(完整)二次函数和反比例函数的知识点,推荐文档

二次函数

知识点1：二次函数的概念

形如y=ax2＋bx＋c (a≠0, a,b,c是常数)的函数叫做二次函数．

知识点2：在理解二次函数的定义时，应注意下述问题：

(1) 在解析式中最高项是ax2项且系数a≠0，而b，c可以不为零，也可以为零。

(2) 自变量x的取值范围是任何实数．

(3) 如果a=0，则该函数一定不是二次函数，但不一定是一次函数，如果a=0，b≠0才是一次函数。

知识点3：用二次函数描述有关实际问题中的变量间的关系

在实际生活中，变化规律，解决实际问题，如何建立实际问题中的二次函数关系式（1）审清题意，找出实际问题中的已知量（定量），未知量（变量）并分析它们之间的关系，将文字或图形语言转化为数学符号语言．

（2）建立函数关系式，根据前面的思考和分析，得到函数关系，即用自变量解析式来表示函数，并判断它是否为二次函数．

(3) 确定函数的定义域，在实际问题中，变量都有一定的实际意义，要受到一定的条件限制，所以在求出二次函数解析式时，还要指明它的定义域．

知识点4：二次函数的画法：

（1）先列表；（2）描点，（3）连线．

2

函数开口

方向

顶点

坐标

对称

轴

函数变化

最大(小)

值

y=ax2 a＞

向上(0,0) y轴

x＞0时，y随x增大而增大

x＜0时，y随x增大而减小

当x=0时，

y最大=0

y=ax2 a＜

向下(0,0) y轴

x＞0时，y随x增大而减小

x＜0时，y随x增大而增大

当x=0时

y最大=0

知识点6：.二次函数y=ax2＋k的图象

二次函数y=ax2＋k的图象是由函数y=ax2的图象上、下平移得到的，当k＞0时，抛物线y=ax2向上平移︱k︱个单位得到y=ax2＋k的图象；当k＜0时，抛物丝y=ax2向下平移

︱k︱个单位得到y=ax2＋k的图象.

注意：抛物线y=ax2＋k与抛物丝y=ax2形状完全相同，开口方向相同，对称轴都是y轴，

但顶点位置不同，y=ax 2的顶点是（0，0），y=ax 2＋k 的顶点是（0，k ），，顶点在y 轴上. 知识点7：.二次函数y=a （x －h ）2的图象

二次函数y=a （x －h ）2的图象可由抛物线y=ax 2向左（或向右）平移而得到，当n ＞0

时，抛物线y=ax 2向右平称︱n ︱个单位，得到y=a （x －n ）2的图象；当n ＜0时，抛物线y=ax 2

向左平移︱n ︱个单位得到y=a （x －n ）2的图象.

注意：抛物线y=a （x －n ）2与抛物线y=ax 2的形状完全相同，开口相同只是在坐标系中的位置不同，抛物线y=a （x －n ）2的对称轴是x=n ，顶点是（n ，0），顶点在x 轴上. 知识点8：.二次函数y=a （x －n ）2＋k 的图象

1）二次函数y=a （x －h ）2＋k （a ≠0）与二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象都是抛物线，在a 相等的情况下，形状相同，只是位置不同。抛物线y=a （x －h ）2＋k 可由抛物线y=ax 2向上（k ＞0）或向下（k ＜0＝平移︱k ︱个单位得到抛物线y=ax 2＋k ，再把抛物线y=ax 2＋k 向左（n ＜0）或向右（n ＞0）平移︱n ︱个单位，就得到抛物线y=a （x －h ）2＋k. 2）抛物线y=a （x －h ）2＋k （a ≠0）的特点 ①a ＞0时开口向上，a ＜0的开口向下； ②对称轴是直线x=h ； ③顶点坐标是（h ，k ）. 知识点9：函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象

利用配方法可将y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）转化为y=a （x －h ）2＋k ①的形式，即y=ax 2＋bx ＋c=a （x ＋b 2a ）2＋4ac －b 24a ②比较①式和②式知，n=－b 2a ，k=4ac －b 24a ，因此y=ax 2＋bx ＋c 的对称轴是x=－b 2a ，顶点是（－b

2a ，4ac －b 24a ）. 二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象特征:

①图象是抛物线 ②开口方向、a ＞0，向上；a ＜0时，向下。

③对称轴：直线x=－b

2a ④顶点坐标（－b

2a ，4ac －b 24a ） ⑤与y 轴的交点坐标为（0，c ） 知识点10：二次函数表达式又有三种形式： (1) 一般式：y=ax 2+bx+c (a,b,c 为常数,a 0 )； (2) 顶点式：y=a(x-h)2+k (a,h,k 为常数,a ≠0)；

﹡(3) 两根式：y=a(x 一x 1)（x 一x 2） (a, x 1, x 2为常数,a ≠0)．

知识点11：二次函数y ＝ax 2＋bx 十c 与一元二次方程ax 2十bx 十c=0的关系

抛物线y ＝ax 2＋bx 十c 与x 轴交点的横坐标x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx 十c=0的根． 当b 2一4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点，此时方程无实数根；

当b 2一4ac ＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，此时方程有两个不相等的实数根； 当b 2一4ac= 0时，抛物线与x 轴只有一个交点，此时方程有两个相等的实数根； 当b 2一4ac ＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，其解析式可写成交点式的形式： y= a (x 一x 1)(x 一x 2)

反比例函数

知识点1．反比例函数的概念：

一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成x

k

y =

( k 是常数，k ≠0)的形式，那么y 就称为x 的反比例函数．反比例函数的三种不同表达形式：①x

k

y =

； ② y=kx -1； ③ xy=k 说明：①k 是不为0的常数；

②自变量x 取值范围是x ≠0的全体实数； ③函数y 的取值范围是y ≠0的全体实数．

知识点2．反比例函数解析式的确定：确定函数解析式常用的方法是待定系数法．在反比例函数式x

k

y =

中，因为只有一个待定系数k ，所以只需要知道一对对应值或一个点的坐标，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数解析式． 知识点3．反比例函数的图象：

反比例函数x

k

y =

（k ≠0）的图象是由两支曲线组成的，这两支曲线常称为“双曲线”． 画反比例函数图象时，一般用描点法，即列表、描点、连线三大步骤． 说明：①双曲线的两个分支不能够连接起来；

②两个分支无限靠近x 轴和y 轴，但是永远与它们不相交； ③图象既是轴对称图形，也是中心对称图形；

④画反比例函数图象时通常先画出一个分支，然后根据对称性画出另一个分支． 知识点4．反比例函数的性质：

①自变量的取值范围是0≠x 的实数． ②函数的图象是双曲线（两个分支），是中心对称图形，对称中心是坐标原点；也是轴对称图形，对称轴有两条，分别是直线x y =和x y -=．

⑤图象的变化趋势：函数图象无限靠近坐标轴，但是永远不会和坐标轴相交．

另：反比例函数

x k

y =

(k≠0)的图象与性质：