关于数学专业发展前沿的学习心得

关于数学专业发展前沿的学习心得

1.数学中的“混沌”：

混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性--不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。

1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。时至今日，这一论断仍为人津津乐道，更重要的是，它激发了人们对混沌学的浓厚兴趣。

与我们通常研究的线性科学不同，混沌学研究的是一种非线性科学，而非线性科学研究似乎总是把人们对“正常”事物“正常”现象的认识转向对“反常”事物“反常”现象的探索。例如，孤波不是周期性振荡的规则传播；“多媒体”技术对信息贮存、压缩、传播、转换和控制过程中遇到大量的“非常规”现象产生所采用的“非常规”的新方法；混沌打破了确定性方程由初始条件严格确定系统未来运动的“常规”，出现所谓各种“奇异吸引子”现象等。

混沌来自于非线性动力系统，而动力系统又描述的是任意随时间发展变化的过程，并且这样的系统产生于生活的各个方面。

混沌系统对初始条件很敏感。

2.现代控制理论

1）定义：现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分。在现代控制理论中，对控制系统的分析和设计主要是通过对系统的状态变量的描述来进行的，基本的方法是时间域方法。现代控制理论比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统和多变量系统。它所采用的方法和算法也更适合于在数字计算机上进行。现代控制理论还为设计和构造具有指定的性

能指标的最优控制系统提供了可能性。

2）现代控制理论的发展过程：现代控制理论是在20世纪50年代中期迅速兴起的空间技术的推动下发展起来的。空间技术的发展迫切要求建立新的控制原理，以解决诸如把宇宙火箭和人造卫星用最少燃料或最短时间准确地发射到预定轨道一类的控制问题。这类控制问题十分复杂，采用经典控制理论难以解决。1958年，苏联科学家庞特里亚金提出了名为极大值原理的综合控制系统的新方法。1960～1961年，美国学者R.E.卡尔曼和R.S.布什建立了卡尔曼-布什滤波理论,因而有可能有效地考虑控制问题中所存在的随机噪声的影响，把控制理论的研究范围扩大，包括了更为复杂的控制问题。到60年代初，一套以状态空间法、极大值原理、动态规划、卡尔曼-布什滤波为基础的分析和设计控制系统的新的原理和方法已经确立。

现代控制理论所包含的学科内容十分广泛,主要的方面有:线性系统理论、非线性系统理论、最优控制理论、随机控制理论和适应控制理论。

线性系统理论是现代控制理论中最为基本和比较成熟的一个分支，着重于研究线性系统中状态的控制和观测问题，其基本的分析和综合方法是状态空间法。

3.运筹与最优化

1）历史上的运筹·最优化问题

第一个运筹问题：diet problem

Min x1 + x2 开支

2x1 + x2 3蛋白质摄入

x1 + 2x2 3热量摄入

x1 0马铃薯数量

x2 0大豆数量

古老的运筹问题：道路交通设计

今有物不知其數，三三數之剩二；五五數之剩三；七七數之剩二，問物幾何？

2）运筹学的应用领域：

军事经济计划金融物理化学生物

信息分类人工智能图像处理数字信号处理医疗社会学天文工业设计航空航天农业通信等等

3）从线性规划到整数规划

线性规划的可行域为空间中的超多面体；

求解线性规划的迭代法：

Fourier-Motzkin 消去法

单纯形方法

椭球法

内点法（障碍法）

单纯形法

Dantzig, 1947: 单纯形法；

Lemke, 1954; Beale, 1954: 对偶单纯形法；

Dantzig, 1953: 改进单纯形法

椭球法

Shor, 1970 - 1979

Yudin & Nemirovskii, 1976

Khachiyan, 1979

M. Grötschel, L. Lovász, A. Schrijver, 1988

给定一个线性规划，如何能求得一个可行解？

求解线性规划的迭代法：

Fourier-Motzkin 消去法：不会再有人用了

单纯形方法：很不错

对偶单纯形方法：更好

椭球法：理论上还算有意思

内点法/障碍法：经常是最快的

能够在较短时间内求解的LP规模

500,000 个变量

5,000,000 个约束

比较容易解的整数规划：

最小支撑树；

匹配问题；

最大流问题；

最小费用流问题；

整数规划问题的解法：

分支定界；

割平面。

TSP问题及其应用

上界：近似求解方法

下界：LP松弛

TSP问题的工业应用：芯片制造打孔

4.微分方程理论与应用

1）主要内容：梯队介绍（郑连存）、边界层传输问题研究

2）研究方向：常微分方程、泛函微分方程的稳定性与定性理论、解析数论及其应用、非牛顿流体力学、生物数学

3）研究内容：非线性传输问题的动力学基础及定性行为；传输问题非线性微分方程的近似解析分析方法；分形介质动力学与分数维粘弹性流体的解析理论；微分方程非线性边界值问题；微分方程理论在非线性动力学系统中的应用研究等4）边界层传输问题研究：研究背景、数学描述、实验台的搭建与测试方法、数值模拟、理论分析和近似计算

5）边界层：流体在大雷诺数下绕壁面流动时，可把流体的粘性和导热看成集中作用在流体壁面的薄层，即边界层内