向量的概念与线性运算

高考数学一轮复习专题训练(36)

向量的概念与线性运算

班级________ 姓名____________ 学号______ 成

绩______ 日期____月____日

一、 填空题

1. 化简：AB →＋DF →＋CD →＋BC →＝________．

2. 已知向量a ，b ，则“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”的____________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分又不必要”)

3. 一艘船以5km /h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km /h ，则船的实际航行速度最大是________km /h ，最小是________km /h .

4. 下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等，则所有正确的命题是________．(填序号)

5. 已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若a －2b 与非零向量m a ＋n b 共线，则m

n

的值为________．

6. 已知向量a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1－2e 2，c ＝2e 1＋3e 2(e 1，e 2是一组基底)，且a ＝m b ＋n c ，则m ＋n ＝________．

7. 已知在△ABC 中，点D 在边BC 上，且CD →＝2DB →，CD

→＝rAB →＋sAC →， 则r ＋s ＝________．

8. 设M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2

＝16，|AB

→＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________．

9. 已知D 为△ABC 的边AB 的中点，点M 在DC 上且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为________．

10. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则下列等式成立的是________．(填序号)

①PA

→＋PB →＝0； ②PC →＋PA →＝0； ③PB →＋PC →＝0; ④PA →＋PB →＋PC →＝0.

11. 已知M ，N 是△ABC 的边BC ，CA 上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，设AB

→＝a ，AC →＝b ，则MN →＝______________．(用a ，b 表示)

12. 在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →(其中λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________．

二、 解答题

13. 设a ，b 是两个不共线的非零向量，记OA

→＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，那么当实数t 取何值时，A ，B ，C 三点共

线？

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向量的概念与线性运算

1. AF → 解析：AB →＋DF →＋CD →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＝AF

→. 2. 必要不充分 解析：若a ∥b ，则a 与b 共线，但a ＋b ＝0不一定成立，即若a ∥b ，则a ＋b ＝0为假命题；若a ＋b ＝0成立，则a 与b 反向，则a 与b 一定共线，即若a ＋b ＝0，则a ∥b 为真命题，故“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”的必要不充分条件．

3. 7 3 解析：船的实际速度最大为船速加河水的流速为5＋2＝7(km /h )，最小为船速减河水的流速为5－2＝3(km /h )．

4. ① 解析：根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与向量BA →的模相等，方向相反，故③错误．

5. －1

2 解析：因为a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，所以a －

2b ＝(2，3)－(－2，4)＝(4，－1)，m a ＋n b ＝(2m －n ，3m ＋2n )．因为a －2b 与非零向量m a ＋n b 共线，所以2m －n

4＝

3m ＋2n －1

，解得14m ＝－7n ，即m n ＝－1

2.

6. 6

13 解析：将b ＝3e 1－2e 2，c ＝2e 1＋3e 2代入a ＝m b ＋n c 得a ＝m (3e 1－2e 2)＋n (2e 1＋3e 2)＝e 1＋e 2.则3m e 1－2m e 2＋2n e 1＋3n e 2＝e 1＋e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋2n ＝1，

3n －2m ＝1，

解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝113，n ＝513，所

以m ＋n ＝6

13

.

7. 0 解析：因为CD →＝2DB →，所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)．因为CD →＝rAB →＋sAC →，所以r ＝23，s ＝－23，所以r ＋s

＝0.

8. 2 解析：由|BC

→|2＝16，得|BC →|＝4，因为|AB →＋AC →|＝|AB

→－AC →|＝|CB →|＝4，|AB →＋AC →|＝2|AM →|，所以|AM →|＝2. 9. 3∶5 解析：由5AM

→＝AB →＋3AC →，得2AM →＝2AD →＋3AC →－3AM →，即2(AM →－AD →)＝3(AC →－AM →)，即2DM →＝3MC →，故DM →＝35DC →，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5，

故S △ABM ∶S △ABC ＝3∶5.

10. ② 解析：因为BC →＋BA →＝2BP →，所以BC →－BP →＝BP →－BA

→，所以PC →＝AP →，所以PC →－AP →＝0，所以PC →＋PA →＝0. 11. 13b －23a 解析：MN →＝MC →＋CN →＝23BC →＋13CA →＝23(AC

→－AB →)－13AC →＝－23AB →＋13AC →＝－23a ＋13

b .