高中数学专题：直线与圆

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(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋12.
由yy＝ ＝tx2x2＋12，
可得x2－2tx－1＝0.
于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1.
设M为线段AB的中点，则Mt，t2＋12. 由题意得E→M⊥A→B，而E→M＝(t，t2－2)，A→B与向量(1，t)平行，
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所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1. 当t＝0时，|E→M|＝2，所求圆的方程为x2＋y－522＝4； 当t＝±1时，|E→M|＝ 2，所求圆的方程为x2＋y－522＝2.
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析考情
1．圆的方程近两年为高考全国卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等 偏下，多以选择题或填空题形式出现.
∴l1与l2间的距离d＝
126＋－－2312＝8
3
2 .
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2．过点P(－2,2)作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为
8，这样的直线l一共有( )
A．3条
B．2条
C．1条
D．0条
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解析：选C 由题意可设直线l的方程为
x a
＋
y b
＝1(a＜0，b＞0)，于是
2.直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时会出现在第12 题或第16题位置，难度很大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥 曲线的综合问题上.
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考点一 直线的方程 |析典例|
【例】 (1)“c＝5”是“点(2,1)到直线3x＋4y＋c＝0的距离为3”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
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|对点训练|
1．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2)
B.－23，0
C．(－2,0)
D.－2，23
解析：选D 若方程表示圆，则a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，化简得3a2＋4a－4
＜0，解得－2＜a＜23.
－a2＋2b＝1， 12－a·b＝8，
解得－a＝b＝4，故满足条件的直线l只有1条．
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考点二 圆的方程 |析典例|
【例】 (1)圆心在直线y＝－4x上，并且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2) 的圆的方程为________________________________________________．
答案：2 2
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3．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两
点，若|AB|＝2 3，则圆C的面积为________．
解析：把圆C的方程化为x2＋(y－a)2＝2＋a2，则圆心为(0，a)，半径r＝ a2＋2 .
圆心到直线x－y＋2a＝0的距离d＝
(2)解法一：因为 l1 与 l2 关于 l 对称， 则 l1 上任意一点关于 l 的对称点都在 l2 上，故 l 与 l1 的交点(1,0)在 l2 上． 又易知(0，－2)为 l1 上的一点， 设其关于 l 的对称点为(x，y)，
则2yx＋－x 2y× －2 12＝ －－1＝1， 0，
解得yx＝ ＝－ －11.，
(2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0， 5 )在圆C上，且圆心到直线2x－y ＝0的距离为4 5 5，则圆C的方程为________________．
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[解析] (1)设圆心O为(x，－4x)，kOP＝2x－－43x，kl＝－1， 由kOP·kl＝－1，得x＝1， 得O(1，－4)， 所以r＝ 1－32＋－4＋22＝2 2， 所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
的半径r＝ 1－a，因为AB为圆M的任意一条直径，所以M→A＝－M→B，且|M→A|＝|M→B|＝
r，则O→A·O→B＝(O→M＋M→A)·(O→M＋M→B)＝(O→M－M→B)·(O→M＋M→B)＝O→M2－M→B2＝1－r2＝
－6，所以r2＝7，得r＝ 7，所以圆的半径为 7.
答案： 7wenku.baidu.com
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，D为直线y＝－
1 2
上的动点，过D作C的两
条切线，切点分别为A，B.
(1)证明：直线AB过定点；
(2)若以E0，52为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方 程．
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解：(1)证明：设Dt，－12，A(x1，y1)，则x21＝2y1. 由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故yx11＋－12t ＝x1. 整理得2tx1－2y1＋1＝0. 设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0. 故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0. 所以直线AB过定点0，12.
线l的斜率的取值范围为( )
A．(－ 3， 3)
B．[－ 3， 3]
C.－
33，
3 3
D.－
33，
3 3
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[解析] (1)依题意得，圆心(a,0)到直线x－y＝0的距离等于半径，即有 |a2| ＝1，|a|
＝ 2.又切点位于第三象限，结合图形(图略)可知，a＝－ 2，故选B. (2)解法一：数形结合可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－3)，则
A．[2,6]
B．[4,8]
C．[ 2，3 2]
D．[2 2，3 2]
解析：选A 由圆(x－2)2＋y2＝2可得圆心坐标为(2,0)，半径r＝ 2 ，△ABP的面
积记为S，点P到直线AB的距离记为d，则有S＝
1 2
|AB|·d.易知|AB|＝2
2 ，dmax＝
|2＋120＋＋122|＋ 2＝3 2，dmin＝|2＋120＋＋122|－ 2＝ 2，所以2≤S≤6，故选A.
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|规 律 方 法 | 求圆的方程的两种方法 1．直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写 出方程． 2．待定系数法求圆的方程 (1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列 出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值． (2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件 列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． [注意] 解答圆的方程的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
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(2)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y
＝0的距离d＝
2a ＝4 5
5
5，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝
4＋5＝3，所以圆C的
方程为(x－2)2＋y2＝9.
[答案] (1)(x－1)2＋(y＋4)2＝8
(2)(x－2)2＋y2＝9
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2．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该 圆的标准方程为________________________________________________．
解析：∵圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切， ∴设圆心坐标为(a,1)(a＞0)，则1＝|4a5－3|，∴a＝2，故该圆的标准方程为(x－2)2＋(y －1)2＝1.
A、B；当k＝
3 3
时，直线l的方程为x－
3 y－3＝0，圆心(1,0)到直线l的距离为
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|规 律 方 法 | 解决直线方程问题的两个注意点 (1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值 后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性． (2)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式要求直线不能与x轴垂直；两 点式要求直线不能与坐标轴垂直；而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表 示垂直于坐标轴的直线．
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即(1,0)，(－1，－1)为l2上两点， 故可得l2的方程为x－2y－1＝0. 解法二：设l2上任一点为(x，y)，其关于l的对称点为(x1，y1)，则由对称性可知
x＋2 x1－y＋2 y1－1＝0， yx－ －yx11×1＝－1，
解得xy11＝ ＝yx＋ －11， .
∵(x1，y1)在l1上，∴2(y＋1)－(x－1)－2＝0， 即l2的方程为x－2y－1＝0. [答案] (1)B (2)B
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|对点训练|
1．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为
()
A. 2
B.8 3 2
C. 3
83 D. 3
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解析：选B 由l1∥l2，得(a－2)a＝1×3， 且a×2a≠3×6，解得a＝－1，
∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋23＝0，
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝1
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3．已知圆M：x2＋y2－2x＋a＝0，若AB为圆M的任意一条直径，且
→ OA
→ ·OB
＝－
6(其中O为坐标原点)，则圆M的半径r＝________. 解析：圆M的标准方程为(x－1)2＋y2＝1－a(a＜1)，圆心M(1,0)，则|OM|＝1，圆
圆心(1,0)到直线y＝k(x－3)的距离应小于等于半径1，即
|2k| 1＋k2
≤1，解得－
3 3
≤k≤ 33，故选D.
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解法二：数形结合可知，直线l的斜率存在，设为k，当k＝1时，直线l的方程为x
－y－3＝0，圆心(1,0)到直线l的距离为
|1－0－3| 12＋－12
＝
2 ＞1，直线与圆相离，故排除
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解析：解法一：圆心(0,0)到直线 x－ 3y＋6＝0 的距离 d＝ 16＋3＝3，|AB|＝
2 12－32＝2 3，如图，过 C 作 CE⊥BD 于 E，因为直线 l 的倾斜角为 30°，所以|CD|
＝co|Cs E30| °＝co|As B30| °＝2 33＝4. 2
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考点三 直线与圆的位置关系
|多角探明|
命题角度一 圆的切线问题
【例1】 (1)(2019·郑州模拟)已知圆(x－a)2＋y2＝1与直线y＝x相切于第三象限，
则a的值是( )
A. 2
B.－ 2
C．± 2
D．－2
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(2)(2019·西安八校联考)若过点A(3,0)的直线l与圆(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直
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2．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝ ________.
解析：将圆x2＋y2＋2y－3＝0化为标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，则圆心坐标为(0，
－1)，半径r＝2，∴圆心到直线x－y＋1＝0的距离d＝
2＝ 2
2，
∴|AB|＝2 r2－d2＝2 22－ 22＝2 2.
第一部分 高考层级专题突破 层级二 7个保分专题 师生共研
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专题六 解析几何 第一讲 直线与圆
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栏 目 导 航
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感悟真题 考点突破 课时跟踪检测
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1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－
2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
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(2)已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于直线l对称，则直
线l2的方程是( )
A．x－2y＋1＝0
B．x－2y－1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋2y－1＝0
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[解析] (1)由点(2,1)到直线 3x＋4y＋c＝0 的距离 d＝|6＋324＋＋4c2|＝3，解得 c＝5 或 c＝－25，故“c＝5”是“点(2,1)到直线 3x＋4y＋c＝0 的距离为 3”的充分不必要条 件．
解法二：由x－ 3y＋6＝0与x2＋y2＝12联立解得，A(－3， 3)，B(0,2 3)，∴AC 的方程为y－ 3＝－ 3(x＋3)，BD的方程为y－2 3＝－ 3x，可得C(－2,0)，D(2,0)， 所以|CD|＝4.
答案：4
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5．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝
x2 2
|a| 2
.由r2＝d2＋
|AB|
2
2，得a2＋2＝
a2 2
＋3，解得a2＝
2，则r2＝4，所以圆的面积S＝πr2＝4π.
答案：4π
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4．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：x－ 3 y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过 A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|＝________.