(完整版)多元函数微分学复习题及答案

第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答
一、选择题
1. 极限lim x y x y
x y
→→+00
242= （提示：令22y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于
12 (D) 存在且不等于0或1
2 2、设函数f x y x y y x
xy xy (,)sin sin
=+≠=⎧
⎨⎪⎩⎪1100
，则极限lim (,)x y f x y →→0
= （ C ）
（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）
(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2
3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪
⎩
⎪22
2222000
，则(,)f x y （ A ）
（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =
，
20
0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，
(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）
(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续
4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件
(B)充分而非必要条件
(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件
5、设u y x =arctan ，则∂∂u x = （ B ）
(A)
x
x y 22
+
(B) -
+y x y 22 (C) y
x y 22
+
(D)
-+x
x y 22
6、设f x y y
x
(,)arcsin
=，则f x '(,)21= （ A ） （A ）-1
4
（B ）
14 （C ）-12 （D ）1
2
7、设y
x
z arctan
=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）
（A ）
22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）2
2v u u
v +-
8、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ） (A) x +
3
2
(B) x -
3
2
(C) 21x + (D) -+21x 9、设z y x =，则(
)(,)∂∂∂∂z x z
y
+=21 （ A ） (A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 1
10、设z xye xy =-，则z x x x
'
(,)-= （ D ） (A)-+2122x x e x () (B)2122x x e x ()- (C)--x x e x ()122 (D)-+x x e x ()122
11、曲线x t y t z t ===24sin ,cos ,在点(,,)202
π
处的法平面方程是 （C ）
(A) 242x z -=-π (B) 224x z -=-π (C) 42y z -=-π (D) 42
y z -=π
12、曲线45x y y z ==,,在点(,,)824处的切线方程是 （A ）
(A)
84
2204
x z y --=-= (B)x y z +==
+122044 (C) x y z -=-=-85244 (D)x y z -=-=
3514
13、曲面x z y x z cos cos +-
=ππ22
在点π
π2120,,-⎛⎝ ⎫⎭⎪处的切平面方程为 （D ）
（A ）x z -=-π1 （B ）x y -=-π1 （C ）x y -=
π2 （D ）x z -=π
2
14、曲面x yz xy z 2236-=在点(,,)321处的法线方程为 （A ） （A ）
x y z +=--=--58531918 （B ）x y z -=-=
--38231
18
（C ）83180x y z --= （D ）831812x y z +-=
15、设函数z x y =-+122，则点 (,)00是函数 z 的 （ B ） （A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点 （C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点 16、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有
2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）
（A ）点P 0是函数z 的极大值点 （B ）点P 0是函数z 的极小值点 （C ）点P 0非函数z 的极值点 （D ）条件不够，无法判定 17、函数f x y z z (,,)=-2在222421x y z ++=条件下的极大值是 （ C ）
(A) 1 (B) 0 (C)-1 (D) -2 二、填空题 1、极限lim
sin()
x y xy x
→→0
π
= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：π 2、极限lim
ln()x y x y e x y
→→++01
2
2
2
=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：ln2
3、函数z x y =+ln()的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：x y +≥1
4、函数z x
y
=
arcsin 的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫
⎭
⎪22，则f kx ky (,)= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：k f x y 2⋅(,)
6、设函数f x y xy x y (,)=+，则f x y x y (,)+-= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：22
2x y x
-
（22
()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x
+--+-==++-Q ）
7、设f x y x y x y A x y (,)ln()
//=-⋅+<+≥⎧⎨
⎩11212
22222
2
，要使f x y (,)处处连续，则
A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-ln2
8、设f x y x y x y x y A
x y (,)tan()(,)(,)(,)(,)
=++≠=⎧⎨⎪
⎩⎪2222
0000，要使f x y (,)在（0，0）处连续，
则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：1 9、函数22
1x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点
10、函数f x y x y y
x (,)cos =
-122
的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线y x =±及x =0
11、设z x y y =-+sin()3，则
∂∂z x
x y ===21
_________ .答：3cos5
12、设f x y x y (,)=+22，则f y (,)01= _________ .答：1
13、设u x y z x y z
(,,)=⎛⎝ ⎫⎭
⎪，则)3,2,1(d u =_________ .答：383161
82d d ln d x y z --
14、设u x x y =
+22
，则在极坐标系下，
∂∂u
r
= _________ .答：0 15、设u xy y x =+，则∂∂22u x = _________.答：23y
x
16、设u x xy =ln ，则∂∂∂2u x y = ___________ .答：1
y
17、函数y y x =()由12+=x y e y 所确定，则
d d y x = ___________ .答：22xy
e x
y - 18、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则
∂∂z
y
= _______ .答：21
12
xyz xy --
19、由方程xyz x y z +++=2222所确定的函数z z x y =(,)在点（1，0，－1）
处的全微分d z = _________ .答：d d x y -2
20、曲线x t y t z t ===23213,,在点(,,)121
3
处的切线方程是_________.
答：x y z -=-=-122213
21、曲线x te y e z t e t t t ===232222,,在对应于 t =-1点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x 22、曲面xe y e z e e
y z x ++=
+22332
1在点(,,)210-处的法线方程为_________ . 答：e z
e y x 22212=-+=
- 23、曲面arctan y xz 14
+=π
在点(,,)-210处的切平面方程是_________.答：
y z +=21
24、设函数z z x y =(,)由方程1
2
3552422x xy y x y e z z +--+++=确定，则函数z
的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数z x y x y =----2346122的驻点是_________.答：（1，1）
25、若函数f x y x xy y ax by (,)=+++++22236在点 (,)11-处取得极值，则常
数a =_________， b =_________.答：a =0，b =4
26、函数f x y z x (,,)=-22在x y z 22222--=条件下的极大值是_______答：-4 三、计算题
1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.
(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1
ln()
z x y =
+ (4)ln(1)z xy =-
解：(1)
要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.
故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1
(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为
{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2
(3)要使函数1
ln()
z x y =
+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且
1x y +≠.
故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3
(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为
{(,)|1}D x y xy =>，图形为图
3.4
图3.1 图3.2
图3.3 图3.4
2、求极限lim
sin x y y x
xy →→+-0
211
.
解：lim sin x y y x
xy →→+-0
211
=⋅++→→lim sin ()x y y x xy xy 00
211= 4
3、求极限lim sin()x y x y x y
xy →→-+00
23211
. 解：原式=lim ()
sin()x y x y x y x y xy →→-++0
23
2
2
11=-++⋅
→→lim
sin()x y x y xy xy 00
21
11=-1
2
4、求极限lim x y x
xye xy
→→-+0
416 . 解：lim x y x
xye xy
→→-+00
416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 00
416= -8
5、设u x y y x =+sin cos ，求 u u x y ,. 解：u y y x x =-sin sin
u x y x y =+cos cos
6、设z xe ye y x =+-，求z z x y ,. 解：z e ye x y x =--
z xe e y y x =+-
7、设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x z
y
,（其中x y +≠0）. 解一：原式两边对x 求导得
y
z x x z
x
z y ∂∂∂∂+++=0，则∂∂z x z y y x =-++同理可得：∂∂z y z x y x =-++ 解二：
x
y x
z F F y z x
y y z F F x z x y y x ++-
=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数z x xy y x y =-++-+23243122的极值.
解：由z x y z x y x y
=-+==-+-=⎧⎨⎩4340
3430，得驻点(,)-10
074
33
4>=--==
yy yx
xy xx z z z z D z xx =>40，函数z 在点(,)-10处取极小值z (,)-=-101.
9、设z e x y =+32，而x t y t ==cos ,2，求d d z t
. 解：
d d (sin )()z
t
e t e t x y x y =-+++3223232=-++(sin )3432t t e x y
10、设z y xy x =ln()，求
∂∂∂∂z x z y
,. 解：z y y xy x
y x x x =⋅+
ln ln 1 z xy xy y
y y x x =+
-11ln() 11、设u a x a x yz a =->+ln ()0，求d u . 解：
∂∂u x a a ax x yz =-+-ln 1，∂∂u y a z a x yz =⋅+ln ，∂∂u z
ya a x yz =+ln d (ln )d ln (d d )u a a ax x a a z y y z x yz x yz =-+++-+1
12、求函数z x y e xy =++ln()22的全微分.
解：∂∂∂∂z x x ye x y e z y y xe x y e xy
xy
xy
xy
=+++=
+++222222,
[]
d ()d ()d z x y e
x ye x y xe y xy
xy xy =
+++++1
2222 四、应用题
1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？ 解：设水池的长、宽、高分别为x y z ,,米.
水池底部的单位造价为a .
则水池造价()S xy xz yz a =++44 且 xyz =128
令 ()L xy xz yz xyz =+++-44128λ
由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ
得 x y z ===8
2
由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.
2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数
22128),(y xy x y x C +-=（元）.
商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，
构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，
解方程组160
240420
x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪
'=-++=⎨⎪'
=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，
由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为
8043)17,25(=C （元）.
3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是
)33(01.03240022y xy x y x +++++元， 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？
解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有
利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=
)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，
令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L y
x
，解得唯一驻点（120，80）.
又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得
0105.332>⨯=--B AC .
得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设
)11(y
x e z +-=, 求证z y
z y x z x 222=∂∂+∂∂.
证明： 因为
2)
11(1x e x
z
y x ⋅
=∂∂+-, 2)1
1(1y
e y z y x ⋅=∂∂+-, 所以 z e e y
z y x z x y x y x 2)
1
1()1
1(22=+=∂∂+∂∂+-+-
2、证明函数nx e
y t
kn sin 2-=满足关系式2
2
x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e t
y t
kn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx ne
x y t
kn cos 2-=∂∂, nx e n x
y t kn sin 2222--=∂∂, nx e kn x
y
k t kn sin 2222--=∂∂,
所以22x y k t y ∂∂=∂∂.
3、设z =xy +xF (u ), 而x
y
u =
, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.
证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([y
u u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=
)]([)]()([u F x y u F x
y
u F y x '+⋅+'-+=
=xy +xF (u )+xy =z +xy .。