2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案：第一讲 二 2.绝对值不等式的解法

2．绝对值不等式的解法
对应学生用书P13 1．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法
只需将ax ＋b 看成一个整体，即化成|x |≤a ，|x |≥a (a >0)型不等式求解．
|ax ＋b |≤c (c >0)型不等式的解法：先化为－c ≤ax ＋b ≤c ，再由不等式的性质求出原不等式的解集． 不等式|ax ＋b |≥c (c >0)的解法：先化为ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．
2．|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．
②以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．
③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．
对应学生用书P13
|ax ＋b |≤c 与|ax ＋b |≥c (c >0)型的不等式的解法
[例1] 解下列不等式： (1)|5x －2|≥8；(2)2≤|x －2|≤4.
[思路点拨] 利用|x |>a 及|x |<a (a >0)型不等式的解法求解． [解] (1)|5x －2|≥8⇔5x －2≥8或5x －2≤－8⇔x ≥2或x ≤－65，
∴原不等式的解集为⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x |x ≥2或x ≤－65.
(2)原不等式价于⎩
⎪⎨⎪⎧
|x －2|≥2，
|x －2|≤4.
由①得x －2≤－2，或x －2≥2， ∴x ≤0，或x ≥4. 由②得－4≤x －2≤4，
∴－2≤x ≤6.
∴原不等式的解集为{x |－2≤x ≤0，或4≤x ≤6}．
|ax ＋b |≥c 和|ax ＋b |≤c 型不等式的解法：
①当c >0时，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ， |ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c .
②当c ＝0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |<c 的解集为∅. ③当c <0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |≤c 的解集为∅.
1．解下列不等式：
(1)|3－2x |<9；(2)4＜|3x －2|＜8； (3)|x 2－3x －4|>x ＋1.
解：(1)∵|3－2x |<9，∴|2x －3|<9.
∴－9<2x －3<9. 即－6<2x <12. ∴－3<x <6.
∴原不等式的解集为{x |－3<x <6}．
(2)由4＜|3x －2|＜8，得⎩
⎪⎨⎪⎧
|3x －2|＞4，
|3x －2|＜8⇒
⎩⎪⎨
⎪⎧
3x －2＜－4或3x －2＞4，
－8＜3x －2＜8⇒⎩⎨⎧
x ＜－2
3
或x ＞2，
－2＜x ＜103
.
∴－2＜x ＜－23或2＜x ＜10
3
.
∴原不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪
⎪
－2＜x ＜－23或2＜x ＜103. (3)不等式可转化为x 2－3x －4>x ＋1或x 2－3x －4<－x －1， ∴x 2－4x －5>0或x 2－2x －3<0. 解得x >5或x <－1或－1<x <3，
∴不等式的解集是(5，＋∞)∪(－∞，－1)∪(－1,3)．
|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法
[例2] 解不等式|x ＋7|－|x －2|≤3.
[思路点拨] 解该不等式，可采用三种方法：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用各绝对值的零点分段讨
论；(3)构造函数，利用函数图像分析求解．
解：法一：|x ＋7|－|x －2|可以看成数轴上的动点(坐标为x )到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x ＝－1.由图易
知不等式|x ＋7|－|x －2|≤3的解为x ≤－1，即x ∈(－∞，－1]．
法二：令x ＋7＝0，x －2＝0得x ＝－7，x ＝2. ①当x ＜－7时，不等式变为－x －7＋x －2≤3， ∴－9≤3成立，∴x ＜－7.
②当－7≤x ≤2时，不等式变为x ＋7＋x －2≤3， 即2x ≤－2，∴x ≤－1，∴－7≤x ≤－1. ③当x ＞2时，不等式变为x ＋7－x ＋2≤3， 即9≤3不成立，∴x ∈∅.
∴原不等式的解集为(－∞，－1]．
法三：将原不等式转化为|x ＋7|－|x －2|－3≤0， 构造函数y ＝|x ＋7|－|x －2|－3，即
y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－12， x ＜－7，
2x ＋2， －7≤x ≤2，6， x ＞2.
作出函数的图像，从图可知，当x ≤－1时，有y ≤0，即|x ＋7|－|x －2|－3≤0， 所以，原不等式的解集为(－∞，－1]．
|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图像法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图像法直观，但只适用于数据较简单的情况．
2．解不等式|2x －1|＋|3x ＋2|≥8. 解：(1)x ≤－2
3
时，
|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔1－2x －(3x ＋2)≥8. ⇔－5x ≥9⇔x ≤－95，∴x ≤－9
5
；
(2)－23<x <1
2时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔1－2x ＋3x ＋2≥8⇔x ＋3≥8⇔x ≥5，
∴x ∈∅；
(3)x ≥1
2时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔5x ＋1≥8
⇔5x ≥7⇔x ≥7
5，
∴x ≥75
.
∴原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－95∪⎣⎡⎭⎫7
5＋∞. 3．解不等式|x －1|＋|2－x |＞3＋x .
解：把原不等式变为|x －1|＋|x －2|＞3＋x ， (1)当x ≤1时，
∴原不等式变为－(x －1)－(x －2)＞3＋x ，解得x ＜0； (2)当1＜x ≤2时，
∴原不等式变为x－1－(x－2)＞3＋x，解得x∈∅；
(3)当x＞2时，
∴原不等式变为x－1＋x－2＞3＋x，解得x＞6.
综上，原不等式解集为(－∞，0)∪(6，＋∞).
含绝对值不等式的恒成立问题
[例3]已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m.
(1)若不等式有解；
(2)若不等式解集为R；
(3)若不等式解集为∅，分别求出m的范围．
[思路点拨]解答本题可以先根据绝对值|x－a|的意义或绝对值不等式的性质求出|x＋2|－|x＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m的范围．
[解]法一：因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|P A|－|PB|.
由图像知(|P A|－|PB|)max＝1，
(|P A|－|PB|)min＝－1.
即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的范围为(－∞，1)．
(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1，m的范围为(－∞，－1)．
(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的范围为[1，＋∞)．
法二：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，
可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．
(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)．
(3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞)．
问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式解集为R或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a，f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.
4．把本例中的“>”改成“<”，即|x＋2|－|x＋3|<m时，分别求出m的范围．
解：由例题知－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1，所以
(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值大即可，即m∈(－1，＋∞)．
(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值大即可，即m∈(1，＋∞)．
(3)若不等式的解集为∅，m只要不大于|x＋2|－|x＋3|的最小值即可，即m∈(－∞，－1]．
5．把本例中的“－”改成“＋”，即|x＋2|＋|x＋3|>m时，分别求出m的范围．
解：|x＋2|＋|x＋3|≥|(x＋2)－(x＋3)|＝1，
即|x＋2|＋|x＋3|≥1.
(1)若不等式有解，m为任何实数均可，
即m∈R.
(2)若不等式解集为R，即m∈(－∞，1)．
(3)若不等式解集为∅，这样的m不存在，即m∈∅.
对应学生用书P15
1．不等式|x＋1|>3的解集是()
A．{x|x<－4或x>2}B．{x|－4<x<2}
C．{x|x<－4或x≥2} D．{x|－4≤x<2}
解析：|x＋1|>3，则x＋1>3或x＋1<－3，因此x<－4或x>2.
答案：A
2．不等式
|2x－1|－2
|x＋3|
＞0的解集为()
A.
⎩
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
x⎪⎪x＞
3
2或x＜－
1
2
B.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
－12＜x ＜32 C.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x ＞32或x ＜－1
2且x ≠－3 D.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
1＜x ＜32 解析：原不等式⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
|2x －1|＞2
x ＋3≠0⇒
⎩⎪⎨
⎪⎧
2x －1＜－2或2x －1＞2x ≠－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x ＜－12或x ＞32
，x ≠－3.
答案：C
3．不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<5的所有实数解的集合是( ) A ．(－3,2) B ．(－1,3) C ．(－4,1)
D.⎝⎛⎭
⎫－32，7
2 解析：|x ＋1|＋|x ＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x ＋1|＋|x ＋2|<5解集是(－4,1)．
答案：C
4．不等式1≤|2x －1|<2的解集为( )
A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪⎪
－12
＜x ＜0或1≤x ≤32 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －12＜x ≤0或1≤x ≤32 C.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪ －12<x ≤0且1≤x ≤32 D.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪ －12
<x ≤0或1≤x <32 解析：1≤|2x －1|<2则1≤2x －1<2或－2<2x －1≤－1，因此－12<x ≤0或1≤x <32.
答案：D
5．不等式|x ＋2|≥|x |的解集是________．
解析：因不等式两边是非负实数，所以不等式两边可以平方，两边平方得(x ＋2)2≥x 2，∴x 2＋4x ＋4≥x 2. 即x ≥－1.∴原不等式的解集为{x |x ≥－1}． 答案：{x |x ≥－1}
6．不等式|2x －1|－x <1的解集是__________． 解析：原不等式等价于|2x －1|<x ＋1⇔
－x －1<2x －1<x ＋1⇔⎩⎨⎧
3x >0，
x <2
⇔0<x <2.
答案：{x |0<x <2}
7．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|＜a 的解集为∅，则a 的取值范围为________．
解析：法一：由|x ＋2|＋|x －1|＝|x ＋2|＋|1－x |≥|x ＋2＋1－x |＝3，知a ≤3时，原不等式无解．
法二：数轴上任一点到－2与1的距离之和最小值为3.
所以当a ≤3时，原不等式的解集为∅. 答案：(－∞，3]
8．解不等式|3x －2|＋|x －1|＞3.
解：(1)当x ≤2
3时，|3x －2|＋|x －1|＝1－x ＋2－3x ＝3－4x ，由3－4x ＞3得x ＜0.
(2)当2
3＜x ＜1时，|3x －2|＋|x －1|＝3x －2＋1－x ＝2x －1，由2x －1＞3得x ＞2，∴x ∈∅.
(3)当x ≥1时，|3x －2|＋|x －1|＝3x －2＋x －1＝4x －3，由4x －3＞3得x ＞32，∴x ＞3
2
.
故原不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪
⎪
x ＜0或x ＞32. 9．已知f (x )＝|ax －2|＋|ax －a |(a ＞0)． (1)当a ＝1时，求f (x )≥x 的解集；
(2)若不存在实数x ，使f (x )＜3成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时， f (x )＝|x －2|＋|x －1|≥x ，
当x ≥2时，原不等式可转化为x －2＋x －1≥x ，解得x ≥3；
当1＜x ＜2时，原不等式可转化为2－x ＋x －1≥x ，解得x ≤1，∴x ∈∅； 当x ≤1时，原不等式可转化为2－x ＋1－x ≥x ，解得x ≤1. 综上可得，解集为{x |x ≤1或x ≥3}． (2)依题意，对∀x ∈R ，都有f (x )≥3，
则f (x )＝|ax －2|＋|ax －a |≥|(ax －2)－(ax －a )|＝|a －2|≥3，
∴a－2≥3或a－2≤－3，∴a≥5或a≤－1(舍)，
∴a的取值范围是[5，＋∞)．。