两个随机变量的函数的分布【概率论与数理统计+浙江大学】

由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率
密度为:
fZ (z) FZ' (z)

f (z y, y)dy

由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成
fZ (z) FZ' (z)

f ( x, z x)dx

以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.
第五节 两个随机变量的函数的分布
Z=X+Y的分布 Z=Y\X及Z=XY的分布 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 课堂练习
在第二章中，我们讨论了一维
随机变量函数的分布，现在我们进一 步讨论:
当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何 求出它们的函数
的分布?
Z = g ( X, Y )
i)!

i r-i
12

e(1 2 ) r!
(1

2 )r ,
r=0,1,…
即Z服从参数为 λ1 λ2 的泊松分布.
例3 设X和Y的联合密度为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度.
解 Z=X+Y的分布函数是:
y
FZ z P Z z
PX Y z
也即
0 x 1 z 1 x z

fZ (z) f X (x) fY (z x)dx
故 当 z 0 或 z 2 时 , fZ z 0.
当0 z 1时 ,
暂时固定
fZ z
z
dx z
0
z x1
当 1 z 2时 ,
FXi z (i = 1, …, n)
我们来求 M=max(X1,…,Xn) 和N=min(X1,…,Xn) 的分布函数.
用与二维时完全类似的方法，可得
M=max(X1,…,Xn)的分布函数为:
FM z FX1 z FX2 z LFXn z
N=min(X1,…,Xn)的分布函数是
FY

y

1 0 ,
e
βy
,
y0, y0,
于是 Z min X ,Y 的分布函数为
Fmin z = 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
1 e(α β)z , z 0 ,

0 ,
z0,
Z min X ,Y 的概率密度为
fmin z
i0
由独立性 =a0br+a1br-1+…+arb0 r=0,1,2, …
例2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为λ1, λ2 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为 λ1 λ2 的泊松分布.
解 依题意
P(X

i)

e 1 i 1
i=0,1,2,…
i!
P (Y

j)
e 2 j 2
fX

x

αe αx 0 ,
,
x x

0 0
, ,
fY

y

βe βy 0 ,
,
y0, y0,
其中 α 0, β 0 且 α β. 试分别就以上三种连接方
式写出 L的寿命 Z的概率密度.
XY
L1
X
L1 L2
Y
L1
X Y
L2
L2
解 (i) 串联的情况
则当 s 0 时, F(s) P{XY s} 0,
当 s 2 时, F(s) P{XY s} 1, 当 0 s 2 时,
F(s) P{S s} P{XY s} 1 P{XY s}
1 f ( x, y)d x d y 1 xy s
x
fX
t dt
当 x 0 时 ,
FX x
x
0dt 0

当 x > 0 时 ,
FX
x
0
0dt
x eαtdt 1 eαx

0

x
x0 x
故
FX

x


1 0
,
e αx
,
x0, x0,
类似地 , 可求得 Y 的分布函数为
0
f (x, y)dxdy
D
这里积分区域 D={(x, y): x+y ≤z}
它是直线 x+y =z 及其左下方的半平面.
x x yz
y
FZ (z) f ( x, y)dxdy
x yz
y
化成累次积分,得
zy
0
FZ (z)
[

f ( x, y)dx]dy
若X和Y 独立,
X
~
N
(
1
,
2 1
),Y
~
N
(
2
,
2 2
),
结论又如何呢?
用类似的方法可以证明:
Z

X
Y
~
N (1

2
,
2 1


2 2
)
此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形, 请自行写出结论.
更一般地, 可以证明:
有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态 分布. 即
若 Xi
上服从均匀分布, 试求边长为 X 和 Y 的矩形面积
S 的概率密度 f (s).
解 由题设知二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
f
(
x,
y)


1 2
,
若 (x, y)G,
0, 若 ( x, y) G.
S X Y , 设 F (s) P{S s} 为 S 的分布函数,
2
dx
s
11
s x
2
d
y
s (1 ln 2 ln s). 2
故 f (s) 12 (ln2 ln s), 0 s 2,
0,
其他.
三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布
设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分
布函数分别为FX(x) 和 FY(y),我们来求 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函数.
特别地，当 X 和 Y 独立，设 (X,Y) 关于 X , Y 的边 缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:

fZ (z) f X (z y) fY ( y)dy


fZ (z)

f X ( x) fY (z x)dx
卷积公式
下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.
FN z 1 [1 FX1 z ][1 FX2 z ]L[1 FXn z ]
特别地，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分 布函数F(x)时，有
FM z [F z]n FN z 1 [1 F z]n
例7 设系统 L 由两个相互独立的子系统 L1, L2 连接而成,连接的方式分别为 (i) 串联, (ii) 并联, (iii) 备用 (当系统 L1 损坏时, 系统 L2 开始工作) , 如下图 所示.设 L1, L2 的寿命分别为 X ,Y ,已知它们的概率 密度分别为
1. M = max(X,Y) 的分布函数 FM(z)=P(M≤z) =P(X≤z,Y≤z)
M

z

X Y

z z
由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布
函数为: FM(z) =P(X≤z)P(Y≤z)
即有
FM(z)= FX(z)FY(z)
2. N = min(X,Y) 的分布函数
一、Z X Y 的分布
例1 若 X、Y 独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 ,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,求 Z=X+Y 的概率函数.
解 P(Z r) P(X Y r)
r
P(X i,Y r i)
i0 r
P( X i)P(Y r i)
由于当系统 L1, L2中有一个损坏时, 系统 L 就停 止工作, 所以此时 L 的寿命为
Z min X ,Y
因为 X 的概率密度为
fX

x

αe αx 0 ,
,
x x

0 0
, ,
所以 X 的分布函数为
FX x
x
fX
t dt
XY
L1 L2
FX x
FN(z)=P(N≤z) =1-P(N>z)
=1-P(X>z,Y>z)
N

z

X Y
z z
由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 N = min(X,Y) 的分布 函数为:
FN(z) =1- P(X>z)P(Y>z)
即有
FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
设 X1,…,Xn 是 n 个相互独立的随机变量,它们的 分布函数分别为

Fmin z

α
0 ,

β e(α β )z
,
z0, z0,
(ii) 并联的情况 由于当且仅当系统 L1, L2都损坏时, 系统 L 才停 止工作, 所以此时 L 的寿命为
Z max X ,Y 故 Z max X ,Y 的分布函数为
Fmax z FX x FY y
x x yz
固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令 x=u-y,
得
z
FZ (z)
[ f (u y, y)du]dy

z
变量代换
[ f (u y, y)dy]du
交换积分次序
z
FZ (z)
[ f (u y, y)dy]du
例4 若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度
1, 0 x 1
f (x) 0,
其它
求 Z=X+Y 的概率密度 .
解 由卷积公式

fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域
0 x 1 0 z x 1
N
(i
,
2 i
),
i

1,
2,
, n 相互独立，则
n
ki Xi
i 1
n
n
N(
kii ,
ki2
2 i
)
i 1
i 1
二、Z=Y\X, Z=XY的分布
设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，则Z=Y\X的密
度函数为

fY X (z)
x

f (x, xz)dx.
fXY (z)
e 4 e 2 dx
2π

令 t x z, 得 2
fZ
z

1
z2
e4
et2 dt
1
z2
e 4
2π

2π
π

1

z2
2
e 2 2
2π 2
可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).

若X和Y 独立 , 具有相同的分布 N(0,1) , 则Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).
j=0,1,2,…
j!
于是
r
P(Z r) P(X i,Y r i)
i0
r
P(Z r) P(X i,Y r i) i0

r
i
e-1 1 e-2
r-i 2
i0
i!
(r - i)!

e(1 2 ) r!
r i0
r! i!(r -
z
fZ z
1
dx 2 z
z1
于是
z , 0 z 1,
fZ z 2 z ,1 z 2,
0 , 其它.
2
z 1 z O zz 11
z x x
例5 若X和Y 是两个相互独立的随机变量 , 具 有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度.
L1 X L2 Y
(1 eαz )(1 e βz ) , z 0 ,

0 ,
z0,
于是 Z max X ,Y 的概率密度为
fmax z Fmax z
αeαz βe βz α β e(α β) , z 0 ,

0 ,
z0,
(iii) 备用的情况
由于当系统 L1 损坏时, 系统 L2 才开始工作,
因此整个系统 L 的寿命为
L1 X
Z X Y
L2 Y

fZ (z) f X (z y) fY ( y)dy
解 由卷积公式

fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
1
x2
z x2

e 2 e 2 dx
2π
Leabharlann Baidu
1

z2
e2
e( x2 zx)dx
2π
1 z2

( x z )2
e 4 e 2 dx
2π

1 z2 ( x z )2
1 x
f (x, z )dx. x
当 X, Y 独立时,

fY X (z)
x

fX (x) fY (xz)dx.
1
z
f XY (z) x f X (x) fY ( x )dx.
例6 设随机变量( X ,Y ) 在矩形
G {(x, y) 0 x 2, 0 y 1}