2019-2020学年上海市松江区八年级下学期期末数学试卷

2019-2020学年上海市松江区八年级下学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）
1.下列说法正确的是()
A. 过原点的直线都是正比例函数
B. 正比例函数图象经过原点
C. y=kx是正比例函数
D. y=3+x是正比例函数
2.已知一次函数y=kx+3(k≠0)，经过点(1,4)，则下列各点在该函数图象上的是()
A. (1,−2)
B. (5,2)
C. (−2,1)
D. (−3,1)
3.下列方程中，有实数解的方程是()
A. √x−2+√2−x=1
B. x
x−2+2
2−x
=0
C. √x+1=−x
D. √x−4+3=0
4.把方程√x2+y2
√(x+3)2+y2=1
2
化成整式方程，得()
A. x2+3y2+6x−9=0
B. x2+3y2−6x−9=0
C. x2+y2−2x−3=0
D. x2+y2+2x−3=0
5.已知非零向量a⃗、b⃗ 、c⃗，在下列条件中，不能判定a⃗//b⃗ 的是()
A. a⃗//c⃗,b⃗ //c⃗
B. a⃗=2c⃗,b⃗ =3c⃗
C. a⃗=−5b⃗
D. |a⃗|=2|b⃗ |
6.在下列各原命题中，逆命题是假命题的是()
A. 两直线平行，同旁内角互补
B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C. 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等
D. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
7.一次函数y=(m+1)x+5中，y的值随x的增大而减小，则m的取值范围是。

8.已知函数y=ax2−(a−1)x−2a+1，当0<x<3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围
是______．
9.有20瓶饮料，其中有2瓶已过保质期．从20瓶饮料中任取1瓶，取到未过保质期的饮料的概
率是______．
10.计算：
①3−8= ______ ； ②3−
64125
= ______ ；
③3−0.001= ______ ； ④−3(−2)3= ______ ． 11. 用换元法解方程
x 2−1x
−
x x 2−1
=1时，
如果设x
x 2−1=y ，那么所得到的关于y 的整式方程为______． 12. 方程√3x +4=x 的根是______． 13. 当x =5，代数式
4x−83
的值是______ ，当x = ______ 时，代数式
4x−83
的值是−1
3．
14. 若关于x 、y 的二元一次方程组{x +2y =1
3x −2y =11，则x −y 的算术平方根为______．
15. 多边形的内角中，最多有______ 个直角．
16. 在梯形ABCD 中，AD//BC ，如果AD =4，BC =10，E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，那么
EF =______．
17. 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC 与∠BAD 的度数比为1：2，周长是48cm.
则菱形的面积是______ ．
18. 如图所示，P 是正方形对角线AC 上一点，过点P 分别作两组对边的
垂线将正方形分为两个小正方形和两个矩形，如果正方形ABCD 的周长为16，则图中两个小正方形的周长之和是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分） 19. 解方程组：{x 2−3xy −4y 2=0
x −y =3．
四、解答题（本大题共7小题，共47.0分） 20. 解方程：
(1)2(x −3)=3x(3−x)； (2)x 2−4x −2=0(用配方法)； (3)1
x−2=1−x
2−x −3．
21. 已知：四点A ，B ，C ，D 的位置如图所示， (1)根据下列语句，画出图形． ①画直线AB 、直线CD ，交点为O ； ②画射线AC ；
(2)用适当的语句表述点A 与直线CD 的位置关系．
22. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式−利用函数图象研究其性质−运用函
数解决问题“的学习过程.在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象.同时，我们也学习了绝对值的意义|a|={a(a ≥0)
−a(a <0)
．
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y =a|x −1|+bx +
176
中，当x =4时，
y =1；当x =0时，y =2． (1)求这个函数的表达式；
(2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象(每个小方格的边长为1个
单位长度)并写出这个函数的一条性质； (3)已知函数y =−1
8x 2+1
2x +
138
的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出方程a|x −1|+
bx +
176
=−18x 2+12x +
138
的解(精确到0.1)．
23.2010年上海世博会已进入倒计时，世博会门票现已订购，已知网上订购比电话订购每张优惠40
元，某校准备用4800元订购该门票，精明的校长用网上订购的办法，结果比电话订购多订购到6张门票，求电话订购每张门票价格是多少元？
24.某学校举行数学竞赛，需购买A、B两种奖品共160件，其中A种奖品的单价为12元，B种奖
品的单价为8元，且购买B种奖品的数量不大于A种奖品数量的3倍，假设购买A种奖品的数量为x件．
(1)根据题意填空：
购买A种奖品的费用为______(元)；
购买B种奖品的费用为______(元)；
(2)若购买两种奖品所需的总费用为y元，试求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围；
(3)问A，B两种奖品各购买多少件时所需的总费用最少，并求出最少费用．
25.如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD
之中点．
(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；
(2)当AC、BD满足______时，四边形EFGH为菱形．(不用证明)
26.如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，
使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG．
(1)请写出线段BG和AE的位置关系及数量关系；
(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度α(0°<α<90°)时(图②)，(1)中的结论是否仍
然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
(3)若BC=DE=4，正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度α(0<α<360°)过程中，当AE为最
大值时，请直接写出AF的值．
【答案与解析】
1.答案：B
解析：解：A.y轴是过原点的直线，但不是正比例函数，所以A错误；
B.正确；
C.当k=0时，不是正比例函数；
D.是一次函数．
故选：B．
根据正比例函数和一次函数的概念即可判断．
本题主要考查了正比例函数和一次函数的性质，正比例函数的图象是一条过原点的直线，正比例函数的一般式y=kx中，要注意k≠0，一次函数的一般式是y=kx+b(k≠0)．
2.答案：C
解析：解：将点(1,4)代入一次函数表达式得：4=k+3，
解得：k=1，
故一次函数表达式为：y=x+3，
当x=1时，y=4，
当x=5时，y=8，
当x=−2时，y=1，该点在一次函数上，
当x=−3时，y=0，
故选：C．
将点(1,4)代入一次函数表达式得：4=k+3，解得：k=1，故一次函数表达式为：y=x+3，将A、B、C、D四个点坐标逐一代入验证即可．
本题考查的是二元一次方程的解法．先将已知代入方程得出k的值，再把k代入一次函数中可解出b 的值．运用代入法是解二元一次方程常用的方法．
3.答案：C
解析：解：A.由x−2≥0且2−x≥0知x=2，此时方程不成立，故此方程无实数根；
B.两边都乘以x−2得x−2=0，解得x=2，此时方程分母为0，即分式方程无意义，故此方程无实数根；
C.两边都平方得x+1=x2，解得x=1±√5
，符合方程，故此方程有实数根；
2
D.由方程可得√x−4=−3<0知此方程无实数根；
故选：C．
根据二次根式与分式方程有意义的条件逐一判断即可得．
本题主要考查无理方程，解题的关键是掌握解无理方程的常用方法和二次根式、分式有意义的条件．4.答案：C
解析：
本题主要考查无理方程，无理方程转化为整式方程常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．先将方程两边都平方即可去掉根号，再根据去分母化为整式方程，最后整理整式方程即可得．
解：方程两边平方，得：x 2+y2
(x+3)2+y2=1
4
，
∴4(x2+y2)=(x+3)2+y2，
去括号，得：4x2+4y2=x2+6x+9+y2，
移项、合并，得：3x2+3y2−6x−9=0，
两边都除以3，得：x2+y2−2x−3=0，
故选C．
5.答案：D
解析：解：A、∵a⃗//c⃗，b⃗ //c⃗，∴a//
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ b⃗ ，故本选项，不符合题意；
B、∵a⃗=2c⃗，b⃗ =3c⃗，∴a//
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ b⃗ ，故本选项，不符合题意；
C、∵a⃗=−5b⃗ ，∴a//
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ b⃗ ，故本选项，不符合题意；
D、∵|a⃗|=2|b⃗ |，不能判断a//
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ b⃗ ，故本选项，符合题意；
故选：D．
根据平面向量的性质即可判断．
本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．
6.答案：C
解析：解：A、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故本选项错误，
B、逆命题是：斜边上的中线等于斜边的一半的三角形是直角三角形，是真命题，故本选项错误，
C、逆命题是：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，是假命题，故本选项正确，
D、逆命题是：线段上一点到这条线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题，故本选项错误，
故选C．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
本题主要考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，难度适中．
7.答案：m<−1
解析：
本题主要考查一次函数图象与系数的关系．解答本题注意理解：k>0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k<0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小．利用一次函数图象与系数的关系列出关于m的不等式m+1<0，然后解不等式即可．
解：∵一次函数y=(m+1)x+5中，y随x的增大而减小，
∴m+1<0，
解得m<−1．
故答案是m<−1．
≤a≤1
8.答案：−1
5
≥3，
解析：解：根据题意得：当a<0时，−−(a−1)
2a
≤a<0；
解得：−1
5
当a=0时，原函数为一次函数y=x+1，
∵1>0，
∴y随x的增大而增大，
∴a=0符合题意；
≤0，
当a>0时，−−(a−1)
2a
解得：a≤1．
≤a≤1．
综上所述：a的取值范围是−1
5
分a <0，a =0及a >0三种情况考虑：当a <0时，利用二次函数的性质可得出−
−(a−1)2a
≥3，解之
可得出a 的取值范围；当a =0时，原函数为一次函数y =x +1，由一次函数的性质可得出y 随x 的增大而增大，进而可得出a =0符合题意；当a >0时，利用二次函数的性质可得出−−(a−1)2a
≤0，解
之可得出a 的取值范围．综上此题得解．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，分a <0，a =0及a >0三种情况找出a 的取值范围是解题的关键．
9.答案：9
10
解析：解：∵有20瓶饮料，其中有2瓶已过保质期， ∴从20瓶饮料中任取1瓶，取到未过保质期的饮料的概率为：20−220
=
9
10
．
故答案为：9
10．
由有20瓶饮料，其中有2瓶已过保质期，直接利用概率公式求解即可求得答案． 此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10.答案：−2；−4
5；−0.1；−2
解析：解：①∵(−2)3=−8，∴3−8=−2； ②∵(−4
5)3=−
64125
，∴，3−64125=−4
5； ③3−0.001=−0.1； ④−3(−2)3=−3−8=−2． 故答案为：−2；−4
5；−0.1；−2． 利用立方根的定义即可求解．
本题主要考查了立方根的定义，熟记一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0是解答此题的关键．
11.答案：y 2+y −1=0
解析：解：设x
x 2−1=y ，则原方程可化为：1
y −y =1， 去分母，可得1−y 2=y ， 即y 2+y −1=0， 故答案为：y 2+y −1=0．
可根据方程特点设x x 2−1=y ，则原方程可化为1
y −y =1，再去分母化为整式方程即可．
本题考查用换元法解分式方程的能力．用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，再将分式方程可化为整式方程．
12.答案：x =4
解析：解：两边平方得：3x +4=x 2， 解方程得：x 1=−1，x 2=4，
检验：当x =−1时，原方程右边=−1，所以x =−1不是原方程的解， 当x =4时，原方程左边=右边，所以x =4是原方程的解． 故答案为：x =4；
首先把方程两边平方，然后整理方程，解一元二次方程，然后进行检验即可．
本题主要考查了解无理方程，关键在于首先把方程两边分别平方，注意把所得的结果进行检验．
13.答案：4；7
4
解析：解：把x =5代入得：原式=20−83
=4；
根据题意得：
4x−83
=−1
3
，
去分母得：4x −8=−1， 解得：x =7
4， 故答案为：4；74
根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14.答案：2
解析：解：{x +2y =1 ①
3x −2y =11 ②
①+②得，4x =12， 解得x =3， 把x =3代入①得， y =−1． 所以x −y =4．
则x −y 的算术平方根为2．
故答案为2．
先根据加减消元法解方程组，再求x−y的算术平方根即可．
本题考查了解二元一次方程组、算术平方根，解决本题的关键是用消元法解二元一次方程组．15.答案：4
解析：解：当内角为90°时，与它相邻的外角也为90°，
∵任意多边形的外角和为360°，
∴360°÷90°=4．
故答案为：4．
由多边形的外角和为360°可求得答案．
本题主要考查的是多边形的内角与外角，明确任意多边形的外角和为360°是解题的关键．16.答案：7
解析：解：∵E，F分别是边AB，CD的中点，
∴EF为梯形ABCD的中位线，
∴EF=1
2(AD+BC)=1
2
(4+10)=7．
故答案为7．
根据梯形中位线定理得到EF=1
2
(AD+BC)，然后把AD=4，BC=10代入可求出EF的长．本题考查了梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
17.答案：72√3cm2
解析：解：∵菱形ABCD的周长为48cm，
∴菱形的边长AB=BC=48÷4=12(cm)，
∵∠ABC：∠BAD=1：2，∠ABC+∠BAD=180°(菱形的邻角互补)，
∴∠ABC=60°，∠BAD=120°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=12cm，
∵菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，
∴AO=CO=6cm，BO=DO且AC⊥BD，
∴∠ABO=30°，
∴BO=√3AO=6√3cm，
∴BD=2BO=12√3cm；
∴菱形的面积=12AC ⋅BD =1
2×12×12√3=72√3(cm 2)；
故答案为：72√3cm 2．
证△ABC 是等边三角形，得AC =AB =12cm ，求出BO ，得出BD 的长，由菱形的面积等于对角线长乘积的一半即可得出答案．
本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是证明△ABC 是等边三角形，属于中考常考题型． 18.答案：16
解析：
解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD =BC ，AB =CD ，∠DAB =∠B =∠BCD =∠D =90°，
∵MN ⊥AD ，MN ⊥BC ，EF ⊥AB ，EF ⊥CD ，
∴∠AEF =∠FDE =∠D =90°，
∴四边形AEFD 是矩形，
∴AE =DF ，EF =AD ，
同理BE =CF =CF ，PF =CN =DM ，EP =BN =AM ，AE =DF =PM ，
∴两个小正方形的周长之和是AE +AM +PE +PM +PN +NC +CF +PF =4AM +4DM =4AD =4×16
4=16，
故答案为：16．
求出每个四边形都是矩形，得出矩形的对边相等，求出两个正方形的周长之和等于4AD ，即可求出答案．
本题考查了矩形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出两个小正方形的周长之和=4AD ．
19.答案：解：{x 2−3xy − 4y 2=0 ①x −y =3 ②
， 由①得x −4y =0，x +y =0，
则原方程组变为{x −4y =0x −y =3，{x +y =0x −y =3
，
解得{x 1=4y 1=1，{x 2=32y 2= −32
． 解析：把①化为x −4y =0，x +y =0，然后与方程①组成方程组，然后解二元一次方程组即可． 本题考查了高次方程，解答此类题目一般把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 20.答案：解：(1)2(x −3)=3x(3−x)
2(x −3)−3x(3−x)=0，
则2(x −3)+3x(x −3)=0，
(x −3)(2+3x)=0，
解得：x 1=3，x 2=−23；
(2)x 2−4x −2=0，
x 2−4x +4=2+4
则(x −2)2=6
解得：x 1=2+√6，x 2=2−√6；
(3)1x−2=1−x 2−x −3
去分母得：1=x −1−3(x −2)
去括号得：1=x −1−3x +6
移项：2x =4
解得：x =2
经检验x =2是增根，故原方程无解．
解析：(1)直接移项提取公因式(x −3)分解因式解方程得出答案；
(2)直接利用配方法基本步骤将常数项移项，进而配方得出答案；
(3)首先去分母，进而解方程，最后检验得出方程根的情况．
此题主要考查了配方法和因式分解法解方程以及分式方程的解法，正确掌握相关方程正确解题步骤是解题关键．
21.答案：解：
(1)如图所示：
①直线AB 、直线CD 即为所求作的图形；
②射线AC 即为所求作的图形；
(2)点A 与直线CD 的位置关系为：点A 在直线CD 外．
解析：(1)根据语句①画直线AB 、直线CD ，交点为O 即可；
②画射线AC 即可；
(2)用适当的语句表述点A 与直线CD 的位置关系即可．
本题考查了作图、复杂作图、直线、射线、线段，解决本题的关键是根据所给语句准确画出图形．
22.答案：解：(1)把x =4，y =1；x =0，y =2代入y =a|x −1|+bx +176中，得{3a +4b +176=1a +176=2
， 解得{a =−56b =16
， ∴这个函数的表达式为y =−56|x −1|+16x +
176；
(2)列表：
x
… −6 −4 −2 0 1 4 6 … y … −4 −2 0 2 3 1 −13 … 描点，连线画出函数的图象如图：
由图象可知函数有最大值3；
(3)由图象可知方程a|x−1|+bx+17
6=−1
8
x2+1
2
x+13
8
的解为x1=−3，x2=−1，x3=2.5，x4=7．
解析：(1)利用待定系数法构建方程组即可解决问题．
(2)利用描点法画出函数图象，观察图象，写出函数的性质即可．
(3)根据图象即可求得．
本题考查二次函数与一次函数的交点问题，一次函数的图象与性质，利用图象求一元二次方程的近似根，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23.答案：解：设电话订购每张门票价格是x元．
4800 x−40−4800
x
=6，
x2−40x−32000=0，
x1=200，x2=−160，
检验：x1=200，x2=−160都是原方程的根，
x2=−160不符合题意，舍去，
∴x1=200．
答：电话订购每张门票价格是200元．
解析：此题可设电话订购每张x元，则网上订购每张x−40元，根据用网上订购的办法比电话订购多订购到6张门票，列出符合题意的分式方程，解答即可．
本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①设未知数②根据题意找出等量关系③列出方程④解出分式方程并检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
24.答案：12x8(160−x)
解析：解：(1)根据题意，得
购买A种奖品的费用为12x(元)．
购买B种奖品的费用为8(160−x)(元)．
故答案是：12x；8(160−x)；
(2)根据题意得，y=12x+8(160−x)
∴y=4x+1280．
又160−x≤3x，
解得：x≥40．
由题意得：x≤160
∴40≤x≤160．
综上所述，y=4x+1280(40≤x≤160)；
(3)∵4>0
∴y随x的增大而增大
∵40≤x≤160
∴当x=40时，y最小值=4×40+1280=1440(元)
此时，160−x=120．
∴当购买A种奖品40件，B种奖品120件时，所需费用最少，最少费用为1440元．
(1)根据总费用=单价×数量填空；
(2)根据题意可以写出y与x的函数关系式；
(3)根据题意可以列出相应的不等式，求出x的取值范围，再根据一次函数的性质即可解答本题．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
25.答案：AC=BD
解析：(1)证明：连接BD，
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD之中点，
∴EH−//1
2BD，FG=−//1
2
BD，
∴EH−//FG，
∴四边形EFGH为平行四边形；
(2)解：当AC、BD满足AC=BD时，四边形EFGH为菱形．
理由：连接AC，
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD之中点，
∴EF−//1
2AC，EH−//1
2
BD，
∵AC=BD，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH为菱形．故答案为：AC=BD．
(1)直接利用三角形中位线定理，再结合平行四边形的判定方法得出答案；
(2)利用三角形中位线定理以及结合菱形的判定方法得出答案．
此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的判定，正确掌握三角形中位线定理是解题关键．26.答案：解：(1)结论：BG=AE，BG⊥AE．
理由：如图1，延长EA交BG于K．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=DG．
在△BDG和△ADE中，
{BD=AD
∠BDG=∠ADE GD=ED
，
∴△ADE≌△BDG(SAS)，
∴BG=AE，∠BGD=∠AED，
∵∠GAK=∠DAE，
∴∠AKG=∠ADE=90°，
∴EA⊥BG．
(2)结论成立，BG=AE.BG⊥AE．
理由：如图2，连接AD，延长EA交BG于K，交DG于O．
∵在Rt△BAC中，D为斜边BC中点，∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°．
∵四边形EFGD为正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE．
在△BDG和△ADE中，
{BD=AD
∠BDG=∠ADE GD=ED
，
∴△BDG≌△ADE(SAS)，
∴BG=AE，∠BGD=∠AED，
∵∠GOK=∠DOE，
∴∠OKG=∠ODE=90°，
∴EA⊥BG．
(3)∵BG=AE，
∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．如图3，当旋转角为270°时，BG=AE．
∵BC=DE=4，
∴BG=2+4=6．
∴AE=6．
在Rt△AEF中，由勾股定理，得
AF=√AE2+EF2=√36+16=2√13，
∴AF=2√13．
解析：(1)由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；(2)如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；
(3)由(2)可知BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论．
本题是四边形综合题，考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．。