广东省深圳市普通高中2017-2018学年高二数学下学期4月月考试题(3)

广东省深圳市普通高中2017-2018学年高二数学下学期4月月考试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1. 函数1ln +=x y 的导数是( )
A.
x 1 B. 1
1+x C.x ln D. x e 2.已知复数z 的实部是1-，虚部是2，其中i 为虚数单位，则( ) A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i + D ．12i -
3．用反证法证明命题时，对结论： “自然数中至少有一个是偶数”正确的假设为
A ．都是奇数
B ．都是偶数
C ．中至少有两个偶数
D ．中至少有两个偶数或都是奇数
4.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则543a a a ++=（ ）
A ．33
B ．72
C ．84
D ．189 5.圆2
2
1x y +=与直线2y kx =+没有公共点的充分不必要条件是( )
2)(2,)+∞C.(3,3)k ∈- D.(,3)
(3,)k ∈-∞-+∞6.在正三棱柱111ABC A B C -中，若AB=2，1AA 1=则点A 到平面1A BC 的距离为（
）
A
D ．3 7.设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若γα⊥，γβ⊥，则βα||；
②若α⊂m ，α⊂n ，β||m ，β||n ，则βα||； ③若βα||，α⊂l ，则β||l ；
④若l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，γ||l ，则n m ||其中真命
题的个数是 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 8. 设抛物线2
8
1x y =
上一点P 到y 轴的距离为4，则点P 到该抛物线焦点的距离是（ ） A.4
B.6
C.8
D.12
9. 已知函数()x a x x x f ln 22
++=在()1,0上单调，则实数a 的取值范围是( ) A.0≥a B.4-≤a C. 4-≤a 或0≥a D. 04≤≤-a
10．设椭圆的两个焦点分别为12F F ，，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF △为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）
a b c ，，a b c ，，a b c ，，a b c ，，a b c ，，
A
B
C
．2- D
1
11.下列有关命题的说法中错误的是( )
A.命题“若2320x -+=,则1x
=“的逆否命题为:“若1,x ≠则232
0x x -+≠”
B.“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件
C.若p q ∧为假命题,则p q 、均为假命题
D.对于命题:,p x R ∃∈使得210x x ++<,则:,p x R ⌝∀∈均有210x x ++≥
12.已知x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≥≥1200y x y x ，则22)1(y x ++的最小值为( )
A ．2 C ． 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分
13．若23z i =-+，则z = 。

14．在平面上，若两个正三角形的边长之比为1:2，则它们面积之比为1:4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1:2，则它们的体积之比为 。

间的回归直线必过点 。

16．下列条件：①a b>0；②a b<0；③a >0，b>0；④a <0，b<0中能使不等式
2b a
a b
+≥成立的有 （填上正确答案的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)
已知a 为实数，))(4()(2
a x x x f --=，
（1）若2a =，求导数()f x '
（2）若(1)0f '-=，求)(x f 在[－2，2] 上的最大值和最小值。

18．(本小题满分12分)
在某种考试中，设A 、B 、C （1）求三人都考中的概率 （2）求至少一人考中的概率
（3）几人考中的事件最容易发生？
19. (本小题满分12分)
如图，圆O 1与圆O 2的半径都是1，12O O 4=，过动点P 分别作圆O 1.圆O 2的切线PM 、PN （M.N
分别为切点）P 的轨迹方程
20. （本小题满分12分）
如图，已知直线l 与抛物线y 2
= x 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，与x 轴相交于点M ，若y 1y 2 = －1，
（1）求证：OA ⊥OB ；
（2）M 点的坐标为（1，0），求△AOB 的面积的最小值.
21.（本小题满分12分）
设全集R I =，已知集合}02410|{2
<+-=x x x M ，}0152|{2
≤--=x x x N . （1）求N M C I )(；
（2）记集合N M C A I )(=，已知集合},51|{R a a x a x B ∈-≤≤-=，若
A B A = ，求实数a 的取值范围．
22. (本小题满分12分)
已知ABC ∆是复平面内的三角形，B A 、两点对应的复数分别为i 31+和i -，且BC AC =, （1）求ABC ∆的顶点C 的轨迹方程。

（2）若复数z 满足15=-i z ，探究复数z 对应的点Z 的轨迹与顶点C 的轨迹的位置关系。

参考答案
1-5 ACACA 6-10 BBACD 11-12 CC
1314.1：8；15.（0，0）；16.①③④
17. (12分 解：（1）当2a =时，2
()(4)(2)f x x x =--
2()344f x x x '=--
（2）,44)(23a x ax x x f +--=∴.423)(2
--='ax x x f
由0)1(=-'f 得2
1
=
a ,2()34f x x x '=--，令()0f x '=得3
=x 或x=-1
列表格，或者讨论单调性，求出极值。

再比较端点值。

又,0)2(,0)2(,2
9
)1(,2750)3
4(==-=--
=f f f f 所以f(x)在[－2,2]上的最大值为,29最小值为.27
50
-
19. 以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示 平面直角坐标系。

则O 1（－2，0），O 2（2，0），
２＝２ＰＮ２
，
∵两圆的半径都为1，∴2
212PO 12(PO 1)-=-，
设()P , x y ，
则()()22
2221221x y x y ⎡⎤++-=-+-⎣⎦
，即33)6(22=+-y x 。

∴所求轨迹方程为：33)6(22=+-y x （或03122
2=+-+x y x ）。

20. (1) 设M 点的坐标为（x 0, 0）, 直线l 方程为 x = my + x 0 , 代入y 2
= x 得 y 2
－my －
x 0 = 0 ① y 1、y 2是此方程的两根,
∴ x 0 ＝－y 1y 2 ＝1，即M 点的坐标为（1, 0）. ∵ y 1y 2 ＝－1
∴ x 1x 2 + y 1y 2 = y 12y 22
+y 1y 2 ＝y 1y 2 (y 1y 2 +1) = 0 ∴ OA ⊥OB. (2) 由方程①，y 1＋y 2 = m , y 1y 2 ＝－1 , 且 | OM | = x 0 =1, 于是S △AOB =
21| OM | |y 1－y 2| =212214)(21y y y y -+=42
12+m ≥1， ∴ 当m = 0时，△AOB 的面积取最小值1.
21.（1）∵集合}02410|{2
<+-=x x x M ，}0152|{2
≤--=x x x N ∴}64|{<<=x x M ，}53|{≤≤-=x x N 又∵R I =
∴｝或64|{≥≤=x x x M C I ∴}43|{)(≤≤-=x x N M C I
（2）由（1）知，}43|{)(≤≤-==x x N M C A I 又∵A B A =
∴A B ⊆
又集合},51|{R a a x a x B ∈-≤≤-=
∴⎩⎨
⎧≤-->-4
53
1a a ，解得1≥a
∴实数a 的取值范围是),1[+∞ 22.。