北师大版九年级数学上册半期考试(含答案)

北师大版九年级数学第一学期期中考试试卷
（满分：150分 时间：120分钟）
学校： 班级： 姓名： 座号 友情提示：请将解答写在答题卡上！
一、选择题 （共10题，每小题4分，共40分） 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．x 2＝2
B ．1+x 2＝y
C ．
2
341
x =+ D ．x 2﹣x ﹣1
2．若△ABC 与△DEF 相似，且对应边的比为2：3，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ） A ．2：5 B ．2：3
C ．4：9
D ．4：25
3．若x ＝1是方程x 2
﹣2mx +3＝0的解，则m 的值为（ ） A ．5
2
B ．2
C ．1
2
D ．﹣2
4．若a 、b 、c 、d 是成比例线段，其中a ＝5，b ＝2.5，c ＝8，则线段d 的长为（ ） A ．2
B ．4
C ．5
D ．6
5．某商品原价为180元，连续两次涨价后，售价为200元．若平均每次增长率为x ，可列方程为（ ）
A ．180（1﹣x ）＝200
B ．180（1+x ）＝200
C ．180（1﹣x ）2
＝200
D ．180（1+x ）2
＝200
6．如图，点P （8，6）在△ABC 的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将△ABC 缩小到原来的1
2
，得到△A ′B ′C ′，点P 在A ′C ′上的对应点P ′的的坐标为（ ）
A ．（4，3）
B ．（3，4）
C ．（5，3）
D ．（4，4）
7．将一元二次方程5x 2+1＝6x 化为一般形式后，常数项为1，二次项系数和一次项系数分别
为（ ） A ．5，﹣6
B ．5，6
C ．5，1
D ．5x 2，﹣6x
8．两辆车按1，2编号，方方和成成两人可以任意选坐一辆车．则两人同坐1号车的概率为 A ．16
B ．15
C ．14
D ．1
3
9．已知a ，b ，c 满足a ﹣b +c ＝0，4a ﹣2b +c ＝0，则关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的解的情况为（ ）
A ．x 1＝1，x 2＝2
B ．x 1＝﹣1，x 2＝﹣2
C ．方程的解与a ，b 取值有关
D ．方程的解与a ，b ，c 的取值有关 10．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，点
E 、
F 分别在CB 的延长线和反向延长线上，∠EAF ＝135°，若CE ＝3，BF ＝4，则BC 的长为（ ） A ．1 B ．2
C
． D ．3
二．填空题(每小题4分，共24分)
11．已知
32
a b
=
，则
a b b
-＝ ．
12．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外其他完全相同．小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色的频率稳定在20%，则口袋中红色球的个数大约是_________个．
13．如图是用杠杆撬石头的示意图，C 是支点，当用力压杠杆的A 端时，杠杆绕C 点转动，另一端B 向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B 端必须向上翘起10cm ，已知杠杆的动力臂AC 与阻力臂BC 之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A 端向下压 cm ．
14．某商场将每千克进价12元的某种水果以18元售出，平均每天可销售200
千克．为减少
第13题图
第10题图
库存，经调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可多售出75千克．设每千克应降价x 元，用含x 的代数式表示：降价后每天售出_______________千克的水果．
15．如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝1，在BC 上取一点，早BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD ＝ ． 16．已知关于x 的一元二次方程2304ax ax +=-（a 是整数）至少有一个正整数根，则满足条件的a 的值有_____________． 三．解答题（共86分）
17．（每小题5分，共20分）解下列方程
（1）230x x -= （2）2
5410x x -+=
（3
）2
2x += （4）()2
2241x x --+=-
18．（本题满分10分）
如图，在△ABC 中，DE ∥AC ，DF ∥AE ，BD ：DA ＝3：2，BF ＝6，DF ＝8， （1）求EF 的长； （2）求AE 的长．
19．（本题满分8分）
游客到某景区旅游，经过景区检票口时，共有3个检票通道A 、B 、C ，游客可选择其中的一个通过．
（1）一名游客经过此检票口时，选择A 通道通过的概率是 ．
（2）两名游客经过此检票口时，请用“列表法”或“画树状图法”求他们选择不同通过的概率．
20．（本题满分8分）
如图，∠ACB ＝∠CDB ＝90°，在线段CD 上求作一点P ，使△APC ∽△CDB ．简述你的作
法并说明理由．
21．（本题满分8分）
某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在空地中修两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．
22．（本题满分10分）
如图，已知四边形ABCD 中，∠B =∠C ，AB =8，BC =10，CD =3，E 是BC 上一点，BE =4． （1）求证：△ABE ∽△ECD ； （2）求证：∠AED =∠B ．
23．（本题满分10分）
关于x 的一元二次方程2
0ax bx c ++=的两个根分别为1x 和2x ，则12b x x a
+=-
，x 1·x 2c
a
=
． 根据以上结论解决下列问题： （1）若1a =，4b =-，c m =．
第15题图
A
C
D
B
E
①如果方程有实数根，求实数m 的取值范围； ②若方程两根满足5x 1＋2x 2＝2，求实数m 的值．
（2）若1a =，2b t =-，242c t t =--，求222122x x t +-的最小值．
24．（本题满分12分） 在△ABC 中，∠ABC ＝90°，
AB
n BC
=，M 是BC 上一点，连接AM ． （1）如图1，若n ＝1，N 是AB 延长线上一点，CN 与AM 垂直，求证：BM ＝BN ． （2）过点B 作BP ⊥AM ，P 为垂足，连接CP 并延长交AB 于点Q ． ①如图2，若n ＝1，求证：
CP BM
PQ BQ
=． ②如图3，若M 是BC 的中点，求证：∠BPQ ＝∠BAC ．
参考答案
11、
1
2 12、10 13、40 14、20075x + 152
16、1三、解答题（本大题共52分）
17、计算：（20分）
（1）1230,x x == （2）原方程没有实数根
（3）121,1x x == （4）123x x == 18、（10分） 解：（1）∵DF ∥AE ，
∴
＝
，即
＝，
解得，EF ＝4；
（2）∵DF ∥AE ，
∴
＝
，即
＝， 解得，EA ＝．
19、（8分）
解：（1）一名游客经过此检票口时，选择A 通道通过的概率是， （2）列表如下：
A B
C
A （A ，A ） （A ，
B ） （A ，
C ） B （B ，A ） （B ，B ）
（B ，C ） C
（C ，A ） （C ，B ） （C ，A ）
共有9种等可能结果，其中通道不同的结果为6种， 所以他们选择不同通道通过的概率为＝． 20、（8分） 解：（1）法一：如图所示，
作法：过点A 作AP ⊥CD 于点P ，点P 即为所求．
法二：作∠P AC =∠BCD ，AP 交CD 于点P ，点P 即为所求．
（2）证明：略
21、（8分）
解：设人行道的宽度为x 米（0＜x ＜3），根据题意得： （18﹣3x ）（6﹣2x ）＝60， 整理得，（x ﹣1）（x ﹣8）＝0．
解得：x 1＝1，x 2＝8（不合题意，舍去）． 答：人行通道的宽度是1米．
22、（10分） 证明：（1）由已知得EC =BC -BE =6，
∵248==BE AB ，23
6==CD EC ，
∴CD
EC BE AB =． 又∵∠B =∠C ，
∴△ABE ∽△ECD ． （2）∵△ABE ∽△ECD ， ∴∠BAE =∠CED ．
∵∠BAE+∠B =∠AEC=∠CED+∠AED ， ∴∠B =∠AED ． 23．（本题满分10分） 解：（1）①证明：∵方程有实数根 ∴()2
441640m m ∆=--=-≥ ∴4m ≤
②∵124x x +=
∴()12121152232432x x x x x x +=++=⨯+= ∴12x =-
把12x =-代入2
40x x m -+=，解得：12m =-
（2）由()()
2
2
24420t t t ∆=----≥，解得：2
t 1≥-
又122x x t +=，21242x x t t =--
∴()122
222
12122284x x x x x x t t +=+-=++
∴12222284x x t t +-=+ 因此，当2
t 1
=-
时，122222x x t +-有最小值为0 24．（本题满分12分）
（1）证明：如图1中，延长AM 交CN 于点H ． ∵AM ⊥CN ，
∴∠AHC ＝90°， ∵∠ABC ＝90°，
∴∠BAM +∠AMB ＝90°，∠BCN +∠CMH ＝90°， ∵∠AMB ＝∠CMH ， ∴∠BAM ＝∠BCN ，
∵BA ＝BC ，∠ABM ＝∠CBN ＝90°， ∴△ABM ≌△CBN （ASA ）， ∴BM ＝BN ．
（2）①证明：如图2中，作CH ∥AB 交BP 的延长线于H ． ∵BP ⊥AM ，
∴∠BPM ＝∠ABM ＝90°，
∵∠BAM +∠AMB ＝90°，∠CBH +∠BMP ＝90°， ∴∠BAM ＝∠CBH ， ∵CH ∥AB ，
∴∠HCB +∠ABC ＝90°， ∵∠ABC ＝90°，
∴∠ABM ＝∠BCH ＝90°， ∵AB ＝BC ，
∴△ABM ≌△BCH （ASA ）， ∴BM ＝CH ， ∵CH ∥BQ ， ∴
＝
＝
．
②简解：(射影定理)证2
BM PM AM =
由BM =CM 得2
CM PM AM = 则△PMC ∽△CMA 可得∠BPQ ＝∠BAC。