高考数学一轮复习 第二章 函数2.5指数与指数函数教学案 理

2.5 指数与指数函数
考纲要求
1．了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
1．根式
(1)根式的概念
(2)两个重要公式
①n
a n ＝
⎩
⎨
⎧n为奇数，
|a|＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧，a≥0，
，a<0
n为偶数；
②(n
a)n＝______(n＞1且n∈N*)(注意a必须使
n
a有意义)．
2．实数指数幂
(1)分数指数幂的表示
①正数的正分数指数幂的意义是
m
n
a＝______(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．
②正数的负分数指数幂的意义是
m
n
a-＝______＝1
n
a m
(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．
③0的正分数指数幂是____，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理指数幂的运算性质
①a r a s＝____(a＞0，r，s∈Q)；
②(a r)s＝____(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝____(a＞0，b＞0，r∈Q)．
(3)无理指数幂
一般地，无理指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个____的实数，有理指数幂的运算法则________于无理指数幂．
函数y＝a x(a＞0，且a≠1)
图象
0＜a＜1a＞1 图象特征
在x轴______，过定点________
当x逐渐增大时，图象逐渐下
降
当x逐渐增大时，图象逐渐上
升
性
质
定义域__________
值域__________
单调性在R上__________在R上__________
函数值变
化规律
当x＝0时，__________
当x＜0时，__________；
当x＞0时，__________
当x＜0时，__________；
当x＞0时，__________ 1．化简
4
16x8y4(x＜0，y＜0)得( )．
A ．2x 2y
B ．2xy
C ．4x 2y
D ．－2x 2
y
2．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x
是指数函数，则有( )． A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1
C ．a ＝2
D ．a ＞0且a ≠1
3．把函数y ＝f (x )的图象向左、向下分别平移2个单位长度得到函数y ＝2x
的图象，则( )．
A ．f (x )＝2x ＋2＋2
B ．f (x )＝2x ＋2
－2
C ．f (x )＝2x －2＋2
D ．f (x )＝2x －2
－2
4．函数y ＝xa x
|x |
(0＜a ＜1)图象的大致形状是( )．
5．函数f (x )＝2
23
x
x a
+-＋m (a ＞1)恒过点(1,10)，则m ＝__________.
一、指数式与根式的计算
【例1】 计算下列各式的值．
(1)23
278-
⎛⎫- ⎪
⎝⎭
＋1
2
(0.002)-－10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)
15＋2
－(3－1)0
－9－45；
11114
3
3
4
2()a b a b
-a ＞0，b ＞0)．
方法提炼
指数幂的化简与求值
(1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．
提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．
(2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．
请做演练巩固提升4
二、指数函数的图象与性质的应用
【例2－1】 在同一坐标系中，函数y ＝2x
与y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 的图象之间的关系是( )．
A ．关于y 轴对称
B ．关于x 轴对称
C ．关于原点对称
D ．关于直线y ＝x 对称
【例2－2】 已知函数f (x )＝243
13ax x -+⎛⎫ ⎪
⎝⎭
.
(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．
【例2－3】 k 为何值时，方程|3x
－1|＝k 无解？有一解？有两解？ 方法提炼
1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
2. 如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x
的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系及规律如下：图中直线x ＝1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底
数的值，即c 1＞d 1＞1＞a 1＞b 1
，∴c ＞d ＞1＞a ＞b ，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
3．与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤： (1)求复合函数的定义域；
(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； (3)分层逐一求解函数的单调性；
(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．
4．函数y ＝a f (x )
的值域的求解，先确定f (x )的值域，再根据指数函数的单调性确定y ＝a f (x )的值域．
请做演练巩固提升2
三、指数函数的综合应用 【例3】已知f (x )＝
a
a 2
－1
(a x －a －x
)(a ＞0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；
(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围． 方法提炼
1．利用指数函数的性质解决相关的综合问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
2．解决恒成立问题，一般需通过分离变量，通过转化为求函数的最值来实现． 请做演练巩固提升5
忽略0＜a ＜1或弄错x 的范围而致误
【典例】 (12分)已知函数y ＝b ＋22x x
a +(a ，
b 是常数且a ＞0，a ≠1)在区间⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤－32，0上有y max ＝3，y min ＝5
2
，试求a ，b 的值．
分析：先确定t ＝x 2
＋2x 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，0上的值域，再分a ＞1，0＜a ＜1两种情况讨论，构
建关于a ，b 的方程组求解．
规范解答：∵x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，0， ∴t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2
－1，值域为[－1,0]，即t ∈[－1,0]．(2分)
(1)若a ＞1，函数y ＝a t
在[－1,0]上为增函数，
∴a t
∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1，则b ＋22x x a +∈⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤b ＋1a
，b ＋1，
依题意得⎩⎪⎨⎪⎧
b ＋1a ＝52
，b ＋1＝3，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝2.(7分)
(2)若0＜a ＜1，函数y ＝a t
在[－1,0]上为减函数，
∴a t
∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a ，则b ＋22x x a +∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤b ＋1，b ＋1a ，(9分)
依题意得⎩⎪⎨⎪⎧
b ＋1
a
＝3，b ＋1＝5
2
，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2
3，b ＝3
2.
综上，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝2
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2
3，b ＝3
2.
(12分)
答题指导：
1．在解答本题时，有两大误区：
(1)误将x 的范围当成x 2
＋2x 的范围，从而造成失误．
(2)误认为a ＞1，只按第(1)种情况求解，而忽略了0＜a ＜1的情况，从而造成失误． 2．利用指数函数的图象、性质解决有关问题时，还有以下几个误区，在备考中要高度关注：
(1)忽视函数的定义域而失误；
(2)未能将讨论的结果进行整合而失误； (3)利用幂的运算性质化简指数式时失误； (4)在用换元法时忽视中间元的范围而失误．
1．(2012天津高考)已知a ＝21.2
，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )．
A ．c ＜b ＜a
B ．c ＜a ＜b
C ．b ＜a ＜c
D ．b ＜c ＜a
2．在同一个坐标系中画出函数y ＝a x
，y ＝sin ax 的部分图象，其中a ＞0且a ≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )．
3．类比“两角和与差的正、余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S (x )＝a x －a －x
2
，
C (x )＝a x ＋a －x
2
，其中a ＞0且a ≠1，下面正确的运算公式是( )．
①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )； ②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )； ③C (x －y )＝C (x )C (y )－S (x )S (y )； ④C (x ＋y )＝C (x )C (y )＋S (x )S (y )．
A ．①③
B ．②④
C ．①④
D ．①②③④
4．计算⎝ ⎛⎭
⎪⎫lg 14－lg 25÷1
2100-＝__________.
5．若函数y ＝
a ·2x －1－a
2x
－1
为奇函数．
(1)求a 的值；
(2)求函数的定义域； (3)讨论函数的单调性．
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1．(1)x n
＝a 正数 负数 两个 相反数 (2)①a a －a ②a
2．(1)①n
a m
②
1m n
a
③0 (2)①a
r ＋s
②a rs
③a r b r
(3)确定 同样适用 3．上方 (0,1) R (0，＋∞) 递减
递增 y ＝1 y ＞1 0＜y ＜1 0＜y ＜1 y ＞1 基础自测
1．D 解析：4
16x 8y 4
＝1
8
44
(16)x y ＝1484
4
2()()x y ⎡⎤⋅-⋅-⎣⎦ ＝1114844
4
4
2()()x y ⨯
⨯
⨯
⋅-⋅-
＝2(－x )2(－y )＝－2x 2
y .
2．C 解析：由已知，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2
－3a ＋3＝1，
a >0且a ≠1，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2
－3a ＋2＝0，a >0且a ≠1.∴a ＝2.
3．C 解析：因为将函数y ＝2x 的图象向上平移2个单位长度得到函数y ＝2x
＋2的图象，
再向右平移2个单位长度得到函数y ＝2x －2
＋2的图象，所以，函数f (x )的解析式为f (x )＝2x －2
＋2.
4．D 解析：当x ＞0时，y ＝a x ；当x ＜0时，y ＝－a x
.故选D. 5．9 解析：f (x )＝223
x x a +-＋m 在x 2
＋2x －3＝0时过定点(1,1＋m )或(－3,1＋m )，∴1＋m ＝10，解得m ＝9. 考点探究突破
【例1】 解：(1)原式＝
＝21
3
2850027⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝5－2－1－(5－2)2
＝(5－2)－1－(5－2)＝－1. (3)原式＝
12132
332
1123
3
()a b a b ab a b
-＝3111111226333
a
b +-++--＝ab －1
.
【例2－1】A 解析：∵y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＝2－x
，
∴它与函数y ＝2x
的图象关于y 轴对称．
【例2－2】解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝243
13x x --+⎛⎫ ⎪
⎝⎭
，
令g (x )＝－x 2
－4x ＋3，
由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，
而y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13g (x )
在R 上单调递减．
所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．
(2)令h (x )＝ax 2
－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫13h (x )． 由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪
⎧
a >0，12a －16
4a ＝－1，解得
a ＝1.
即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.
【例2－3】 解：函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x
的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．
当k ＜0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x
－1|的图象无交点，即方程无解；
当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x
－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；
当0＜k ＜1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x
－1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解． 【例3】 解：(1)函数定义域为R ，关于原点对称．
又∵f (－x )＝
a
a 2
－1
(a －x －a x
)＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．
(2)当a ＞1时，a 2
－1＞0，
y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，
从而y ＝a x －a －x
为增函数， ∴f (x )为增函数．
当0＜a ＜1时，a 2
－1＜0，
y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，
从而y ＝a x －a －x
为减函数，∴f (x )为增函数．
故当a ＞0且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数， ∴f (x )在区间[－1,1]上为增函数． ∴f (－1)≤f (x )≤f (1)．
∴f (x )min ＝f (－1)＝
a
a 2
－1
(a －1
－a ) ＝a
a 2－1·1－a
2
a
＝－1. ∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1]． 演练巩固提升
1．A 解析：a ＝21.2
，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－0.8＝20.8，
∵21.2＞20.8
＞1，
∴a ＞b ＞1，c ＝2log 52＝log 54＜1. ∴c ＜b ＜a .
2．D 解析：若a ＞1，则y ＝a x
是增函数，且y ＝sin ax 的周期T ＝2πa
＜2π；
若0＜a ＜1，则y ＝a x 是减函数，且y ＝sin a x
的周期T ＝2πa
＞2π.
3．A 解析：∵S (x ＋y )＝
a x ＋y －a
－(x ＋y )
2
，S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝
a x －a －x 2·a y ＋a －y
2
＋a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＝a x ＋y ＋a x －y －a y －x －a －(x ＋y )4＋a x ＋y －a x －y ＋a y －x －a －(x ＋y )4＝2a x ＋y －2a －(x ＋y )
4
＝
a x ＋y －a －(x ＋y )
2
＝S (x ＋y )，故①正确；同理可知③也正确．故选A.
4．－20 解析：(lg 14－lg 25)÷1
2100-＝lg(14×1
25
)÷
1
2
1100
＝lg 1100÷1100
＝lg 10－2
×100＝－2×10＝－20.
5．解：∵函数y ＝a ·2x －1－a
2x
－1
， ∴y ＝a －1
2x －1
.
(1)由奇函数的定义， 可得f (－x )＋f (x )＝0，
即a －12－x －1＋a －1
2x －1
＝0，
∴2a ＋1－2x
1－2x ＝0，∴a ＝－12
.
(2)∵y ＝－12－1
2x －1
，
∴2x
－1≠0，即x ≠0.
∴函数y ＝－12－1
2x －1
的定义域为{x |x ≠0}．
(3)当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，则
y 1－y 2＝2121x -－11
21x -＝122122(21)(21)
x x x x ---.
∵0＜x 1＜x 2，∴1＜12x ＜22x
.
∴12x －22x ＜0,12x －1＞0,22x
－1＞0.
∴y 1－y 2＜0，因此y ＝－12－1
2x －1在(0，＋∞)上单调递增．
同样可以得出y ＝－12－1
2x －1
在(－∞，0)上单调递增．。