2020届山东省德州市高三第一次(4月)模拟考试数学试题(解析版)

2020届山东省德州市高三第一次（4月）模拟考试数学试题
一、单选题
1．设集合{
|12x
A x =≤≤
，{}|ln 0B x x =≤，则A B =（ ）
A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】C
【解析】计算102A x x ⎧⎫
=≤≤
⎨⎬⎩⎭
，{}01B x x =<≤，再计算交集得到答案. 【详解】
{1
|1202x A x x x ⎧⎫
=≤≤=≤≤⎨⎬⎩
⎭，{}{}|ln 001B x x x x =≤=<≤，
故10,2A
B ⎛⎤
= ⎥⎝⎦
.
故选：C . 【点睛】
本题考查了交集计算，意在考查学生的计算能力.
2．已知复数z 满足()1243z i i +=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在第（ ）象限. A ．一 B ．二
C ．三
D ．四
【答案】A
【解析】化简得到2z i =-，故2z i =+，得到答案. 【详解】
()1243z i i +=+，则()()()()43124310521212125
i i i i z i i i i +-+-====-++-，故2z i =+，
对应的点在第一象限. 故选：A . 【点睛】
本题考查了复数的化简，共轭复数，复数对应象限，意在考查学生的计算能力. 3．设命题:p 任意常数数列都是等比数列.则p ⌝是（ ） A ．所有常数数列都不是等比数列
B ．有的常数数列不是等比数列
C ．有的等比数列不是常数数列
D ．不是常数数列的数列不是等比数列
【答案】B
【解析】直接根据命题的否定的定义得到答案. 【详解】
全称命题的否定是特称命题，
命题：任意常数数列都是等比数列，则p ⌝：有的常数数列不是等比数列. 故选：B . 【点睛】
本题考查了命题的否定，意在考查学生的推断能力.
4．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是11C D 的中点，且1AP AD xAB yAA =++，则实数x y +的值为（ ） A ．3
2
-
B ．12
-
C ．
12
D ．
32
【答案】D
【解析】化简得到11
2AP AD AA AB =++，得到12
x =，1y =，得到答案. 【详解】
11111
2
AP AD DD D P AD AA AB AD xAB y AA =++=++
=++， 故12x =
，1y =，32
x y +=. 故选：D . 【点睛】
本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 5．函数()sin ln 22x x
x
f x -=
-在区间[)(]3,00,3-上大致图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】判断函数为奇函数排除AD ，计算()30f >排除B ，得到答案.
【详解】
()sin ln 22x x x f x -=
-，()()sin ln 22
x x
x
f x f x ---==--，故函数为奇函数，排除AD ； ()33
sin 3
30ln 22f -=
>-，排除B .
故选：C . 【点睛】
本题考查了函数图像的识别，确定函数为奇函数是解题的关键.
6．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分用茎叶图表示，茎叶图中甲得分的部分数据丢失（如图），但甲得分的折线图完好，则下列结论正确的是（ ）
A ．甲得分的极差是11
B ．乙得分的中位数是18.5
C ．甲运动员得分有一半在区间[]20,30上
D ．甲运动员得分的平均值比乙运动员得分的平均值高 【答案】D
【解析】根据茎叶图和折线图依次判断每个选项得到答案. 【详解】
A. 甲得分的极差是28919-=，A 错误；
B. 乙得分的中位数是
1617
16.52
+=，B 错误； C. 甲运动员得分在区间[]20,30上有3个，C 错误；
D. 甲运动员得分的平均值为：912131315202628
178
+++++++=，
乙运动员得分的平均值为：
914151617181920
168
+++++++=，故D 正确. 故选：D . 【点睛】
本题考查了茎叶图和折线图，意在考查学生的计算能力和理解能力.
7．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，2SA =，
1AB =，2AC =，3
BAC π
∠=
，则球O 的体积为（ ）
A
．
3
B
．
3
C
．
D
．
3
【答案】B
【解析】
计算BC =，根据正弦定理得到1r =，2
2222SA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
，得到答案. 【详解】
根据余弦定理：2222cos 3BC AC AB AB AC BAC =+-⋅∠=
，故BC =， 根据正弦定理：22sin BC
r BAC
=
=∠，故1r =，r 为三角形ABC 外接圆半径，
设R 为三棱锥S ABC -外接球的半径
2
2
2
22SA R r ⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭
，故R =
3433V R π==.
故选：B . 【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
8．已知函数()()()201ln 0x
x x f x x x x
⎧≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩，若关于x 的方程()()()2
10f x m f x m +--=有
且只有两个不同实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．1
,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()
1,0,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．()()
1,11,0,2e ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭
D ．()()1,0,11,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
【答案】C
【解析】确定0x >函数的单调区间，画出函数图像，变换()()()()10f x m f x -+=，
得到()1f x =-和()f x m =，根据函数图像得到答案. 【详解】
当0x >时，()ln x f x x =
，则()2
1ln 'x f x x -=，()
1
f e e =，
函数在()0,e 上单调递增，在[),e +∞上单调递减，画出函数图像，如图所示：
()()()210f x m f x m +--=，即()()()()10f x m f x -+=，
当()1f x =-时，根据图像知有1个解， 故()f x m =有1个解，根据图像知()()
1,11,0,2m e ⎛⎫∈-∞-- ⎪⎝⎭
. 故选：C .
【点睛】
本题考查了函数的零点问题，画出函数图像，变换()()()()10f x m f x -+=是解题的
关键.
二、多选题
9．某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A ，B ，C ，D ，E 五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（ ）
A ．样本中女生人数多于男生人数
B ．样本中B 层人数最多
C ．样本中E 层次男生人数为6人
D ．样本中D 层次男生人数多于女生人数
【答案】ABC
【解析】根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案. 【详解】
样本中女生人数为：924159360++++=，男生数为1006040-=，A 正确； 样本中A 层人数为：94010%13+⨯=；样本中B 层人数为：244030%36+⨯=； 样本中C 层人数为：154025%25+⨯=；样本中D 层人数为：94020%17+⨯=； 样本中E 层人数为：34015%9+⨯=；故B 正确； 样本中E 层次男生人数为：4015%6⨯=，C 正确；
样本中D 层次男生人数为：4020%8⨯=，女生人数为9，D 错误. 故选：ABC . 【点睛】
本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力.
10．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论正确的是（ ）
A ．卫星向径的取值范围是[],a c a c -+
B ．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C ．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D ．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 【答案】ABD
【解析】根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案. 【详解】
根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[],a c a c -+，A 正确；
当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，B 正确；
12
111a c e a c e e
--==-+++，当比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误. 根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故
速度最小，D 正确. 故选：ABD . 【点睛】
本题考查了椭圆的定义和性质，意在考查学生的理解能力和应用能力. 11．已知函数()sin cos f x x x =+，下列命题正确的为（ ） A ．该函数为偶函数 B ．该函数最小正周期为2π
C ．该函数图象关于2
x π=对称
D ．该函数值域为⎡-⎣
【答案】BCD
【解析】化简函数，得到函数图像，计算()()2f x f x π+=，()()f x f x π-=，讨
论,22x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦，3,22x ππ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，计算得到答案. 【详解】
当cos 0x ≥时，()sin cos 4f x x x x π⎛
⎫=+=
+ ⎪⎝⎭，
当cos 0x <时，()sin cos 4f x x x x π⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭，
画出函数图像，如图所示：
根据图像知：函数不是偶函数，A 错误；
()()()()2sin 2cos 2sin cos f x x x x x f x πππ+=+++=+=，该函数最小正周期
为2π，B 正确；
()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x πππ-=-+-=+=，故该函数图象关于
2
x π=
对称，C 正确；
根据周期性，不妨取,22x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦，()4f x x π⎛
⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭
， 3
,22x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
，()4f x x π⎛
⎫⎡=-∈- ⎪⎣⎝⎭，故值域为⎡-⎣. 故选：BCD .
【点睛】
本题考查了三角函数的奇偶性，周期，对称性，值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用能力.
12．如图，已知点E 是ABCD 的边AB 的中点，(
)*
n F n ∈N 为边BC 上的一列点，
连接n AF 交BD 于n G ，点(
)*
n G n ∈N
满足()1
223n
n n n n G D a
G A a G E +=⋅-+⋅，其中
数列{}n a 是首项为1的正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）
A ．313a =
B ．数列{}3n a +是等比数列
C ．43n a n =-
D ．1
22n n S n +=--
【答案】AB
【解析】化简得到()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，根据共线得到
1230n n a a +--=，即()1323n n a a ++=+，计算123n n a +=-，依次判断每个选项得
到答案. 【详解】
()()
11
2232
n n n n n n G D a G A a G A G B +=⋅-+⋅
+， 故()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，,n n G D G B 共线，故
1230n n a a +--=，
即()1323n n a a ++=+，11a =，故1
342n n a -+=⨯，故123n n a +=-.
432313a =-=，A 正确；数列{}3n a +是等比数列，B 正确；
1
2
3n n a +=-，C 错误；2124323412
n
n n S n n +-=-=---，故D 错误.
故选：AB . 【点睛】
本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.
三、解答题
13．某校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名学生只参加一个小组，单位：人）.
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，用分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，求a 的值. 【答案】30a =
【解析】根据三个小组抽取的总人数为30人表示出抽样比，该抽样比就等于篮球组被抽取的人数除以篮球组总人数，由此计算出a 的值. 【详解】
因为抽样比为：30
4515301020
a +++++，
所以结合题意可得：3012
451530102045+15
a =+++++，
解得30a =. 【点睛】
本题考查分层抽样的简单应用，难度较易.分层抽样的抽样比等于每一层抽取的比例.
14．已知数列{}n a 的前n 项和为012
1n n n n n n S C C C C -=+++
+，数列{}n b 满足
2log n n b a =，
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）求()
1
2222
2
12341n n n
T b b b b b +=-+-+
+-.
【答案】（1）12n n
a ；1n
b n =-（2）2
2,2
,2
n
n n n T n n n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数
【解析】（1）21n n S =-，1
12n n n n a S S --=-=，代入计算得到1n b n =-，得到答案.
（2）讨论2n k =和21n k =-两种情况，计算得到答案. 【详解】
（1）012121n n n n n n n S C C C C -=+++
+=-，
当2n ≥时，1
12n n n n a S S --=-=，
当1n =时，11a =也满足12n n a ，所以12n n
a ，
又数列{}n b 满足2log n n b a =，所以1n b n =-.
（2）当2n k =，*k N ∈时，(
)(
)()22
22
221234212n k k T b b b b b b -=-+-+
+-
()122k b b b =-++
+()()1221k ⎡⎤=-+++-⎣⎦22k k =-+； 当21n k =-，*k N ∈时，(
)(
)()2
2
2
2
2221234232221n k k k T b b b b b b b ---=-+-+
+-+
()()()2
122341k k ⎡⎤=-+++-+-⎣⎦
2
231k k =-+. 所以()()222,2231,21n k k n k T k k n k ⎧-+=⎪=⎨-+=-⎪⎩，*k N ∈，即2
2
,2
,2
n n n n T n n n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数
. 【点睛】
本题考查了等差数列，等比数列通项公式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 15．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ADC PAB ∠=∠=︒，
1
2
BC CD AD ==
，E 、M 分别为棱AD 、PD 的中点，PA CD ⊥.
（1）证明：平面//MCE 平面PAB ；
（2）若二面角P CD A --的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）1 3
【解析】（1）证明EC AB
∥，EM AP得到答案.
（2）以与AD垂直的直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，面PCD的法向量记为
2
0,1,
m
h
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，面ACD的法向量为()
0,0,1，根据夹角得到2
h=，平面PCE的法向量()
2,2,1
n=，计算得到答案.
【详解】
（1）因为点E为AD的中点，
1
2
BC AD
=，AD BC
∥，
所以四边形ABCE为平行四边形，即EC AB
∥.
因为E、M分别为棱AD、PD的中点，EM AP.
EM EC E
=，所以平面MCE平面PAB.
（2）如图所示
因为PA AB
⊥，PA CD
⊥，AB与CD为相交直线，所以AP⊥平面ABCD，不妨设2
AD=，则
1
1
2
BC CD AD
===.
以与AD垂直的直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设AP h
=，()
0,0,0
A，()
0,2,0
D，()
1,2,0
C-，()
0,0,
P h，
从而()
0,2,
PD h
=-，()
1,0,0
CD=，
面PCD的法向量记为()
111
,,
m x y z
=，则
m PD
m CD
⎧⋅=
⎨
⋅=
⎩
，可得11
1
20
y hz
x
-=
⎧
⎨
=
⎩
，
令11
y=，则
1
2
z
h
=，
2
0,1,
m
h
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，
又面ACD的法向量为()
0,0,1，二面角P CD A
--的大小为45°.
2
2
=，解得2
h=，所以()
002
P,,，()
0,1,0
E，()
1,2,0
C-，
所以()
1,1,0
EC=-，()
0,1,2
PE=-，()
0,0,2
AP=，
设平面PCE的法向量为()
222
,,
n x y z
=，则
n PE
n EC
⎧⋅=
⎨
⋅=
⎩
，可得：22
22
20
y z
x y
-=
⎧
⎨
-+=
⎩
.
令22
y=，则
2
2
x=，
2
1
z=.所以()
2,2,1
n =.
设直线PA与平面PCE所成角为θ，则
1
sin cos,
3
9
AP n
AP n
AP n
θ
⋅
====. 【点睛】
本题考查了面面平行，二面角，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 16．已知抛物线()
2
:20
E x py p
=>的焦点为F，圆M的方程为：220
x y py
+-=，若直线4
x=与x轴交于点R，与抛物线交于点Q，且
5
4
QF RQ
=.
（1）求出抛物线E和圆M的方程.
（2）过焦点F的直线l与抛物线E交于A、B两点，与圆M交于C、D两点（A，C在y轴同侧），求证：AC DB
⋅是定值.
【答案】（1）抛物线2
:4
E x y
=，圆22
:20
M x y y
+-=（2）证明见解析
【解析】（1）设()0
4,
Q y，则
2
y p
=，代入方程计算得到答案.
（2）设直线l的方程是：1
y kx
=+，()
11
,
A x y，()
22
,
B x y，联立方程得到
12
4
x x k
+=，12
4
x x⋅=-，
1
1
AF y
=+，
2
1
BF y
=+，计算得到答案.
【详解】
（1）设()0
4,
Q y，由
5
4
QF RQ
=得
00
5
24
p
y y
+=，所以
2
y p
=，
将点()
4,2p代入抛物线方程得2
p=，所以抛物线2
:4
E x y
=，圆
22
:20
M x y y
+-=.
（2）抛物线2
:4
E x y
=的焦点()
0,1
F，
设直线l 的方程是：1y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，241x y
y kx ⎧=⎨=+⎩
有2440x kx --=，则()
2
1610k ∆=+>，且124x x k +=，124x x ⋅=-.
由条件可知圆()2
211x y +-=的圆心为()0,1M ，半径为1，圆心就是焦点，
由抛物线的定义有11AF y =+，21BF y =+， 则11AC AF y =-=，21BD BF y =-=，
()1211AC BD y y kx ⋅==+()()22221212114411kx k x x k x x k k +=+++=-++=.
即
AC BD ⋅为定值，定值为1.
【点睛】
本题考查了抛物线方程，圆方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 17．医院为筛查某种疾病，需要血检，现有(
)*
n n ∈N 份血液样本，有以下两种检验方
式：
方式一：逐份检验，需要检验n 次；
方式二：混合检验，把每个人的血样分成两份，取()2k k ≥个人的血样各一份混在一起进行检验，如果结果是阴性，那么对这k 个人只作一次检验就够了；如果结果是阳性，那么再对这k 个人的另一份血样逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次. （1）假设有6份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验岀来的概率；
（2）假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性结果的概率为()01p p <<.现取其中k （*k ∈N 且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1X ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2X .
①运用概率统计的知识，若12EX EX =，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =； ②若1
5
1p e
-=-，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份
检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.
参考数据：ln11 2.3978≈，ln12 2.4849≈，ln13 2.5649≈.
【答案】（1）
2
15（2）①()1
*
11,2k
p k k k ⎛⎫=-∈≥ ⎪⎝⎭
N ②k 的最大值为12.
【解析】（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为A 事件，计算概率得到答案.
（2）①计算1EX k =，()211k
EX k k p =+--，根据12EX EX =，计算得到答案. ②5
21k
EX k ke
-=+-，所以
5
1k
k ke
k
-
+-<，设()ln 5
x
f x x =-
，求导得到单调区间，计算得到最值. 【详解】
（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为A 事件，
则()1122423
62
15
C C A P A A ==. （2）①1X 的取值为k ，()11P X k ==，所以1EX k =，
2X 的取值为1，1k +，计算()()211k P X p ==-，()()2111k P X k p =+=--，
所以()()()()2111111k k k
EX p k p k k p ⎡⎤=-++--=+--⎣⎦
， 由12EX EX =，得()11k
k k k p =+--，所以()1
*
11,2k
p k k k ⎛⎫=-∈≥ ⎪
⎝⎭
N .
②1
51p e -=-，5
21k EX k ke
-
=+-，所以51k
k ke k -+-<，即ln 05
k
k ->.
设()ln 5x f x x =-
，()11555x f x x x
-'=-=，0x >， 当()0,5x ∈时，()0f x '>，()f x 在()0,5上单调递增； 当()5,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在()5,+∞上单调递减. 且()12ln12 2.40f =->，()13ln13 2.60f =-<， 所以k 的最大值为12. 【点睛】
本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18．已知函数()()ln =-+x
f x xe a x x .
（1）若0a =，求函数()f x 在1x =处的切线方程；
（2）讨论()f x 极值点的个数；
（3）若0x 是()f x 的一个极小值点，且()00f x >，证明：()()
3
0002f x x x >-.
【答案】（1）20ex y e --=（2）当0a ≤时，()f x 无极值点；当0a >时，()f x 有一个极值点（3）证明见解析
【解析】（1）求导得到()()1x
f x x e '=+，()1f e =，()12f e '=，得到切线方程.
（2）求导得到()()()1'x x xe a f x x
+-=
，讨论0a ≤和0a >两种情况， 0a >时必存
在00x >，使()00h x =，计算单调区间得到极值点个数. （3）()00f x '=，即0
0x x e
a =，代入得到001ln 0x x -->，设()1ln g x x x =--，
确定函数单调递减得到()00,1x ∈，令()1ln g x x x =--，确定单调性得到答案. 【详解】
（1）当0a =时，()x
f x xe =，()()1x
f x x e '=+，所以()1f e =，()12f e '=.
从而()f x 在1x =处的切线方程为()21y e e x -=-，即20ex y e --=.
（2）()()111x
f x x e a x ⎛⎫'=+-+ ⎪⎝⎭()()()
11x x
x xe a a x e x x +-⎛⎫=+-= ⎪⎝
⎭，
()0,x ∈+∞，
①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上是增函数，不存在极值点； ②当0a >时，令()x
h x xe a =-，()()10x
h x x e '=+>，
显然函数()h x 在[)0,+∞是增函数，又因为()00h a =-<，()()
10a
h a a e =->，
必存在00x >，使()00h x =，
()00,x x ∈，()0h x <，()0f x '<，()f x 为减函数， ()0,x x ∈+∞，()0h x >，()0f x '>，()f x 为增函数，
所以，0x x =是()f x 的极小值点，
综上：当0a ≤时，()f x 无极值点，当0a >时，()f x 有一个极值点.
（3）由（2）得：()00f x '=，即00x
x e a =，
()()()000000000ln 1ln x x f x x e a x x x e x x =-+=--，
因为()00f x >，所以001ln 0x x -->， 令()1ln g x x x =--，()1
10g x x
'=--
<，()g x 在()0,∞+上是减函数， 且()10g =，由()()1g x g >得1x <，所以()00,1x ∈. 设()ln 1x x x ϕ=-+，()0,1x ∈，()111x x x x
ϕ-'=
-=， ()0,1x ∈，()0x ϕ'>，所以()x ϕ为增函数，
()()10x ϕϕ<=即()0x ϕ<，即ln 1x x <-，所以ln 1x x ->-，
所以()ln 1x x +<，所以10x e x >+>， 因为()00,1x ∈，所以0
010x e x >+>，00001ln 110x x x x -->-+->，
相乘得()()()0
00001ln 122x e
x x x x -->+-，
所以()()()()0
00000001ln 211x f x x e x x x x x =-->+-()()230000212x x x x =-=-，
结论成立. 【点睛】
本题考查了切线方程，极值点，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
四、填空题
19．如图，在棱长为1的正方体1AC 中，点E 、F 是棱BC 、
1CC 的中点，P 是底面ABCD 上（含边界）一动点，满足1A P EF ⊥，则线段1A P 长度的最小值为__________.
2
【解析】如图所示：连接1A D ，1AD ，故DP ⊥平面11BCC B ，故P 在线段CD 上，计算得到答案. 【详解】
如图所示：
连接1A D ，1AD ，易知1//EF AD ，11A D AD ⊥，故1EF A D ⊥，
1A P EF ⊥，故EF ⊥平面1A DP ，故EF DP ⊥，1CC PD ⊥，
故DP ⊥平面11BCC B ，故P 在线段CD 上，故线段1A P 长度的最小值为12A D . 2【点睛】
本题考查了立体几何中线段的最值问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 20．若函数()()sin 06f x x πωω⎛
⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
在50,
18π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭存在唯一极值点，且在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调，则ω的取值范围为__________. 【答案】
64
53
ω<≤ 【解析】
5,66186x π
ππ
πωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，故5321862ππππω<+≤，根据周期得到625
ω<≤，故36
2
π
π
πω+
≤
，解得答案. 【详解】
50,18x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，则5,66186x ππππωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭
，故5321862ππππω<+≤，解得
62455ω<≤， 222T πππ≥-=，故T π≥，2ω≤，即6
25
ω<≤， ,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则,6266x ππππωωπω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，故237,26306ππππω⎛⎤+∈
⎥⎝⎦，
则36
2π
ππω+
≤
，解得43
ω≤； 综上所述：
6453ω<≤. 故答案为：6453
ω<≤. 【点睛】
本题考查了根据三角函数的极值点和单调性求参数范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21．在条件①()2cos cos cos A b C c B a +=，②sin
sin 2
B C
c a C +=，③()2
2sin sin sin sin sin B C A B C -=-中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，
c ，且a =2b c -=，__________.求BC 边上的高
【解析】依次计算选择①②③的情况，根据正弦定理和余弦定理，三角恒等变换计算得到3
A π
=
，3b =，再利用等面积法计算得到答案.
【详解】
若选①因为()2cos cos cos A b C c B a +=，
由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin A B C C B A +=， 即()2cos sin sin A B C A +=，1cos 2A =
，因为0A π<<，所以3
A π=. 由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，所以22
7
2
b c bc b c ⎧+-=⎨-=⎩，
化简得：2230c +c -=，所以3c =-（舍去）或者1c =，从而3b =.
设BC 边上的高是h ，所以
11sin 22bc A ah =，所以14
h =； 若选②由题设及正弦定理，sin sin
sin sin 2
B C
C A C +=，
因为sin 0C ≠，所以sin
sin 2
B C
A +=， 由180A
B
C ++=︒，可得sin cos 22B C A
+=，故cos 2sin cos 222
A A A =， 因为cos 02A ≠，故1
sin 22A =，因此3
A π=，下同选①；
若选③由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得
222b c a bc +-=.
由余弦定理得2221
cos 22b c a A bc +-=
=.因为0A π<<，所以3
A π=，下同选①.
故答案为：14
. 【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和应用能力.
五、双空题
22．已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F . （1）若2F 到渐近线的距离是3，则b 为__________.
（2）若P 为双曲线C 右支上一点，1260F PF ∠=︒且12F PF ∠的角平分线与x 轴的交点为Q ，满足122FQ QF =，则双曲线C 的离心率为__________.
【答案】3
【解析】直接利用点到直线的距离公式计算得到答案；122FQ QF =，则122PF PF =，故14PF a =，22PF a =，再利用余弦定理计算得到答案. 【详解】
取渐近线方程为b
y x
a
=，即0bx ay -=，()2,0F c 到直线的距离为3d ==，
故3b =；
1
22FQ QF =，则122PF PF =，122PF PF a -=，故14PF a =，22PF a =，
根据余弦定理：2224416242cos60c a a a a =+-⨯⋅︒，整理得到：223c a =，故e =
故答案为：3. 【点睛】
本题考查了双曲线的渐近线问题，离心率问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.。