2021年新版电大高等数学基础形成性考核手册答案含题目

高等数学基本形考作业1答案：
第1章 函数 第2章 极限与持续
（一）单项选取题
⒈下列各函数对中，（C ）中两个函数相等．
A. 2
)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =
，x x g =)(
C. 3
ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1
1
)(2--=x x x g
⒉设函数)(x f 定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（B ）．
A. )1ln(2
x y += B. x x y cos =
C. 2
x
x a a y -+= D. )1ln(x y +=
⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2
x
y = D. ⎩
⎨
⎧≥<-=0,10
,1x x y
⒌下列极限存计算不对的是（D ）．
A. 12lim 2
2
=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0
=+→x x C. 0sin lim
=∞→x x x D. 01
sin lim =∞→x
x x
⒍当0→x 时，变量（C ）是无穷小量．
A.
x x sin B. x 1
C. x
x 1
sin D. 2)ln(+x
⒎若函数)(x f 在点0x 满足（A ），则)(x f 在点0x 持续。

A. )()(lim 00
x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 某个邻域内有定义
C. )()(lim 00
x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0
x f x f x x x x -+→→=
（二）填空题
⒈函数)1ln(3
9
)(2x x x x f ++--=
定义域是()+∞,3．
⒉已知函数x x x f +=+2
)1(，则=)(x f x 2-x ．
⒊=+∞→x
x x
)211(lim 21
e ． ⒋若函数⎪⎩⎪
⎨⎧≥+<+=0,
0,)1()(1
x k x x x x f x ，在0=x 处持续，则=k e ．
⒌函数⎩⎨
⎧≤>+=0
,sin 0
,1x x x x y 间断点是0=x ．
⒍若A x f x x =→)(lim 0
，则当0x x →时，A x f -)(称为时的无穷小量0x x →。

（三）计算题
⒈设函数
⎩⎨⎧≤>=0
,0,e )(x x x x f x
求：)1(,)0(,)2(f f f -．
解：()22f -=-，()00f =，()1
1f e e ==
⒉求函数21
lg
x y x
-=定义域． 解：21lg x y x -=故意义，规定21
x x x -⎧>⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩
解得1020
x x x ⎧⎪⎪
><⎨⎪≠⎪⎩或
则定义域为1|02x x x ⎧⎫<>
⎨⎬⎩⎭
或 ⒊在半径为R 半圆内内接一梯形，梯形一种底边与半圆直径重叠，另一底边两个端点在半圆上，试将梯形面积表达到其高函数．
解：
D A R O h E
B C
设梯形ABCD 即为题中规定梯形，设高为h ，即OE=h ，下底CD ＝2R 直角三角形AOE 中，运用勾股定理得
AE =则上底＝2AE =
故((222h
S R R h R =
+=+ ⒋求x
x
x 2sin 3sin lim 0→．
解：000sin3sin33sin3333lim lim lim sin 2sin 2sin 22222x x x x x
x
x x x x x x x
x x
→→→⨯==⨯⨯＝133
122⨯=
⒌求)
1sin(1
lim 21+--→x x x ．
解：21111(1)(1)111
lim
lim lim 2sin(1)sin(1)sin(1)1
1
x x x x x x x x x x x →-→-→---+---====-++++ ⒍求x x
x 3tan lim
0→．
解：000tan3sin31sin311
lim lim lim 3133cos33cos31
x x x x x x x x x x x →→→==⨯⨯=⨯⨯=
⒎求x
x x sin 11lim 20-+→．
解：2
0001lim sin x x x x →→→-==
()0
lim
0sin 111
1)
x x
x
x
→==
=+⨯
⒏求x
x x x )3
1(
lim +-∞
→． 解：1
1433
3111
1(1)[(1)]1lim()lim()lim lim 33311(1)[(1)]3
x x x x x x x x x x x e x x x e x e x x x
----→∞→∞→∞→∞-
-+--=====++++ ⒐求4
58
6lim 224+-+-→x x x x x ．
解：()()()()2244442682422lim lim
lim 54411413
x x x x x x x x x x x x x →→→---+--====-+----
⒑设函数
⎪⎩
⎪⎨⎧-<+≤≤->-=1,111,1
,)2()(2x x x x x x x f
讨论)(x f 持续性。

解：分别对分段点1,1x x =-=处讨论持续性 （1）
()()()1111lim lim 1
lim lim 1110
x x x x f x x f x x →-+→-+→--
→--
==-=+=-+=
因此()()11lim lim x x f x f x →-+
→--
≠，即()f x 在1x =-处不持续 （2）
()()()()()22
1111lim lim 2121
lim lim 111
x x x x f x x f x x f →+→+→-
→-
=-=-====
因此()()()11lim lim 1x x f x f x f →+
→-
==即()f x 在1x =处持续
由（1）（2）得()f x 在除点1x =-外均持续
高等数学基本作业2答案：
第3章 导数与微分
（一）单项选取题
⒈设0)0(=f 且极限x x f x )(lim
→存在，则=→x
x f x )
(lim 0（C ）．
A. )0(f
B. )0(f '
C. )(x f '
D. 0cvx
⒉设)(x f 在0x 可导，则=--→h
x f h x f h 2)
()2(lim
000
（D ）．
A. )(20x f '-
B. )(0x f '
C. )(20x f '
D. )(0x f '-
⒊设x
x f e )(=，则=∆-∆+→∆x
f x f x )
1()1(lim
0（A ）．
A. e
B. e 2
C. e 21
D. e 4
1
⒋设)99()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f （D ）． A. 99 B. 99- C. !99 D. !99- ⒌下列结论中对的是（C ）．
A. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导．
B. 若)(x f 在点0x 持续，则在点0x 可导．
C. 若)(x f 在点0x 可导，则在点0x 有极限．
D. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 持续．
（二）填空题
⒈设函数⎪⎩⎪
⎨⎧=≠=0,
00,1sin )(2
x x x
x x f ，则=')0(f 0 ． ⒉设x x
x
f e 5e
)e (2+=，则
=x x f d )(ln d x
x x 5ln 2+。

⒊曲线1)(+=x x f 在)2,1(处切线斜率是2
1
=
k 。

⒋曲线x x f sin )(=在)1,2
π
(处切线方程是1=y 。

⒌设x
x
y 2=，则='y )ln 1(22x x x
+
⒍设x x y ln =，则x
y 1=
''。

（三）计算题
⑴x
x x y e )3(+=
解：()
()()
'
++'
+=
'x
x
e
x x e x x
y 33x x
e x e x 21
2
32
3)3(++=
⑵x x x y ln cot 2
+= 解：()()()'
+'+'
='x x x x x y ln ln cot 22x x x x ln 2csc 2++-=
⑶x
x y ln 2
=
解：()()x x x x x y 22
2
ln ln ln '-'='x
x
x x 2ln ln 2-=
⑷3
2cos x
x y x
+= 解：()()()()
2
33
3
2cos 2cos x x x x x y x
x
'
+-'+=' 4
)
2(cos 3)2ln 2sin (x
x x x x x
+-+-=
⑸x
x x y sin ln 2
-=
解：()()()x
x x x x x x y 2
2
2
sin sin ln sin ln '--'
-=
'x x x x x x x 22sin cos )(ln )21
(sin ---= ⑹x x x y ln sin 4
-= 解：()()()'-'-'=
'x x x x x y ln sin ln sin 4
x x x
x
x
ln cos sin 43
--
= ⑺x
x x y 3
sin 2
+= 解：()()()()
2
2
2
33sin 3sin x x
x
x x x x y '
+-'+=
'x
x x x x x x 223
3ln 3)(sin )2(cos 3+-+= ⑻x x y x
ln tan e += 解：()
()()'
+'+'
=
'x x e x e y x
x
ln tan tan x
x e x e x x
1
cos tan 2
++=
⑴x
y e =
解：()()
x x
x
e x
x e e y 212121=⨯='
='- ⑵x y
cos ln =
解：()x x x x y tan cos
sin sin cos 1
-=-=-=' ⑶x x x y =
解：'⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛='8
7x y 8187-=x
⑷x y
2sin =
解：()x x x x x y 2sin 2cos sin 2sin sin 2=⋅='
='
⑸2sin x y
=
解：
x x x x y cos 22cos 2
=⋅=' ⑹
2
e
cos x y =
解：()2
2
2
2
sin 2sin x x x x e
xe
e e y -='
-='
⑺nx x y n
cos sin = 解：()()'+'=
'nx x nx x y n
n cos sin cos sin )sin(sin cos cos sin
1
nx x n nx x x n n n -=-
⑻x y sin 5=
解：x x
x x y sin sin 5cos 5ln cos 5ln 5=⨯='
⑼x y cos e =
解：()x
x xe x e y cos cos sin sin -=-='
⒊在下列方程中，y y x =()是由方程拟定函数，求'y ： ⑴y
x y 2e
cos =
解：y e x y x y y
'=-'22sin cos y
e x x
y y 22cos sin -=
'
⑵x y y ln cos =
解：x
y x y y y 1
.
cos ln .sin +'=' )ln sin 1(cos x y x y y +='
⑶y
x y x 2
sin 2=
解：222sin 2.cos 2y y x yx y y y x '-=+' y y
yx
y x y x y sin 22)cos 2(2
22-=+' 22cos 2sin 22x y xy y y xy y +-='
⑷y x y ln += 解：1+'=
'y y y 1
-='y y
y ⑸2
e ln y x y
=+ 解：
y y y e x
y '='+21
)2(1y e y x y -=
' ⑹y y x
sin e 12
=+
解：x
x
e y y y e y y .sin .cos 2+'=' y
e y y
e y x x cos 2sin -='
⑺3
e e y x y -=
解：y y e y e x
y
'-='2
3 2
3y e
e y y x +='
⑻y
x y 25+=
解：2ln 25ln 5y
x
y y '+=' 2
ln 215
ln 5y x y -='
⒋求下列函数微分y d ：（注：dx y dy '=）
⑴x x y csc cot += 解：x x x y cot csc csc 2--=' dx x
x
x dy )sin cos cos 1(
22--=
⑵x
x
y sin ln =
解：='y x
x
x x x 2
sin cos ln sin 1
- dx x x x x x dy 2sin cos ln sin 1-= ⑶x y
2sin =
解：x x y cos sin 2=' xdx x dy cos sin 2=
⑹x y
e tan =
解：x x e e y ⋅='2sec dx e e dx e e dy x
x x x 22sec sec 3
3
=⋅=
⒌求下列函数二阶导数： ⑴x y =
解：2121-='x y 23234
12121---=⎪⎭⎫
⎝⎛-•=''x x y
⑵x y 3=
解：3ln 3x
y =' x x y 33ln 3ln 33ln 2⋅=⋅⋅=''
⑶x y
ln =
解：x y 1=' 21x
y -='' ⑷x x y
sin =
解：x x x y cos sin
+=' ()x x x x x x x y sin cos 2sin cos cos -=-++=''
（四）证明题
设)(x f 是可导奇函数，试证)(x f '是偶函数． 证：由于f(x)是奇函数 因此)()(x f x f -=-
两边导数得：)()()()1)((x f x f x f x f =-'⇒'-=--' 因此)(x f '是偶函数。

高等数学基本形考作业3答案：
第4章 导数应用
（一）单项选取题
⒈若函数)(x f 满足条件（D ），则存在),(b a ∈ξ，使得a
b a f b f f --=')
()()(ξ．
A. 在),(b a 内持续
B. 在),(b a 内可导
C. 在),(b a 内持续且可导
D. 在],[b a 内持续，在),(b a 内可导 ⒉函数14)(2
-+=x x x f 单调增长区间是（D ）． A. )2,(-∞ B. )1,1(- C. ),2(∞+ D. ),2(∞+- ⒊函数542
-+=x x y 在区间)6,6(-内满足（A ）． A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升 ⒋函数)(x f 满足0)(='x f 点，一定是)(x f （C ）． A. 间断点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点
⒌设)(x f 在),(b a 内有持续二阶导数，),(0b a x ∈，若)(x f 满足（ C ），则)(x f 在0x 取到极小值． A. 0)(,0)(00=''>'x f x f B. 0)(,0)(00=''<'x f x f C. 0)(,0)(00>''='x f x f D. 0)(,0)(00<''='x f x f
⒍设)(x f 在),(b a 内有持续二阶导数，且0)(,0)(<''<'x f x f ，则)(x f 在此区间内是（ A ）． A. 单调减少且是凸 B. 单调减少且是凹 C. 单调增长且是凸 D. 单调增长且是凹
（二）填空题
⒈设)(x f 在),(b a 内可导，),(0b a x ∈，且当0x x <时0)(<'x f ，当0x x >时0)(>'x f ，则0x 是
)(x f 极小值 点．
⒉若函数)(x f 在点0x 可导，且0x 是)(x f 极值点，则=')(0x f 0 ． ⒊函数)1ln(2
x y +=单调减少区间是)0,(-∞．
⒋函数2
e )(x x
f =单调增长区间是),0(+∞
⒌若函数)(x f 在],[b a 内恒有0)(<'x f ，则)(x f 在],[b a 上最大值是)(a f ． ⒍函数3
352)(x x x f -+=拐点是()2,0
（三）计算题
⒈求函数2
(1)(5)y x x =+-单调区间和极值． 解：令())1)(5(3)
5(2)1(52--=-⋅⋅++-=
'x x x x x y
5,1==⇒x x 驻点
列表： 极大值：
32)1(=f
极小值：0)5(=f
⒉求函数2
23y x x =-+在区间]3,0[内极值点，并求最大值和最小值． 解：令：）x x y 驻点(10
22=⇒=-='，列表：
()21322
2+-=+-=x x x y
()21=⇒f 极值点：
6)3(=⇒f 最大值 2)1(=⇒f 最小值
3.求曲线x y 22
=上点，使其到点)0,2(A 距离最短． 解：上的点是设x y y x p 2),(2
=，d 为p 到A 点距离，则：
x x y x d 2)2()2(222+-=+-=
2)1(6
)3(3
)0(===f f f
102)2(12)2(22)2(22
2
=⇒=+--=
+-+-=
'x x
x x x
x x d 令2±=⇒y
()。

A x y 的距离最短到点，或上点)0,2(2-1)2,1(22=∴。

4.圆柱体上底中心到下底边沿距离为L ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体体积最大？ 解：设园柱体半径为R ，高为h ，则体积h h L h R V )(2
2
2
-==ππ
L h h L h L h L h h V ：3
330
]3[])2([2222=
=⇒=-=-+-='ππ令。

L R h L R 时其体积最大当3
2
,3
3
3
2
==
∴=
5.一体积为V 圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解：设园柱体半径为R ，高为h ，则体积h R V
2π=
2222
22R R
V
R Rh S πππ+=+=表面积 332220
42πππV R R V R VR S ：=⇒=⇒
=+-='-令 34π
V h = 答：当3
2πV R = 34π
V
h =时表面积最大。

6.欲做一种底为正方形，容积为62.5立方米长方体开口容器，如何做法用料最省？ 解：设底长为x ，高为h 。

则：
225
.625.62x
h h
x =
⇒= 侧面积为：x
x xh x S 250
42
2
+=+= 令51250250
232=⇒=⇒=-
='x x x
x S
答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。

（四）证明题
⒈当0>x 时，证明不等式)1ln(x x +>． 证：在区间
[]()应用拉格朗日定理，有
上对函数x x f x ln 1,1=+
()x x ξ
1
1ln 1ln =
-+
其中11
,11<+<<ξ
ξ
故x ，于是由上式可得)1ln(x x +>
⒉当0>x 时，证明不等式1e +>x x
． 证：)1()(+-=x e x f x
设
0)0()(,00(01)(=>⇒>>-='f x f x ）x e x f x 单调上升且时当时当
)1(,0)(+>>∴x e x f x 即
高等数学基本形考作业4答案：
第5章 不定积分 第6章 定积分及其应用
（一）单项选取题
⒈若)(x f 一种原函数是x 1
，则=')(x f （D ）． A. x ln B. 21
x
-
C. x 1
D. 32x
⒉下列等式成立是（D ）． A
)(d )(x f x x f ='⎰ B. )()(d x f x f =⎰ C.
)(d )(d x f x x f =⎰ D.
)(d )(d d
x f x x f x
=⎰ ⒊若x x f cos )(=，则
='⎰x x f d )(（B ）．
A. c x +sin
B. c x +cos
C. c x +-sin
D. c x +-cos ⒋
=⎰
x x f x x d )(d d 3
2（B ）． A. )(3
x f B. )(3
2
x f x
C.
)(31x f D. )(3
1
3x f ⒌若
⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰
=x x f x
d )(1（B ）．
A. c x F +)(
B. c x F +)(2
C. c x F +)2(
D.
c x F x
+)(1
⒍下列无穷限积分收敛是（D ）．
A.
dx x
⎰
∞
+1
1
B. dx e x ⎰
+∞
C.
dx x
⎰
∞
+1
1
D. dx x
⎰
∞
+1
21 （二）填空题
⒈函数)(x f 不定积分是
dx x f ⎰)(。

⒉若函数)(x F 与)(x G 是同一函数原函数，则)(x F 与)(x G 之间关于系式）c x G x F 常数()()(=-。

⒊=⎰
x x
d e d 2
2
x e 。

⒋='⎰
x x d )(tan c x +tan 。

⒌若⎰+=c x x x f 3cos d )(，则=')(x f )3cos(9x -。

⒍
⎰-=+3
3
5
d )21(sin x x 3 ⒎若无穷积分⎰∞+1d 1
x x p 收敛，则0>p 。

（三）计算题
⒈
c x x
d x x x x +-=-=⎰⎰
1sin )1(1cos d 1
cos
2
⒉
⎰⎰
+==c e
x d e x x
x
x x
22d e
⒊
⎰⎰+==c x x d x x x x )ln(ln )(ln ln 1d ln 1
⒋()c x x x xdx x x x xd x x x ++-=+-=-
=⎰⎰⎰2sin 4
1
2cos 212cos 212cos 212cos 21d 2sin ⒌
⎰⎰
=
+=++=+e 11
e
1
2
7
)ln 3(2
1
)ln 3d()ln 3(d ln 3e x x x x x x ⒍
4
14341212121d e
210
2210210210
2+-=--=+-=------⎰⎰
e e e dx e x e x x x x x x
⒎
414
12121221ln 2ln 21d ln 212
211212e
1
+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==⎰⎰⎰
e e e xdx x x xdx x x x e
e e e ⒏
⎰⎰
+-=
--=+-=e e e e
x e dx x x x x x x 11
21
e
1
212
1
11ln 1d ln （四）证明题
⒈证明：若)(x f 在],[a a -上可积并为奇函数，则0d )(=⎰
-a
a
x x f ．
证:⎰⎰⎰
⎰
-----=-=--=-=a a
a
a
a
a a
a
dt t f dt t f dt t f dx x f t
x )()()()(令
0)()()(=⇒-=⇒⎰⎰⎰---a
a
a
a a
a
dx x f dx
x f dx x f 证毕
⒉证明：若)(x f 在],[a a -上可积并为偶函数，则⎰⎰
=-a
a
a
x x f x x f 0
d )(2d )(．
证：
⎰⎰⎰
+=--a
a
a
a
x x f x x f x x f 0
0d )(d )(d )(
⎰⎰⎰=--=-=-a
a
a
x f t f t f x x f t x 0
)(dt
)(dt )(d )(,是偶函数则令
证毕⎰⎰⎰⎰⎰⎰
=+=+=--a
a
a
a a
a
a
x
x f x x f x x f x x f x x f x x f 0
0d )(2d )(d )(d )(d )(d )(。