2019-2020学年数学高中人教A版必修1学案：1.3.1.1 单调性与最大(小)值

第一章　集合与函数概念

1.3　函数的基本性质

1.3.1　单调性与最大(小)值(第一课时)

学习目标

①使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法;

②通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的数学思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力;

③通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程.

合作学习

一、设计问题,创设情境

德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,1850~1909),他以自己为实验对象,共做了163次实验,每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次,达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试,得到了一些数据.

时间间隔t0分钟20分钟60分钟8~

9小时

1天2天6天一个月

记忆量y

(百分比)

100%58.2%44.2%35.8%33.7%27.8%25.4%21.1%

观察这些数据,可以看出:记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量(时间间隔t)逐渐增大时,你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗?描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的?你能用数学符号来刻画吗?通过这

个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?

二、自主探索,尝试解决

记忆量y随时间间隔t的增大而增大;以时间间隔t为x轴,以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系,描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图所示.

遗忘曲线是一条衰减曲线,它表明了遗忘的规律.随着时间的推移,记忆保持量在递减,刚开始遗忘速度最快,我们应利用这一规律,在学习新知识时一定要及时复习巩固,加深理解和记忆.

问题1:如图所示为一次函数y=x、二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?

问题2:函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义?

问题3:如何理解图象是上升的?

问题4:在数学上规定:函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义?

三、信息交流,揭示规律

1.增函数的定义

问题5:增函数的定义中,把“当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)”改为“当x1>x2时,都有f(x1)>f(x2)”,这样行吗?

问题6:增函数的定义中,“当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势?函数的图象有什么特点?

问题7:类比增函数的定义,请给出减函数的定义及其几何意义?

2.减函数的定义

减函数的几何意义:

问题8:函数y=f(x)在区间D上具有单调性,说明了函数y=f(x)在区间D上的图象有什么变化趋势?

四、运用规律,解决问题

【例1】如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在

每一单调区间上,它是增函数还是减函数?

【例2】物理学中的玻意耳定律p=(k 为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V k V 减少时,压强p 将增大.试用函数的单调性证明之.【例3】(1)画出已知函数f (x )=-x 2+2x+3的图象;

(2)证明函数f (x )=-x 2+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数;

(3)当函数f (x )在区间(-∞,m ]上是增函数时,求实数m 的取值范围.

五、变式演练,深化提高

1,已知函数f(x)是R 上的增函数,设F(x)=f(x)-f(a-x).

(1)用函数单调性定义证明F(x)是R 上的增函数;

(2)证明函数y=F (x )的图象关于点(,0)成中心对称图形.a 2