高中数学竞赛训练题五

最新高中数学奥数竞赛训练题五

一．选择题

1．设全集U =R ，203x A x x +⎧⎫

=≥⎨⎬-⎩⎭

，{}

2340B x x x =--≤，则U A

B I （）u ð等于

A ．[]4,2--

B ．[]1,3-

C ．[]3,4

D ．(]3,4

2．12的展开式中，含有x 的正整数次幂的项共有

A ．4项

B ．3项

C ．2项

D ．1项 3．高三（10）班甲、乙两位同学6次数学测试的成绩如下表：

A ．甲稳定

B ．乙稳定

C ．甲与乙一样稳定

D ．不能确定

4．设γβα,,为不同的平面，l n m ,,为不同的直线，则β⊥m 的一个充分不必

要条件是

A ．l m l ⊥=⊥,,βαβαI

B ．//,,m αβαγγ⊥⊂

C ．,,//m αββγα⊥⊥

D ．αβα⊥⊥⊥m n n ,, 5．在ABC ∆中，已知tan

sin 2

A B

C +=，则 A ．tan cot 1A B =. B ．1

sin sin 12

A B <⋅≤ .

C ．2

2

sin cos 1A B += D ．2

2

2

cos sin cos A B C += 6．已知定义在R 上的函数()y f x =满足下列三个条件： ①对任意的x ∈R 都有(4)();f x f x +=

②对于任意的1202x x ≤<≤，都有12()()f x f x <；

③(2)y f x =+的图象关于y 轴对称． 则下列结论中，正确的是 A ． (6.5)(5)(15.5)f f f >> B ．(5)(6.5)(15.5)f f f << C ． (5)(15.5)(6.5)f f f <<

D ．(15.5)(6.5)(5)f f f >>

7．A 、B 、C 、D 、E 五个人住进编号为1，2，3，4，5的五个房间，每个房间只住一人，则B 不住2号房间，且B ，C 两人要住编号相邻房间的住法种数为 A ．24 B ．36 C ．48 D ．60

8．椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的中心、右焦点、右顶点、右准线与x 轴的交

点依次为O 、F 、A 、H ，则

OH

FA

的最小值为 A ．2 B ．3 C ． 4 D ．不能确定

9．某学校的生物实验室里有一个鱼缸，里面有12条大小差不多的金鱼，8条红色，4条黑色，实验员每次都是随机的从鱼缸中有放回的捞取1条金鱼.若该实验员每周一、二、三3天有课，且每天上、下午各一节，每节课需要捞一条金鱼使用，用过放回.则该实验员在本周有课的这三天中，星期一上、下午所捞到的两条金鱼为同色，且至少有一天捞到不同的颜色金鱼的概率是

A ．

5681 B ．325729 C ． 280729

D ．604729

10．设方程22l g 1x o x ⋅=的两根为1x ，2x （1x <2x ），则

A ．120,0x x <>

B ．1201,2x x <<>

C ．121x x >

D ．1201x x << 二、填空题

11.在坐标平面上，不等式组10

1y y x +≥⎧⎪⎨≤-+⎪⎩

所表示的平面区域的周长为

▲ .

12.已知函数()2sin()5

f x x π

ω=-的图象与直线1y =-的交点中最近的两点

间的距离为

3

π

，则函数()f x 的最小正周期等于 ▲ 13．球O 上两点A 、B 间的球面距离为2π，AOB ∆有一个内角为3

π

，则此球

的体积是 ▲ .

14．已知双曲线的两条渐近线的夹角为60o

，则其离心率为 ▲ . 15．若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆2

2

4280x y x y +---=的周长，则

12

a b

+ 的最小值为 ▲ . 16．已知函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦ (1n x n <<+)，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－2.1]=－3，[－3]=－3，[2.5]=2.定义n a 是函数()f x 的值域中的元素个数，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则满足n n a S 500<的最大正整数n= ▲ .

三、解答题：本大题共5小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知

326

cos ,tan cot ,9.5225

B B A c =+==

（1）求tan B 的值； （2）求ABC ∆的面积。

18. 已知R （-3，0）

,点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足0RP PM ⋅=u u u r u u u u r ，230PM MQ +=u u u u r u u u u r r 。

（1）当点P 在y 轴上移动时，求M 点的轨迹C 的方程；

（2）设A B 、为轨迹C 上两点，N （1，0），1A x >，0A y >，若存在实数λ，

使AB AN λ=u u u r u u u r ，且163

AB =，求λ的值。