数是15，则两项都参加的人数是5，故乙错；若乙对，即两都参加的人数小于5，则两项都参加的人数至多为4，此时只参加一项的人数为16，故甲对.故选B.
6.“同角的余角相等”是一个________命题；“两个锐角之和是钝角”是一个________命题.（填“真”或“假”）
6.真 假 【解析】“同角的余角相等”是余角的性质，是真命题；两个锐角之和不一定是钝角，如两个1°的角之和是2°，和仍是锐角，故是假命题.
7.下列语句：
①整数一定是有理数；
②画直线AB；
③直角都相等；
④如果1
x+>；
x=-，那么10
⑤我下次考试能得满分吗？
其中是命题的是________.（填序号）
7.①③④【解析】②⑤没有对一件事情作出任何判断，不是命题；①③④符合命题的定义，是命题.
8.将命题“内错角相等”改写成“如果……那么……”的形式为________________________.
8.如果两个角是内错角，那么这两个角相等【解析】根据命题的构成，题设是两个角是内错角，结论是这两个角相等，故原命题可改写为如果两个角是内错角，那么这两个角相等.
9.命题“两个互余的角中，一个小于45°，另一个大于45°”的题设是________，结论是_____________________.
9.两个角互余这两个角一个小于45°，另一个大于45°【解析】原命题可以写成如果两个角互余，那么这两个角一个小于45°，另一个大于45°.“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论.
10.[2019安徽马鞍山和县期末]指出下列命题的题设和结论，并判断其真假，如果是假命题，举出一个反例.
（1）邻补角是互补的角；
（2）同位角相等.
10.【解】（1）题设是两个角是邻补角，结论是这两个角互补，是真命题.
（2）题设是两个角是同位角，结论是这两个角相等，为假命题，
∠≠∠.
反例：如图，∠1和∠2是同位角，但12
11.如图，DP平分∠ADC交AB于点P，90
∠+∠=︒，那么∠2和∠4相等吗？说明理由.
∠=︒，如果1390
DPC
∠=∠.理由如下：
11.【解】24
因为DP平分∠ADC（已知），
所以34
∠=∠（角平分线的定义）.
因为180
∠=︒（平角的定义），
APB
且90
∠=︒（已知），
DPC
所以1290
∠+∠=︒（等式的性质）.
又因为1390
∠+∠=︒（已知），
所以23
∠=∠（同角的余角相等）.
∠=∠（等量代换）.
所以24
12.[2019安徽阜阳颖州区校级月考]如图，现有以下3个论断：BD//EC；D C
∠=∠.
∠=∠；A F （1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？
（2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明.
12.【解】（1）由BD//EC ，D C ∠=∠，得到A F ∠=∠；由BD//EC ，A F ∠=∠，得到D C ∠=∠；由A F ∠=∠，D C ∠=∠，得到BD//EC ；能组成3个命题.
（2）由BD//EC ，D C ∠=∠，得到A F ∠=∠，是真命题.理由如下：
∵BD//EC ，∴ABD C ∠=∠.
∵D C ∠=∠，∴ABD D ∠=∠，
∴AC//DF ，∴A F ∠=∠.
由BD//EC ，A F ∠=∠，得到D C ∠=∠，是真命题.理由如下：
∵BD//EC ，∴ABD C ∠=∠.
∵A F ∠=∠，∴AC//DF ，
∴D ABD ∠=∠，∴D C ∠=∠.
由A F ∠=∠，D C ∠=∠，得到BD//EC ，是真命题.理由如下：
∵A F ∠=∠，∴AC//DF ，∴D ABD ∠=∠.∵D C ∠=∠，
∴ABD C ∠=∠，∴BD//EC .
5.2~5.3综合训练
刷综合
1.如图，把教室中墙壁的棱看作直线的一部分，那么下列表示两条棱所在的直线的位置关系不正确的是（ ）
A.AB BC ⊥
B.AD//BC
C.CD//BF
D.AE//BF
1.C 【解析】由图可知，CD 与BF 不平行，故C 选项表示的位置关系不正确，故选C.
2.[2019河南南阳宛城区二模]如图，180∠=︒，280∠=︒，384∠=︒，则4∠=（ ）
A.84°
B.94°
C.86°
D.96°
2.D 【解析】如图，∵180∠=︒，280∠=︒，∴12∠=∠，∴AB//CD ，∴34180∠+∠=︒.∵384∠=︒，∴496∠=︒，故选D.
3.[2018江苏苏州期中]如图，有下列判定，其中正确的有（）
①若13
∠=∠，则AD//BC；
②若AD//BC，则123
∠=∠=∠；
③若13
∠=∠；
∠=∠，AD//BC，则12
④若34180
∠+∠+∠=︒，则AD//BC.
C
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.B【解析】正确的是③④，共2个.故选B.
4.一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向平行，则这两次拐弯的角度不可能是（）
A.第一次向左拐40°，第二次向右拐40°
B.第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C.第一次向右拐60°，第二次向右拐120°
D.第一次向左拐110°，第二次向右拐110°
4.B【解析】两次转弯后仍与原来的方向平行，那么要求：如果都是向左（或右）拐，则两个拐角互补；如果一左一右拐，则拐角相同.由此断定这两次拐弯的角度不可能是B.故选B.
5.[2019河北唐山迁西期末]已知：如图，12
∠=∠，3E
∠=∠.（请按图填空，并补理由）
∠=∠，试说明：A EBC
证明：∵12
∠=∠（已知），
∴________∥________（________________）.
∴E
∠=∠________（________________）.
又∵3
∠=∠（已知），
E
∴3
∠=∠________（等量代换），
∴________∥________（内错角相等，两直线平行），
∴A EBC
∠=∠（________________）.
5.DB EC内错角相等，两直线平行 4 两直线平行，内错角相等 4 AD BE两直线平行，同位角相等
6.如图所示，如果A C
∠+∠=︒，DA平分∠BDF，那么BC平分∠DBE.请说明理由.
∠=∠，12180
6.【解】如图，∵12180∠+∠=︒，25180∠+∠=︒，
∴15∠=∠，∴AB//CD ，
∴7C ∠=∠，3A ∠=∠.
又∵A C ∠=∠，∴7A ∠=∠，
∴AD//BC ，∴64∠=∠.
∵DA 平分∠BDF ，
∴34∠=∠，∴4A ∠=∠，
∴6A ∠=∠，∴67∠=∠，
∴BC 平分∠DBE .
7.[2019湖北孝感孝南区期末，难]如图，已知180BAD ADC ∠+∠=︒，AE 平分∠BAD ，CD 与AE 相交于点F ，DG 交BC 的延长线于点G ，CFE AEB ∠=∠.
（1）若87B ∠=︒，求∠DCG 的度数；
（2）AD 与BC 是什么位置关系？并说明理由；
（3）若BAD α∠=，DGC β∠=，直接写出α，β满足什么数量关系时，AE//DG .
7.【解】（1）∵180BAD ADC ∠+∠=︒，
∴AB//CD ，
∴87DCG B ∠=∠=︒.
（2）AD//BC .理由如下：
∵AB//CD ，
∴BAF CFE ∠=∠，
又∵AE 平分∠BAD ，
∴BAF FAD ∠=∠，∴DAF CFE ∠=∠.
∵CFE AEB ∠=∠，
∴DAF AEB =∠，∴AD//BC .
（3）当2αβ=时，AE//DG .理由如下：
∵AD//BC ，∴DAF AEB ∠=∠.
∵AE 平分∠BAD ，∴22BAD DAF AEB ∠=∠=∠.
当AE//DG 时，AEB DGC ∠=∠，
∴2BAD DGC ∠=∠，∴2αβ=.
专题2 平行线的性质与判定中常用的辅助线
刷难关
类型1 过“拐点”作平行线
1.[2018河南洛阳模拟]如图所示，AB//EF ，35B ∠=︒，25E ∠=︒，则C D ∠+∠的值为________.
1.240° 【解析】如图所示，过点C 作CG//AB ，过点D 作DH //EF .∵AB//EF ，∴AB//EF //CG//DH ，∴135B ∠=∠=︒，225E ∠=∠=︒，180GCD HDC ∠+∠=︒.∴3518025240BCD CDE ∠+∠=︒+︒+︒=︒，即C D ∠+∠的值为240°.
2.[2019山东枣庄校级期末]一个小区大门的栏杆如图所示，BA 垂直于地面AE 于点A ，CD 平行于地面AE ，那么ABC BCD ∠+∠=________.
2.270° 【解析】如图，过点B 作BH //AE .∵CD//AE ，∴CD//BH //AE ，∴180C CBH ∠+∠=︒.∵AB AE ⊥，∴90BAE ∠=︒，∴90ABH ∠=︒，∴18090270ABC BCD ∠+∠=︒+︒=︒.
3.[2019上海浦东新区期中]如图，直线l 与直线m 平行，167∠=︒，225∠=︒，则3∠=________.
3.42° 【解析】如图，过∠3的顶点作直线a//直线l .∵直线l 与直线m 平行，∴l//m//a .∵167∠=︒，∴43167∠+∠=∠=︒.∵225∠=︒，∴4225∠=∠=︒，∴367442∠=︒-∠=︒.
4.如图，已知AB//DE ，80B ∠=︒，140D ∠=︒，求∠BCD 的度数.
4.【解】如图，过点C 作GH //DE .
∵GH //DE ，
∴180DCH D ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）.
∵140D ∠=︒，
∴18040DCH D ∠=︒-∠=︒.
又∵AB//DE ，
∴AB//GH （平行公理的推论），
∴80BCH B ∠=∠=︒（两直线平行，内错角相等），
∴40BCD BCH DCH ∠=∠-∠=︒.
5.[难]已知，直线AB//CD ，点P 为平面内一点，连接AP 与CP .
（1）如图（1），点P 在直线AB ，CD 之间，当60BAP ∠=︒，20DCP ∠=︒时，求∠APC 的度数.
（2）如图（2），点P 在直线AB ，CD 之间，∠BAP 与∠DCP 的平分线相交于点K ，写出∠AKC 与∠APC 之间的数量关系，并说明理由.
（3）如图（3），点P 在CD 下方，∠BAP 与∠DCP 的平分线相交于点K ，∠AKC 与∠APC 有何数量关系？并说明理由.
5.【解】（1）如图（1），过点P 作PE//AB .
∵AB//CD ，
∴PE//AB//CD .
∴APE BAP ∠=∠，CPE DCP ∠=∠.
∴602080APC APE CPE BAP DCP ∠=∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒.
（2）12
AKC APC ∠=∠.理由如下： 如图（2），过点K 作KE//AB .
∵AB//CD ，
∴KE//AB//CD ，
∴AKE BAK ∠=∠，CKE DCK ∠=∠，
∴AKC AKE CKE BAK DCK ∠=∠+∠=∠+∠.
过点P 作PF //AB .
同理可得APC BAP DCP ∠=∠+∠.
∵∠BAP 与∠DCP 的平分线相交于点K ， ∴()11112222
BAK DCK BAP DCP BAP DCP APC ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠，
∴12
AKC APC ∠=∠. （3）12
AKC APC ∠=∠.理由如下： 如图（3），过点K 作KE//AB .
∵AB//CD ，
∴KE//AB//CD ，
∴BAK AKE ∠=∠，DCK CKE ∠=∠，
∴AKC AKE CKE BAK DCK ∠=∠-∠=∠-∠.
过点P 作PF //AB .
同理可得APC BAP DCP ∠=∠-∠.
∵∠BAP 与∠DCP 的平分线相交于点K ， ∴()11112222
BAK DCK BAP DCP BAP DCP APC ∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠， ∴12
AKC APC ∠=∠.
类型2 连接两点或延长线段使相交
6.如图，AB//CD ，ABF DCE ∠=∠.求证：BFE FEC ∠=∠.
6.【证明】如图，延长BF 交DC 的延长线于点H .
∵AB//CD ，
∴ABF H ∠=∠.
∵ABF DCE ∠=∠，
∴H DCE ∠=∠，∴BH //CE ，
∴BFE FEC ∠=∠.
7.如图所示，已知CD//EF ，12ABC ∠+∠=∠，试判断AB 与GF 的位置关系，并说明理由.
7.【解】AB//GF .理由如下：
如图，作CK//FG ，延长GF ，CD 交于点H .
∵CK//FG ，
∴2180H BCK ∠+∠+∠=︒，
∵CD//EF ，∴1H ∠=∠.
又∵12ABC ∠+∠=∠，
∴180ABC BCK ∠+∠=︒，
∴AB//CK .
∵GF//CK ，∴AB//GF .
5.4 平移
知识过关 全理解
知识点1 平移的定义
1.定义：把一个图形整体沿某一□
1 方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移. 2.平移的条件：决定平移的条件是平移的□
2 和平移的□
3 . 如图，△ABC 沿射线BC 的方向移动BD 长可得到△FDE ，△ABC 的这种位置变换就是平移.④说明
知识点2 平移的性质
1.图形平移后会得到一个新的图形，新图形与原图形的□
4 和□
5 完全相同. 2.新图形和原图形中的对应线段□
6 （或在□
7 ）且□
8 ，对应角相等.连接各组对应点的线段□
9 （或在□
10 ）且□11 . 如图，△ABC 经过平移得到A B C '''△，其中A '与A ，B '与B ，C '与C 都是对应点，AB 与A B ''，AC 与A C ''，BC 与B C ''都是对应线段，而AA '，BB '，CC '是连接各组对应点得到的线段，∠A 与A '∠，∠B 与B '∠，∠C 与C '∠都是对应角.根据平移的性质，得AB 与A B ''平行且相等，AC 与A C ''平行且相等，BC 与B C ''在同一条直线上且相等.AA '与BB '平行且相等，AA '与CC '平行且相等，BB '与CC '在同一条直线上且相等，另外，还有B B '∠=∠等.④注意1
知识点3 平移作图
平移作图的四个步骤
一“定”：确定平移的方向和距离；
二“找”：找出原图形中的关键点；
三“移”：过关键点作平行或在同一条直线上且相等的线段，得到关键点平移后的对应点；
四“连”：按原图形顺序依次连接各个对应点，得到的图形即为平移后的图形.
''''，图（2）即为所作的图形. 注如图（1），将A点移到A'点，作出四边形ABCD平移后得到的四边形A B C D
意2
答案
□1直线□2方向□3距离□4形状□5大小□6平行□7同一条直线上□8相等□9平行□10同一条直线上□11相等
敲黑板划重点
说明（1）平移是图形的基本变换，要弄清一个平移变换，首先要弄清平移的方向，它可以向上、下、左、右移动，也可以斜向移动，但不能转动，即图形的“朝向”不能变；其次要弄清平移的距离，就是新图形与原图形对应点连线的长度.
（2）平移时图形的所有点的移动方向一致，并且移动的距离相等，所以确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离.
（3）平移与平行有关，平移可以将一个角、一条线段、一个图形平移到另一个位置，使分散的条件集中到一个图形上，便于解决问题.
注意1 （1）“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别：前者是原图形上的点与平移后的图形上的点连接而成的，而后者是原图形上的线段与平移后的图形上的线段的对应关系.
（2）“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的联系：二者都平行（或在同一条直线上）且相等.
注意2 （1）平移的性质是平移作图的依据.
（2）在平移过程中，要注意平移的方向和距离要符合要求.
（3）在平移过程中，对应点连线一定要平行（或在同一条直线上）且相等.
（4）利用平移设计图案时，首先要确定基本图案，然后通过连续平移基本图案得到组合图案.
5.4 平移
刷基础
题型1 平移的定义
1.[2019广东广州越秀区校级期中]在下列生活现象中，不是平移的是（）
A.小亮荡秋千的运动
B.拉开抽屉的运动
C.站在运行的电梯上的人
D.坐在直线行驶的列车上的乘客
1.A【解析】小亮在荡秋千的运动过程中，方向不断发生变化，根据平移的性质，可知A选项不是平移运动.故选A.
2.[2019吉林长春南关区校级月考]下图属于平移位置变换的是（）
A. B. C. D.
2.A 【解析】根据平移的性质，可知A 选项正确.
3.[2018河南洛阳洛龙区期中]下列图案中可以看作是由图案自身的一部分经过平移后得到的是（ ）
A. B. C. D.
3.A 【解析】观察图案可知，选项A 的图案是由自身的一部分沿着直线运动而得到的，因此可以由平移得到，故选A.
题型2 平移的性质
4.[2018江苏宜兴期中]如图，将△ABC 沿BC 方向平移3cm 得到△DEF ，若△ABC 的周长为20 cm ，则四边形ABFD 的周长为（ ）
A.20 cm
B.22 cm
C.24 cm
D.26 cm
4.D 【解析】由于平移不改变图形的形状和大小，而四边形ABFD 的周长只比△ABC 的周长多出平移距离的2倍（即多出AD CF +的长），∵△ABC 的周长为20 cm ，3cm AD CF ==，∴四边形ABFD 的周长为26 cm.故选D.
5.如图，两个形状、大小完全相同的直角三角形重叠在一起，将直角三角形ABC 沿着BC 方向平移到直角三角形DEF 的位置.已知5AB =，2DO =，平移距离为3，则阴影部分的面积为（ ）
A.12
B.24
C.21
D.20.5
5.A 【解析】由直角三角形ABC 沿BC 方向平移到直角三角形DEF 的位置，可知ABC DEF S S =△△，
OEC OEC ABEO S S S S +=+△△阴影部分梯形，∴()15253122
ABEO S S ==⨯-+⨯=阴影部分梯形.
6.如图，在三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4cm AC =，3cm BC =，将三角形ABC 沿AB 方向向右平移得到三角形DEF ，若8cm AE =，2cm DB =.
（1）求AD 的长；
（2）求四边形AEFC 的周长.
6.【解】（1）∵三角形ABC 沿AB 方向向右平移得到三角形DEF ，
∴AD BE CF ==，3cm BC EF ==.
∵8cm AE =，2cm DB =，
∴()cm 8232
AD BE CF -====. （2）四边形AEFC 的周长为()83cm 3418AE EF CF AC +++=+++=.
题型3 平移作图
7.如图，在106⨯的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，将三角形ABC 平移到三角形DEF 的位置，下面平移步骤正确的是（ ）
A.先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度
B.先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度
C.先向左平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度
D.先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度
7.A 【解析】根据网格结构，观察对应点A ，D ，点A 先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度即可到达点D ，所以平移步骤是先把三角形ABC 向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度.故选A.
8.如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度有一个三角形ABC ，它的三个顶点均与小正方形的顶点重合.
（1）将三角形ABC 向右平移3个单位长度，得到三角形DEF （A 与D ，B 与E ，C 与F 对应），请在方格纸中画出三角形DEF ；
（2）在（1）的条件下，连接AE 和CE ，请直接算出三角形ACE 的面积S ，并判断点B 是否在AE 边上.
8.【解】（1）如图所示.
（2）由图可知，11154412425202459222
S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=---=. 根据图形可知，点B 不在AE 边上.
刷提升
1.[2018福建龙岩新罗区校级期中]将图中所示的图案平移后得到的图案是（ ）
A. B. C. D.
1.C 【解析】图案平移后得到的图案一定与原图案完全相同，图案的朝向也一定相同，观察可知C 选项的图案可以由已知图案通过平移得到.故选C.
2.如图，△ABC 沿着BC 方向平移得到A B C '''△，点P 是直线AA '上任意一点.若△ABC ，PB C ''△的面积分别为1S ，2S ，则下列关系正确的是（ ）
A.12S S >
B.12S S <
C.12S S =
D.122S S =
2.C 【解析】∵△ABC 沿着BC 方向平移得到A B C '''△,∴AA //BC ''，∵点P 是直线AA '上任意一点，∴△ABC 与PB C ''△等底等高，∴12S S =，故选C.
3.如图，将面积为5的△ABC 沿BC 方向平移至△DEF 的位置，平移的距离是边BC 长的2倍，则图中的四边形ACED 的面积为（ ）
A.5
B.10
C.15
D.20
3.C 【解析】设点A 到BC 的距离为h ，则152
ABC S BC h =⋅=△.∵△ABC 沿BC 方向平移的距离是边BC 长的2倍，∴2BE AD CF BC ===，AD//BF ，∴CE BC =，∴四边形ACED 的面积为
()()11222CE AD h BC BC h +=+=1335152
BC h ⨯⋅=⨯=.故选C.
4.[2019河南舞钢期中]如图，在Rt △ABC 中，90BAC ∠=︒，3cm AB =，4cm AC =，把△ABC 沿着直线BC 的方向平移2.5 cm 后得到△DEF ，连接AE ，AD ，有以下结论：①AC//DF ；②AD//BE ；③ 2.5cm CF =；④DE AC ⊥.其中正确的结论有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.D【解析】∵△ABC沿着直线BC的方向平移2.5 cm后得到△DEF，∴AB//DE，AC//DF，AD//CF，
∠=︒，∴BA AC
BAC
⊥，故④正确.故选D.
⊥，∴DE AC
CF AD
2.5cm
==，故①②③正确.又∵90
5.将自己的双手手掌印按在同一张纸上，两个手掌印________（填“能”或“不能”）通过平移完全重合在一起. 5.不能【解析】两个手掌印形状、大小相同，方向不同，不能通过平移重合在一起.
6.如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC'=________.
6.5【解析】由题意，三角板向右平移了1055
CC'=.
-=（个）单位长度，则顶点C平移的距离5
7.如图所示，由三角形ABC平移得到的三角形有________个（不包括三角形ABC）.
7.5【解析】如图，由三角形ABC平移得到的三角形有5个：三角形DEB、三角形BIH、三角形FGE、三角形EMI、三角形INP.
8.下面的图形是由一个基本图案利用平移方法得到的，请你在横线上画出这个基本图案：________.
8.【解析】因为平移与方向有关，所以不能单纯用一个“”或“”作基本图案.
9.[2018河南平顶山叶县期中]根据平移的知识可得图中的封闭图形的周长（图中所有角都是直角）为________.
9.16【解析】如图所示，由平移的性质，知封闭图形的周长可转化为长为5，宽为3的长方形的周长，即周长是
()
⨯+=.
25316
10.如图，直线l 上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较大锐角的度数为60°.将三角板ECD 沿直线l 向左平移到如图所示的位置，使点E 落在AB 上，即点E '，点P 为AC 与E D ''的交点.
（1）求CPD '∠的度数；
（2）求证：AB E D ''⊥.
10.（1）【解】由平移的性质知DE//D E ''，则60CPD CED '∠=∠=︒.
（2）【证明】由平移的性质知CE//C E ''，60CED C E D '''∠=∠=︒，30BE C A ''∠=∠=︒.
∴90BE D ''∠=︒.∴AB E D ''⊥.
11.[2019河北石家庄行唐期末]如图，已知直线AB//CD ，100A C ∠=∠=︒，E ，F 在CD 上，且满足DBF ABD ∠=∠，BE 平分∠CBF .
（1）直线AD 与BC 有何位置关系？请说明理由；
（2）求∠DBE 的度数；
（3）若平行移动AD ，在平行移动AD 的过程中，是否存在某种情况，使BEC ADB ∠=∠？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由.
11.【解】（1）AD//BC .理由如下：
∵AB//CD ，
∴180A ADC ∠+∠=︒.
又∵A C ∠=∠，
∴180ADC C ∠+∠=︒.
∴AD//BC .
（2）∵AB//CD ，100C ∠=︒，
∴18080ABC C ∠=︒-∠=︒.
∵DBF ABD ∠=∠，BE 平分∠CBF ， ∴11140222
DBE ABF CBF ABC ∠=∠+∠=∠=︒. （3）存在，60BEC ADB ∠=∠=︒.理由如下：
设ABD DBF BDC x ∠=∠=∠=.
∵AB//CD ，∴40BEC ABE x ∠=∠=+︒，
18080ADC A ∠=︒-∠=︒.
∴80ADB x ∠=︒-.
若BEC ADB ∠=∠，
则4080x x +︒=︒-，解得20x =︒.
∴存在，60BEC ADB ∠=∠=︒.
全章综合训练
刷中考
1.[2019山东济南中考]如图，DE//BC ，BE 平分∠ABC ，若170∠=︒，则∠CBE 的度数为（ ）
A.20°
B.35°
C.55°
D.70°
1.B 【解析】∵DE//BC ，∴170ABC ∠=∠=︒.∵BE 平分∠ABC ，∴1352
CBE ABC ∠=∠=︒.故选B.
2.[2018湖南郴州中考]如图，直线a ，b 被直线c 所截，下列条件中，不能判定a//b 的是（ ）
A.24∠=∠
B.14180∠+∠=︒
C.54∠=∠
D.13∠=∠
2.D 【解析】由24∠=∠或14180∠+∠=︒或54∠=∠，可得a//b ；由13∠=∠，不能得到a//b .故选D.
3.[2019贵州毕节中考]如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，CM 是AB 边上的中线，点C 到边AB 所在直线的距离是（ ）
A.线段CA 的长度
B.线段CM 的长度
C.线段CD 的长度
D.线段CB 的长度
3.C 【解析】点C 到边AB 所在直线的距离是点C 到直线AB 的垂线段的长度，而CD 是点C 到直线AB 的垂线段，故选C.
4.[2019辽宁抚顺中考]将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，点D 在BC 的延长线上，EF //BC ，90B EDF ∠=∠=︒，30A ∠=︒，45F ∠=，则∠CED 的度数是（ ）
A.15°
B.25°
C.45°
D.60°
4.A 【解析】根据题意，得60ACB ∠=︒，45DEF ∠=︒.∵EF //BC ，∴60CEF ACB ∠=∠=︒，∴CED CEF ∠=∠-604515DEF ∠=︒-︒=︒.故选A.
5.[2019广东深圳中考]如图，已知1l //AB ，AC 为角平分线，下列说法错误的是（ ）
A.14∠=∠
B.15∠=∠
C.23∠=∠
D.13∠=∠
5.B 【解析】∵1l //AB ，∴24∠=∠，32∠=∠，512∠=∠+∠.∵AC 为角平分线，∴1243∠=∠=∠=∠，521∠=∠.
故选B.
6.[2018河南中考]如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO AB ⊥于点O ，50EOD ∠=︒，则∠BOC 的度数为________.
6.140° 【解析】∵直线AB ，CD 相交于点O ，EO AB ⊥于点O ，∴90EOB ∠=︒.∵50EOD ∠=︒，∴40BOD ∠=︒，则∠BOC 的度数为18040140︒-︒=︒.
7.[2018湖南湘潭中考]如图，点E 是AD 延长线上一点，如果添加一个条件，使BC//AD ，则可添加的条件为________________.（任意添加一个符合题意的条件）
7.（答案不唯一）180A ABC ∠+∠=︒ 【解析】若180A ABC ∠+∠=︒，则BC//AD ，本题答案不唯一.
8.[2019四川绵阳中考]如图，AB//CD ，∠ABD 的平分线与∠BDC 的平分线交于点E ，则12∠+∠=________.
8.90°【解析】∵AB//CD，∴180
ABD BDC
∠+∠=︒.∵BE是∠ABD的平分线，∴
1
1
2
ABD
∠=∠.∵DE是∠BDC
的平分线，∴
1
2
2
BDC
∠=∠，∴1290
∠+∠=︒.
9.[2018江苏南通中考]如图，40
AOB
∠=︒，OP平分∠AOB，点C为射线OP上一点，作CD OA
⊥于点D.在∠POB 的内部作CE//OB，则DCE
∠=________.
9.130°【解析】∵40
AOB
∠=︒，OP平分∠AOB，∴20
AOC BOC
∠=∠=︒.又∵CD OA
⊥于点D，∴90
ODC
∠=︒.∵180
DOC ODC DCO
∠+∠+∠=︒，180
DCO DCP
∠+∠=︒，∴70
DCO
∠=︒，∴110
DCP
∠=︒.∵CE//OB，∴20
PCE POB
∠=∠=︒，∴11020130
DCE DCP PCE
∠=∠+∠=︒+︒=︒.
10.[2018重庆中考]如图，AB//CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD.若90
EFG
∠=︒，35
E
∠=︒，求∠EFB的度数.
10.【解】∵90
EFG
∠=︒，35
E
∠=︒，
∴18055
FGH EFG E
∠=︒-∠-∠=︒.
∵GE平分∠FGD，AB//CD，
∴55
FHG HGD FGH
∠=∠=∠=︒.
∵180
FHG FHE
∠+∠=︒，∴125
FHE
∠=︒.
又∵180
EFH EHF E
∠+∠+∠=︒，
∴1801253520
EFH
∠=︒-︒-︒=︒.
11.[2019湖北武汉中考]如图，点A，B，C，D在一条直线上，CE与BF交于点G，1
A
∠=∠，CE//DF，求证：E F
∠=∠.
11.【证明】∵CE//DF，∴ACE D
∠=∠.
∵1
A
∠=∠，
∴1801801
ACE A D
︒-∠-∠=︒-∠-∠.
又∵180
E ACE A
∠=︒-∠-∠，1801
F D
∠=︒-∠-∠，
∴E F
∠=∠.
刷章测
1.若∠A与∠B是对顶角且互补，则它们两边所在的直线（）
A.互相垂直
B.互相平行
C.既不垂直也不平行
D.不能确定
1.A【解析】∵∠A与∠B是对顶角，∴A B
∠=∠.又∵∠A与∠B互补，∴180
A B
∠=∠=︒.
∠+∠=︒，∴90
A B
故选A.
2.如图所示，以下几种说法中正确的个数是（）
①∠3和∠4是同位角；②∠6和∠7是同位角；③∠4和∠5是内错角；④∠2和∠5是同旁内角；⑤∠2和∠7是同位角；⑥∠1和∠2是同位角.
A.3
B.4
C.5
D.6
2.B【解析】由“三线八角的概念及图形，可知正确的是①③④⑥，共4个.故选B.
3.如图，在66
⨯方格中有两个涂有阴影的图形M、N，每个小正方形的边长都是1个单位长度，图（1）中的图形M 平移后位置如图（2）所示，以下对图形M的平移方法叙述正确的是（）
A.先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
B.先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度
C.先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度
D.先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
3.B【解析】由题图（1）可知，图M先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，可得题图（2），故选B.
4.下列命题不正确的是（）
A.若两个相等的角有一边平行，则另一边也互相平行
B.两条直线相交，所成的两组对顶角的平分线互相垂直
C.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直
D.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
4.A【解析】若两个相等的角有一边平行，则另一边互相平行或相交，故A不正确，应选A.
5.[2018山东菏泽牡丹区模拟]如图所示，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF，若20
∠的度数为（）
∠=︒，则EFC'
ABE
A.115
B.120°
C.125°
D.130°。