2019年全国版高考数学必刷题：第十六单元 圆锥曲线的概念与几何性质

第十六单元圆锥曲线的概念与几何性
质
考点一椭圆的标准方程和几何性质
1.(2017年全国Ⅰ卷)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取
值范围是().
A.(0,1]∪[9,+∞)
B.(0,]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞)
D.(0,]∪[4,+∞)
【解析】当0<m<3时,焦点在x轴上,
要使C上存在点M满足∠AMB=120°,
则≥tan 60°=,即≥,
解得0<m≤1;
当m>3时,焦点在y轴上,
要使C上存在点M满足∠AMB=120°,
则≥tan 60°=,即≥,解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞).
故选A.
【答案】A
2.(2014年大纲卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B
两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为().
A.+=1
B.+y2=1
C.+=1
D.+=1
【解析】因为△AF1B的周长为4,所以|AF1|+|AB|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4,所以a=.又因为椭圆的离心率e==,所以c=1,所以b2=a2-c2=3-1=2,所以椭圆C的方程为+=1,故选A.
【答案】A
3.(2013年全国Ⅱ卷)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,P是C上的
点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为().
A. B. C. D.
【解析】(法一)由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|=m,故离心率
==.
e===
+
(法二)由PF2⊥F1F2可知点P的横坐标为c,将x=c代入椭圆方程可解得y=±,所以|PF2|=.又由
∠PF1F2=30°可得|F1F2|=|PF2|,故2c=·,变形可得(a2-c2)=2ac,等式两边同除以a2,得
(1-e2)=2e,解得e=或e=-(舍去).
【答案】D
4.(2017年全国Ⅲ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为().
A.B. C. D.
【解析】由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0),半径为a.
∵直线bx-ay+2ab=0与圆相切,
∴圆心到直线的距离d==a,解得a=b,
∴=,
∴e==-
== =.故选A.
【答案】A
考点二双曲线的标准方程和几何性质
5.(2016年全国Ⅰ卷)已知方程-
-
=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是().
A.(-1,3)
B.(-1,)
C.(0,3)
D.(0,)
【解析】若已知方程表示双曲线,则(m2+n)(3m2-n)>0,解得-m2<n<3m2.
又4=4m2,所以m2=1,所以-1<n<3.
【答案】A
6.(2017年全国Ⅲ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共
焦点,则C的方程为().
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
【解析】因为双曲线C的渐近线方程为y=±x,所以=.又因为椭圆与双曲线的焦点为(±3,0),即c=3,且c2=a2+b2,所以a2=4,b2=5,故双曲线C的方程为-=1.
【答案】B
7.(2017年全国Ⅱ卷)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C
的离心率为().
A.2
B.
C.
D.
【解析】根据双曲线的对称性,可取渐近线为y=x,即bx-ay=0.由题意,知圆心(2,0)到渐近线的距离d=-=,即==,所以-=3,解得c2=4a2.所以e2=4,e=2.
【答案】A
8.(2015年全国Ⅰ卷)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则
y0的取值范围是().
A.-,
B.-,
C.-,
D.-,
【解析】由题意不妨取F1(-,0),F2(,0),所以=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),所以
·=+-3<0.又点M在曲线C上,所以有-=1,即=2+2,代入上式得<,所以-<y0<,故选A.
【答案】A
9.(2017年全国Ⅰ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双
曲线C的一条渐近线交于M,N两点,若∠MAN=60°,则C的离心率为.
【解析】如图,由题意知点A(a,0),双曲线的一条渐近线l的方程为y=x,即bx-ay=0,
∴点A到l的距离d=.
又∠MAN=60°,MA=NA=b,∴△MAN为等边三角形,
∴d=MA=b,即=b,∴a2=3b2,
∴e===.
【答案】
考点三抛物线的标准方程和几何性质
10.(2013年全国Ⅱ卷)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为().
A.y2=4x或y2=8x
B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x
D.y2=2x或y2=16x
【解析】由已知得抛物线的焦点为F,0,设点A(0,2),抛物线上点M(x0,y0),则
=,-2,=,-2.由已知得·=0,即-8y0+16=0,解得y0=4,所以M,4.由|MF|=5得-=5,又p>0,解得p=2或p=8,故选C.
【答案】C
11.(2014年全国Ⅰ卷)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=().
A. B. C.3 D.2
【解析】过点Q作QQ'⊥l交l于点Q',因为=4,所以 PQ ∶ PF =3∶4.又焦点F到准线l的距离为4,所以|QF|=|QQ'|=3.故选C.
【答案】C
12.(2014年全国Ⅱ卷)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为().
A. B. C. D.
【解析】易知抛物线中p=,焦点F,0,直线AB的斜率k=,故直线AB的方程为y=-,代入抛物线方程y2=3x,整理得x2-x+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.由抛物线的定义可得弦长
|AB|=x1+x2+p=+=12,又原点O到直线AB的距离d=·sin 30°=,所以△OAB的面积S=|AB|·d=.
【答案】D
13.(2017年全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN 的中点,则|FN|= .
【解析】如图,不妨设点M位于第一象限内,抛物线C的准线交x轴于点A,过点M作准线的垂线,垂足为点B,交y轴于点P,∴PM∥OF.
由题意知,F(2,0),|FO|=|AO|=2.
∵M为FN的中点,PM∥OF,
∴ MP =|FO|=1.
又|BP|=|AO|=2,
∴ MB = MP + BP =3.
由抛物线的定义知|MF|=|MB|=3,故|FN|=2|MF|=6.
【答案】6
高频考点:圆锥曲线的定义与标准方程;圆锥曲线的几何性质(包括范围、对称性、顶点、离心率、渐近线、准线等).
命题特点:从考查题型看,一般是一道选择题或解答题,从考查分值看,在5分~12分之间;从涉及的知识点上讲,常与平面几何、直线方程、圆、平面向量、函数最值、方程、不等式等知识相联系.
§16.1椭圆
一椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.
这两个定点叫作椭圆的,两焦点间的距离叫作椭圆的.
二椭圆的标准方程及其简单几何性质
|x|≤a,|y|≤b|x|≤b,|y|≤a
☞左学右考
判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若动点P到两定点A(0,-2),B(0,2)的距离之和为4,则点P的轨迹是椭圆.()
(2)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.()
(3)若P为椭圆+=1(a>b>0)上的任意一点,则|OP|的最小值为b.()
(4)若P为椭圆上任意一点,F为其焦点,则|PF|∈[a-c,a+c].()
(5)+=1(a>b>0)与+=1(a>b>0)的焦距相等.()
年浙江卷)椭圆+=1的离心率是().
A. B.
C. D.
已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则
△ABC的周长是().
A.2
B.6
C.4
D.12
三点P(x0,y0)和椭圆的关系
1.点P(x0,y0)在椭圆内⇔+<1.
2.点P(x0,y0)在椭圆上⇔+=1.
3.点P(x0,y0)在椭圆外⇔+>1.
四离心率e与a、b的关系
e2==-=1-⇒=.
五求椭圆标准方程的两种方法
1.定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,再结合焦点位置写出椭圆方程.
2.待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若
焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是().
A.(0,+∞)
B.(0,2)
C.(1,+∞)
D.(0,1)
已知点P是椭圆+=1上y轴右侧的一点,且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1,求点P 的坐标.
知识清单
一、和焦点焦距
二、+=1(a>b>0)+=1(a>b>0)2a 2b (±c,0)(0,±c)(0,1)
基础训练
1.【答案】(1)×(2 √(3 √(4 √(5 √
2.【解析】e==,故选B.
【答案】B
3.【解析】由椭圆的定义知,|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a(F是椭圆的另一个焦点),∴△ABC的周长为4a=
4.
故选C.
【答案】C
4.【解析】将x2+ky2=2化为+=1,又方程表示焦点在y轴上的椭圆,则>2,解得0<k<1,故选D.
【答案】D
5.【解析】设P(x,y),由题意知c2=a2-b2=5-4=1,所以c=1,则F1(-1,0),F2(1,0).由题意可得点P到x轴的距
离为1,所以y=±1,把y=±1代入+=1,得x=±.又x>0,所以x=,所以点P的坐标为,1或,-1.
题型一椭圆的定义及应用
【例1】(2015年重庆卷改编)如图,椭圆+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,若|PF1|=2+,|PF2|=2-,且PQ⊥PF1,求椭圆的标准方程.
【解析】由椭圆的定义,得2a=|PF1|+|PF2|=4,故a=2.
设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,得2c=|F1F2|==2,即c=,从而b=1.
故所求椭圆的标准方程为+y2=1.
【变式训练1】已知椭圆+=1的左,右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为.
【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆的定义,知m+n=2a=8,|F1F2|=2c=2=2.
在△F1PF2中,cos∠F1PF2=-=(-2-2 =,解得mn=12,△=mn sin 60°=3.
【答案】3
题型二求椭圆的标准方程
【例2】根据下列条件,求椭圆的标准方程:
(1)中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过P,,Q两点;
(2)过点(,-),且与椭圆+=1有相同的焦点;
(3)中心在原点,焦点在坐标轴上,椭圆过点(3,0),离心率e=.
【解析】(1)设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
则解得
所以所求椭圆的标准方程为5x2+4y2=1,即+=1.
(2)(法一)椭圆+=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.由椭圆的定义
知,2a=(-0 +(-0 -4 ,解得a=2.
由c2=a2-b2可得b2=4.
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
(法二)设所求椭圆的标准方程为+=1(k<9),将点(,-)的坐标代入可得(-+(=1,解得k=5(k=21舍去),所以椭圆的标准方程为+=1.
(3)当椭圆焦点在x轴上时,a=3,e==,所以c=,b2=a2-c2=3,故椭圆的标准方程为+=1;
当椭圆的焦点在y轴上时,同理可得椭圆的标准方程为+=1.
综上所述,椭圆的标准方程为+=1或+=1.
【变式训练2】(1)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切,则椭圆C的方程为().
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
(2)椭圆+=1(a>b>0)上的一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B
是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP,|F1A|=+,则椭圆的方程为.
【解析】(1)由题意知e==,所以e2==-=,即a2=b2.以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x2+y2=b2,由题意可知b==,所以a2=4,b2=3.故椭圆C的方程为+=1,故选C.
(2)设F1(-c,0),由已知,得PF1的方程为x=-c,
代入椭圆方程,得P-,.
又AB∥OP,所以k OP=k AB,即-=-,
所以b=c,a=c,|F1A|=a+c=(+1)c=+,得c=,所以b=,a=,
故椭圆的方程为+=1.
【答案】(1)C(2)+=1
题型三求椭圆离心率的值或取值范围
【例3】(1)(2016年江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.
(2)(2015年福建卷)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是().
A. B.
C.,1
D.,1
【解析】(1)由,
得B-,,C,.由F(c,0),得=--,,=-,.又
因为∠BFC=90°,所以·=0,化简可得2a2=3c2,即e2==,故e=.
(2)设左焦点为F1,连接AF1,BF1,则四边形BF1AF是平行四边形,故|AF1|=|BF1|,
所以|AF|+|AF1|=4=2a,所以a=2.
设M(0,b),则≥,故b≥1.
所以a2-c2≥1,所以0<c2≤3,解得0<c≤,
所以椭圆E的离心率的取值范围为.
【答案】(1)(2)A
【变式训练3】(1)(2017遂宁一诊)已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点为F,该椭圆上有一点A,满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率是().
A.-1
B.2-
C.-1
D.2-
(2)(2017东北百校大联考)如图,椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,A1,A2,B1,B2为椭圆的顶点,F2为
右焦点,延长B1F2与A2B2交于点P,若∠B1PB2为钝角,则该椭圆的离心率的取值范围是.
【解析】(1)不妨设F1,F2为椭圆的左,右焦点,点A在第一象限内,则由题意,|OA|=|F1F2|,所以△F1AF2是直角三角形,|AF2|=c,所以|AF1|=c,2a=c+c,
所以==-1,故选A.
(2)设B1(0,-b),B2(0,b),F2(c,0),A2(a,0),则=(a,-b),=(-c,-b).因为∠B1PB2为钝角,所以
与的夹角为锐角,所以·=-ac+b2>0,即a2-c2-ac>0.两边同时除以a2并化简得e2+e-1<0,解得--1<e<-1,又0<e<1,所以0<e<-1.
【答案】(1)A(2)-1
方法与椭圆有关的范围问题求解策略
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面:
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.
(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关
系.
(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.
(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
【突破训练】(1)(2017贵阳摸底)已知椭圆C:+=1的左,右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],则直线PA1的斜率的取值范围是().
A.,
B.,
C.,1
D.,1
(2)设F1,F2分别是椭圆+=1的左,右焦点,P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为.
【解析】(1)(法一)设P(x,y),直线PA1,PA2的斜率分别为k1,k2,易知A1(-2,0),A2(2,0),则有
k1k2=·
-2=
-4
=
-4
=-.因为-2≤k2≤-1,所以k1>0且-2≤-≤-1,即1≤≤2,解得≤k1≤.故选
B.
(法二)设直线PA2的斜率为k2,令k2=-1,则直线PA2的方程为y=-(x-2),代入椭圆方程并整理得
7x2-16x+4=0,解得x1=2,x2=,从而可得点P的坐标为,,于是直线PA1的斜率k1=-0=.同理,令k2=-2,可得k1=.结合选项知,B正确.
(2)|PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|,|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|,
易知点M在椭圆外,连接MF2并延长交椭圆于点P(图略),此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|,
故|PM|+|PF1|的最大值为10+|MF2|=10+(6-3 =15.
【答案】(1)B(2)15
1.(2017四川遂宁模拟)椭圆+=1的焦距为2,则m的值是().
A.6或2
B.5
C.1或9
D.3或5
【解析】由题意得c=1,当椭圆的焦点在x轴上时,由m-4=1,解得m=5;当椭圆的焦点在y轴上时,由4-m=1,解得m=3.所以m的值是3或5,故选D.
【答案】D
2.(2017长春外国语学校期末)椭圆+与椭圆+=1(0<k<9)的关系为().
A.有相等的长轴、短轴
B.有相等的焦距
C.有相同的焦点
D.x,y有相同的取值范围
【解析】∵0<k<9,∴0<9-k<9,16<25-k<25,∴25-k-(9-k)=16,∴两个椭圆有相等的焦距.故选B.
【答案】B
3.(2017南昌模拟)已知圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,若动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为().
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
【解析】设圆M的半径为r,由题意可知,
|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16>|C1C2|=8,
∴圆心M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,
∴b2=64-16=48,∴动圆圆心M的轨迹方程为+=1.
【答案】D
4.(2017宁德联考)已知A,B为椭圆E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则椭圆E的离心率为().
A. B. C. D.
【解析】由题意可知,M为椭圆短轴上的顶点,且∠AMB=120°,所以∠AMO=60°,=tan 60°=,a=b,所以c2=a2-b2=a2,所以e==.
【答案】D
5.(2017辽宁五校联考)椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P为椭圆M上任意一点,且
||·||的最大值的取值范围是[2c2,3c2],其中c=-,则椭圆M的离心率e的取值范围是().
A.,
B.,1
C.,1
D.,
【解析】∵ PF1|·|PF2|≤ + ==a2,∴2c2≤a2≤3c2,∴2≤≤3,∴≤e2≤,解得
≤e≤.
【答案】A
6.(2017东北三校联考)已知椭圆的对称轴为坐标轴,两个焦点坐标分别是(0,-2),(0,2),且过点-,,则椭圆的标准方程为.
【解析】由题设知,椭圆的焦点在y轴上,可设它的标准方程为+=1(a>b>0).
由椭圆的定义知,2a=-+--2=+=2,所以a=.
又因为c=2,所以b2=a2-c2=10-4=6.
故所求椭圆的标准方程为+=1.
【答案】+=1
7.(2017宜昌调研)过椭圆+=1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为.
【解析】由题意知,椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=2x-2.
解得交点坐标A(0,-2),B,,
联立
-2,
所以S△OAB=·|OF|·|y A-y B|
=×1×-2-=.
【答案】
8.(2017日照市二模)如图,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的上,下焦点分别为F1,F2,上焦点F1到直线
4x+3y+12=0的距离为3,椭圆C的离心率e=.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设过椭圆C的上顶点A的直线l与椭圆交于点B(B不在y轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与x轴交于点H,若·=0,且||=||,求直线l的方程.
【解析】(1)设椭圆的焦点F1(0,c),由点F1到直线4x+3y+12=0的距离为3,得 3=3,所以c=1.
又椭圆C的离心率e=,所以=,a=2,所以b2=3,
故椭圆C的标准方程为+=1.
(2)设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-2=kx,设B(x B,y B),A(x A,y A),
由得(3k2+4)x2+12kx=0,
则有x A=0,x B=-12,所以y B=-6,
所以=-12,-1,=(x H,-1),
由已知·=0,
得-12·x H+1--6=0,解得x H=-4,
由||=||,得+=+(y M-2)2,解得y M=1,
直线MH的方程为y=---4,
联立
解得y M=,
--4,
由y M==1,解得k2=,
所以直线l的方程为y=±x+2.
9.(2017河北联考)过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B,且点B在x 轴上的射影恰好为右焦点F2,若<k<,则椭圆C的离心率的取值范围是().
A. B.,1
C.,
D.∪,1
=-=∈,,即【解析】由题意可知|AF2|=a+c,|BF2|=,所以直线AB的斜率为k=
(
,
解得<e<,故选C.
,
【答案】C
10.(2017唐山一中月考)过椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A,B两点,若向量
+与向量a=(3,-1)共线,则该椭圆的离心率为().
A. B. C. D.
【解析】设F(-c,0),A(x1,y1),B(x2,y2),则+=(x1+x2,y1+y2),直线AB的方程为y=x+c,代入椭圆方程并整理得(a2+b2)x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0.
由韦达定理得,x1+x2=-,所以y1+y2=x1+x2+2c=.
由+与a=(3,-1)共线,得x1+x2+3(y1+y2)=0,
即-+3×=0,解得=,得e==.故选B.
【答案】B
11.(2014年江西卷)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB 的中点,则椭圆C的离心率等于.
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1,
从而( (-+( (-=0.
=-,
依题意x1+x2=2,y1+y2=2,且-
-
所以-=-,即a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),
得e2==,所以e=.
【答案】
12.(2017浙江模拟)若椭圆C:+y2=1(a>0)上存在关于直线l:y=2x+1对称的点,则椭圆C的离心率的取值范围为.
【解析】设A,B是椭圆C上关于直线l:y=2x+1对称的两点,直线AB的方程为y=-x+m.联立
得(a2+4)x2-4ma2x+4a2(m2-1)=0.点A,B存在⇒Δ>0⇒a2-4m2+4>0. ①
,
由弦AB的中点E(x0,y0)在直线l:y=2x+1上,得a2=-4>0,解得m<-或m>1. ②
将a2=-4代入①得(-1 (4<0,结合②解得-<m<-.故e2=-=1-=∈,1,故
e∈,1.
【答案】,1
13.(2017四川一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为6,且椭圆C与圆M:(x-2)2+y2=的公共弦长为
.
(1)求椭圆C的方程.
(2)过点P(0,2)作斜率为k(k≠0 的直线l与椭圆C交于A,B两点,试判断在x轴上是否存在点D,使得△ADB 是以AB为底边的等腰三角形?若存在,求出点D的横坐标的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由题意可得2a=6,所以a=3.由椭圆C与圆M:(x-2)2+y2=的公共弦长为,恰为圆M的直径,可得椭圆C经过点,所以+=1,解得b2=8.所以椭圆C的方程为+=1.
(2)直线l的方程为y=kx+2,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为E(x0,y0).假设存在点D(m,0),使得△ADB 是以AB为底边的等腰三角形,则DE⊥AB.由得(8+9k2)x2+36kx-36=0,故x1+x2=-,所以
x0=-,y0=kx0+2=.因为DE⊥AB,所以k DE=-,即
-0
-1
-
=-,所以m=-2=-2.当k>0
时,9k+≥2=12,所以-≤m<0;当k<0时,9k+≤-12,所以0<m≤.
综上所述,在x轴上存在满足题意的点D,且点D的横坐标的取值范围为-,0∪.
14.(2015年天津卷)已知椭圆+=1(a>b>0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为.
(1)求直线BF的斜率;
(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ 与y轴交于点M, PM =λ MQ .
①求λ的值;
②若|PM|sin∠BQP=,求椭圆的方程.
【解析】(1)设F(-c,0).由已知离心率=及a2=b2+c2,可得a=c,b=2c,又因为B(0,b),F(-c,0), 故直线BF的斜率k=-0==2.
(2)设点P(x P,y P),Q(x Q,y Q),M(x M,y M).
①由(1)可得椭圆的方程为+=1,直线BF的方程为y=2x+2c.
将直线BF的方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x2+5cx=0,解得x P=-.
因为BQ⊥BP,所以直线BQ的方程为y=-x+2c.
将直线BQ的方程与椭圆方程联立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得x Q=.
==.
又因为λ=及x M=0,可得λ=-
-
==,
②因为=,所以
+
即|PQ|=|PM|.
又因为|PM|sin∠BQP=,
所以|BP|=|PQ|sin∠BQP=|PM|sin∠BQP=.
又因为y P=2x P+2c=-c,
所以|BP|==c,
因此c=,得c=1.
所以椭圆的方程为+=1.
§16.2双曲线
一双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的,两焦点间的距离叫作双曲线
的.
二双曲线的标准方程和几何性质
x a x-a y y-a y a x
三等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率为.
四常用结论
1.双曲线的焦点到渐近线的距离是b;
双曲线的顶点到渐近线的距离是.
2.点与双曲线的关系
(1)点P(x0,y0)在双曲线-=1(a>0,b>0)的内部⇔->1.
(2)点P(x0,y0)在双曲线-=1(a>0,b>0)的外部⇔-<1.
☞左学右考
判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()
(2)方程-=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.()
(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.()
(4)双曲线-=1(a>0,b>0)与-=1(a>0,b>0)有共同的渐近线.()
(5)P是-=1上的点,F1为左焦点,若|PF1|=9,则|PF2|=17或1.()
方程-=1表示双曲线,则k的取值范围是().
A.-1<k<1
B.k>0
C.k≥0
D.k>1或k<-1
年安徽卷)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是().
A.x2-=1
B.-y2=1
C.-x2=1
D.y2-=1
石家庄一模)已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线的方程为().
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P是双曲线上位于第一象限内一点,且△PF1F2的面积为6,则点P的坐标为.
知识清单
一、差的绝对值焦点焦距
二、坐标轴原点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)y=±x y=±x a2+b2
三、y=±x e=
基础训练
1.【答案】(1)×(2)×(3 √(4 √(5)×
2.【解析】由题可知,方程表示双曲线应满足(1+k)(1-k)>0,则k的取值范围是-1<k<1.故选A.
【答案】A
3.【解析】由双曲线性质知A、B选项双曲线焦点在x轴上,不合题意;C、D选项双曲线焦点均在y轴上,但D选项渐近线为y=±x,只有C选项符合,故选C.
【答案】C
4.【解析】已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则c=4,a=2,b2=12,所以双曲线的方程为-=1,故选A.
【答案】A
5.【解析】因为双曲线方程为-=1,所以c=3.又因为△PF1F2的面积为6,所以×2c×y P=6,所以y P=2.代入双曲线方程,得-=1,=,即x P=舍去.
【答案】,2
题型一双曲线的定义
【例1】(1)设动点P到点A(-5,0)的距离与它到点B(5,0)的距离的差等于6,则点P的轨迹方程是().
A.-=1
B.-=1
C.-=1(x≤-3)
D.-=1(x≥3
(2)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1,F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=().
A. B. C. D.
【解析】(1)由题意,点P的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支.
由c=5,a=3,知b2=16,∴点P的轨迹方程为-=1(x≥3 .
故选D.
(2)由e==2,得c=2a,如图,由双曲线的定义得|F1A|-|F2A|=2a,又|F1A|=2|F2A|,故|F1A|=4a,|F2A|=2a,
∴cos∠AF2F1=(4-(4=.
【答案】(1)D (2)A
【变式训练1】(1)(2017陕西师大附中模拟)设过双曲线x2-y2=9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P,Q,F2为双曲线的右焦点.若|PQ|=7,则△F2PQ的周长为().
A.19
B.26
C.43
D.50
(2)设双曲线与椭圆+=1有共同的焦点,且与椭圆相交,在第一象限的交点A的纵坐标为4,则此双曲
线的方程为.
【解析】(1)如图,由双曲线的定义可得
=2,①
=2,②
①+②得|PF2|+|QF2|-|PQ|=4a,
∴△F2PQ的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|=4a+|PQ|+|PQ|=4×3+2×7=26.
(2)由椭圆方程+=1,得椭圆的两个焦点分别为F1(0,-3),F2(0,3).
设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).
∵点A在第一象限,且纵坐标为4,∴A(,4),
∴2a=||AF1|-|AF2||
=|(-(|=4,
∴a=2,b2=32-22=5,
故所求双曲线的方程为-=1.
【答案】(1)B(2)-=1
题型二待定系数法求双曲线方程
【例2】求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)双曲线的焦点在x轴上,且经过(-,-),,两点;
(2)与双曲线-=1有共同的渐近线,且经过点M(3,-2);
(3)与椭圆+=1有公共焦点,且离心率e=.
【解析】(1)设双曲线的标准方程为mx2-ny2=1(m>0,n>0),
由已知得-3
-2
解得
,
所以所求双曲线的标准方程为x2-=1.
(2)设所求双曲线的方程为-=λ(λ≠0 ,
因为点M(3,-2)在双曲线上,所以-=λ,即λ=,
故所求双曲线的标准方程为-=1.
(3)设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),由已知得双曲线的焦点为F1(5,0),F2(-5,0),则c=5,
由e==,知a=2,b2=c2-a2=25-(2)2=5.
故双曲线的标准方程为-=1.
【变式训练2】(1)(2017临川实验学校一模)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,若顶点到渐近线的距离为,则双曲线的方程为().
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
(2)(2017九江市三模)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,从C 的右焦点F引渐近线的垂线,垂足为A,若△AFO的面积为1,则双曲线C的方程为().
A.-=1
B.-y2=1
C.-=1
D.x2-=1
【解析】(1)渐近线方程化简为x±y=0,设顶点坐标为
(a,0),顶点到渐近线的距离为=,解得a=2,由渐近线方程的斜率=,可得b=2,所以双曲线的方程为-=1.故选B.
(2)因为双曲线的离心率为,所以该双曲线的一条渐近线方程为y=2x,联立,
(- ,
得
A,.又因为△AFO的面积为1,所以×c2=1,解得c2=5,则a2=1,b2=4,即双曲线C的方程为x2-=1.故选
D.
【答案】(1)B(2)D
题型三双曲线的离心率与渐近线
【例3】(1)(2017惠州二模)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为c(c为双曲线的半焦距),则双曲线的离心率为().
A. B. C.3 D.
(2)(2017武邑中学周考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,若在双曲线的右支上
存在一点P,使得|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率的取值范围为().
A.[2,+∞)
B.[,+∞)
C.(1,2]
D.(1,]
【解析】(1)任取一焦点F(c,0)到一条渐近线y=x的距离为b,则
b=c⇒3b=c⇒9b2=2c2⇒9(c2-a2)=2c2⇒7c2=9a2⇒=⇒e=,故选D.
(2)由双曲线的定义知,|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=3|PF2|,所以|PF2|=a,而双曲线右支上的点到F2的最小
距离为c-a,因此|PF2|=a≥c-a,得e≤2,又双曲线离心率e>1,所以1<e≤2.故选C.
【答案】(1)D (2)C
【变式训练3】(1)(2017重庆一中月考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,则双曲线的离心率为().
A. B. C. D.
(2)(2017吉林省实验中学八模)已知双曲线-=1(a>0,b>0),过其左焦点F作x轴的垂线,交双曲线于
A,B两点,若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是().
A. B.(1,2)
C.,+∞
D.(2,+∞)
【解析】(1)∵双曲线的渐近线方程为y=±x,直线x+2y+1=0的斜率为-,∴-×=-1,∴=2.∴双曲线的离心率e===.故选C.
(2)|AB|是双曲线通径,|AB|=,由题意a+c<,即a2+ac<b2=c2-a2,c2-ac-2a2>0,即e2-e-2>0,解得
e>2(e<-1舍去),故选D.
【答案】(1)C (2)D
方法双曲线中的焦点三角形问题
双曲线-=1(a>0,b>0)中的“焦点三角形”即由双曲线上的一个动点P和两个焦点F1,F2作为顶点的三角形.
(1)若∠F1PF2=α,则△F1PF2的面积△=.
(2)焦点三角形PF1F2的内切圆与x轴相切的切点恰好为双曲线的一个顶点.
(3)焦点三角形PF1F2中,利用||PF1|-|PF2||=2a,|F1F2|=2c,借助余弦定理、正弦定理进行转化,可求得离心率及其取值范围.
【突破训练】(1)(2017西铁一中五模)设F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使(+ ·=0(O为坐标原点),且|PF1|=|PF2|,则双曲线的离心率为().
A.B.+1 C. D.+1
(2)(2016年浙江卷)设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.
【解析】(1)因为(+ ·=0,即(+ ·(-)=0,
所以-=0,|OP|=|OF2|=|OF1|,所以PF1⊥PF2.
在Rt△PF1F2中,因为|PF1|=|PF2|,所以∠PF1F2=30°,
由|F1F2|=2c得|PF2|=c,|PF1|=c,所以2a=c-c.
所以=
-1
=+1,故选D.
(2)如图,由已知可得a=1,b=,c=2,从而|F1F2|=4,由对称性不妨设点P在右支上,|PF2|=m,则
|PF1|=m+2a=m+2.
由△PF1F2为锐角三角形,结合实际意义应满足(,
,
解得-1+<m<3,所以2<2m+2<8.
又|PF1|+|PF2|=2m+2,所以|PF1|+|PF2|的取值范围是(2,8).【答案】(1)D(2)(2,8)
1.(2014年全国Ⅰ卷)已知双曲线-=1(a>0)的离心率为2,则a=().
A.2
B.
C.
D.1
【解析】因为c2=a2+3,所以e===2,得a2=1,所以a=1.
【答案】D
2.(2017唐山市二模)已知双曲线过点(2,3),且渐近线方程为y=±x,则双曲线的方程是().
A.-=1
B.-=1
C.x2-=1
D.-=1
【解析】设双曲线的方程为x2-=λ,∵双曲线过点(2,3),∴4-=λ,即λ=1,故双曲线的方程是x2-=1,故选C.
【答案】C
3.(2014年广东卷)若实数k满足0<k<5,则曲线-=1与曲线-=1的().
A.实半轴长相等
B.虚半轴长相等
C.离心率相等
D.焦距相等
【解析】∵0<k<5,∴5-k>0,16-k>0.又∵双曲线-=1的焦距是2=2;双曲线-=1的焦距是2=2.故选D.
【答案】D
4.(2017年天津卷)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为().
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
【解析】由题意得a=b,=1,所以c=4.又因为c2=a2+b2=16,所以a2=8,b2=8,则双曲线的方程为-=1.故
选B.
【答案】B
5.(2017湖南八校联考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线C的实轴垂直,则双曲线C的离心率为().
A. B. C. D.2
【解析】设F(c,0),一条渐近线的方程为y=x,点F到该渐近线的距离为=b,即圆F的半径为b.令x=c,与双曲线方程联立解得y=±,依题意=b,所以a=b,所以双曲线C的离心率e===.
【答案】C
6.(2017山东枣庄一模)若原点O和点F(2,0)分别为双曲线x2-=1(a>0)的中心和右焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围是().
A.[-1,+∞)
B.[1,+∞)
C.[2,+∞)
D.[-2,+∞)
【解析】由a2+1=4得a=,所以双曲线的方程为x2-=1.设点P(x0,y0),则-=1,即=3-3.所以
·=x0(x0-2)+=4-2x0-3.因为x0≥1,所以当x0=1时,·取得最小值-1,所以
·∈[-1,+∞).
【答案】A
7.(2017西安质检)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|= .
【解析】双曲线的右焦点为F(2,0),过F与x轴垂直的直线为x=2,渐近线方程为y=±x,将x=2代入y=±x,得y=±2,∴ AB =4.
【答案】4
8.(2017成都一诊)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,双曲线上一点P满足PF2⊥x轴.若|F1F2|=12,|PF2|=5,则该双曲线的离心率为.
【解析】2c=12⇒c=6,根据勾股定理可得|PF1|==13,所以2a=13-5=8⇒a=4,所以双曲线的离心率e===.
【答案】
9.(2015年全国Ⅱ卷)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为().
A. B.2 C. D.
【解析】设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),如图,由|AB|=|BM|,∠ABM=120°,则过点M作MN⊥x轴,
垂足为N,在Rt△BMN中,|BN|=a,|MN|=a,故点M的坐标为(2a,a),代入双曲线方程可得a2=b2=c2-a2,即有c2=2a2,所以e==.故选D.
【答案】D
10.(2017曲靖一中月考)设F1,F2分别是双曲线M:-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线M交于A,B两点,若点F2满足·<0,则双曲线的离心率e的取值范围是().
A.1<e<+1
B.e>+1
C.1<e<
D.e>
【解析】由双曲线的对称性可知△ABF2是等腰三角形,且∠AF2B是钝角,
所以<∠AF2F1=∠AF2B<,所以tan∠AF2F1>1,即>1.
又|AF1|=,所以>1,即c2-a2>2ac,化简得e2-2e-1>0,解得e>+1,故选B.。