大学物理-热学中气体分子运动论1

=
vi2x
i
N
设
v
2 y
为速度沿 y 方向分量平方的平均值
设 vz2 为速度沿 z 方向分量平方的平均值
∑ vi2y
v
2 y
=
i
N
∑ vi2z
v
2 z
=
i
N
v
2 x
=
v2 y
=
v
2 z
∑ vi2
设 v2 为速度平方的平均值 v2 = i
N
对于单个分子
vi2 = vi2x + vi2y + vi2z
即分子数密度到处一样，不受重力影响；
n = dN = N dV V
) 分子速度方向假设
dV----体积元（宏观小，微观大）
平衡态时分子向各个方向运动的概率相等。分子的 速度（相对于质心系）指向各个方向的概率相等。
设
v
2 x
为速度沿 x 方向分量平方的平均值
∑ v
2 x
=
v12x
+ v22x + " + vN2 x N
经典理论的缺陷！
§2 能量均分定理
研究气体的能量时，气体分子不能再看成质点，微观模型 要修改。分子有平动动能，还有转动动能和振动动能。
一、自由度 i：确定物体的空间位置所需要的独立坐标数目。
质点的自由度
自由运动的质点 t = 3 (x , y, z)
被限制在平面内： t =2
被限制在直线或曲线上： t = 1 刚体的自由度： 平动 + 转动
∑ nivi2x
v
2 x
=
i
n
设 dA 法向为 x 轴 ，碰撞时间为dt 一次碰撞单分子(质量为m)对器壁的冲量
2m vix 在 dt 时间内速度 为 vi 的分子中
能与 dA 碰撞的分子数
为斜柱体内分子的个数
理想气体压强公式的推导
dA x
K
vidt
ni vix dt dA 斜柱体体积
vixdt
K 速度为 vi 的分子对 dA 的冲量
P
=
2 3
nε t
P = n kT
温度的微观意义： 热力学温度是分子平均平动动能的量度. 反映了物体内部分子无规则运动的剧烈程度.
温度是描述热力学系统处于平衡态时的物理量. 温度是统计概念，只能用于大量分子. 温度标志物体内部分子无规则运动（质心系中）
的剧烈程度. 平均转动动能、平均振动动能也与温度相关.
方均根速率 vrms （root mean square speed)
vrms = v2 =
3kT = m
3 RT
μ
m (分子质量)一定 T 高
T (温度)一定
μ大
v2
εt
=
1 2
mv2
= 3 kT 2
v2 小
k = R =R
m N Am μ
方均根速率: 分子运动速率的一种统计平均值。
例： 在 0 ℃ 时 H2 分子
取边长为 10 – 3 cm的正方体， 其中含分子个数 为 1010 个。
取 dV 使涨落相对于平均值可忽略不计。
二、理想气体压强公式的推导
气体对容器的压强是气体分子频繁碰撞的总平均效果。
例：设器壁光滑,分子与器壁弹性碰撞， 求单个分子对器壁的冲量。
解：碰撞后 y、z 方向速度分量不变
x 方向：碰撞前 vix mvix
i=3
刚性双原子气体分子： i = 5
刚性多原子气体分子： i = 6
εk
=
3 kT 2
εk
=
5 kT 2
εk = 3kT
气体分子平均总动能
单原子分子
自由度 i = 3
刚性双原子分子 自由度 i = 5
刚性多原子分子 自由度 i = 6
εk
=
3 2
kT
εk
=
5 2
kT
εk = 3kT
三、 内能 ( Internal Energy )
能量均分定理：（统计规律）
由经典统计力学描述的气体，在温度为 T 的平衡态
下，气体分子每个自由度都具有相同的平均动能 ，大小
等于 1 kT 。 2
（经典物理中也适用于固体和液体分子的无规则运动.）
平均总动能:
设一个分子的总自由度为 i
一个分子的平均总动能 ε k
εk
=
i 2
kT
i=t+r
单原子气体分子：
z•
轴
ϕ
•×
•
α C (x, y, z)
0β
y
x
确定质心位置 ， 三个坐标 平动自由度 t = 3
确定过质心的任意轴的方位，
两个坐标α 和β 分子绕轴转动的角坐标 一个 ϕ
转动自由度 r = 3
自由度 i = t +r = 6
气体分子自由度
分子种类 平动自由度 t 转动自由度 r
单原子
如 H2, O2,CO等
β
•需要三个坐标确定质心的位置 t = 3
Oγ α
y
•需要两个坐标确定原子联线的方位
x
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
存在转动自由度 r = 2
)刚性双原子分子自由度 i = t ＋r = 5
3. 刚性多原子分子(polyatomic molecules)：
v2 =
3kT m
例：金属中的电子在不停地做热运动，形成“电子气”。铜块中
的自由电子在 0K 时的平均平动动能为 4.23eV ,试按经典理论
估计此能量相对于多高的温度？
解： ε t
=
3 2
kT
T
=
2ε t
3k
=
2 × 4.23 ×1.6 ×10−19 3 ×1.38 ×10−23
= 3.19 ×104(K)
3
0
刚性双原子 3
2
刚性多原子 3
3
总自由度 i 3 5 6
二、能量均分定理 The Equipartition Theorem
能量均分定理
εt
=
1 mv2 2
=
3 kT 2
v
2 x
=
v
2 y
=
v
2 z
=
1 v2 3
1 2
m
v
2 x
=
1 2
m
v
2 y
=
1 2
m
v
2 z
=
1
3 (
kT
)
=
1
kT
32
2
第三章 气体分子运动论 Kinetic Theory of Gases
§1 理想气体的压强与温度
一般气体分子热运动的概念：
分子数密度
3×1019 个分子/cm3
分子之间有间隙，有作用力；
分子热运动的平均速率约 分子间的平均碰撞次数约
一. 微观模型 二．理想气体压强公式的推导
vav = 500m/s ； zav = 1010 次/秒.
自由度 i = 3
刚性双原子分子 自由度 i = 5
刚性多原子分子 自由度 i = 6
E = 3 ν RT
2 E = 5 ν RT
2
E = 3ν RT
ni vix dt dA（ 2m vix）
∑ 在 dt 内所有分子对器壁的冲量：dI =
2
mn
i
v
2 ix
d
A
d
t
( v ix > 0 )
dt 时间内给 dA 的冲量为
理想气体压强公式的推导
∑ ∑ dI
=
2
mn
i
v
2 ix
dA
dt
=
( vix > 0 )
1 2
i
2
mn
i
v
2 ix
d
A
d
t
∑ =
mn
气体的内能：所有分子的动能（相对于质心参照系） 和分子间相互作用势能的总和。
理想气体的内能：所有分子动能（相对于质心参照系）总和。
E
=
Nε k
=
N
i kT 2
=
i 2
N
R NA
T
E = i νRT
2
ν：摩尔数， T：热力学温标。
E = E (T ) 一定量理想气体的内能仅与温度有关。
理想气体内能
单原子分子
质心的平动 t = 3 ( x , y , z )
转动
r = 3 （α ，β ，ϕ ）
y
β
α
ϕ
x
z
t =0
定轴转动的刚体 自由度=1.
1.单原子分子（monatomic molecules ) 如 He, Ne 等
分子的自由度
自由度 i = t =3
z
2.双原子分子(diatomic molecules )
2. 对分子集体的统计假设 什么是统计规律性?
大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。
例. 扔硬币
表演实验：伽耳顿板
统计规律有以下几个特点: （1）只对大量偶然的事件才有意义。 （2）它是不同于个体规律的整体规律。 （3）总是伴随着涨落。
对大量分子组成的气体系统的统计假设：
) 若无外场，平衡态时分子按位置的分布是均匀的，
v2 =
3kT = m
3RT
μ
v2 =
3kT = m
3RT
μ
=
3× 8.31× 273 2.02×10−3 = 1836 m / s
O2 分子
v2 =
3kT = m
3RT
μ
=
3× 8.31× 273 32 × 10−3
= 461 m / s
T → 0K , vrms → 0
分子要停止运动 ？
vrms =
dA x
K
碰撞后 − vix − mvix
mvi
碰撞前后动量变化 − mvix − mvix = −2mvix
分子对器壁的冲量 2mvix
处于平衡态的某种理想气体，容器内分子数为 N，
分子质量为 m,
单位体积内的分子数为 n
把所有分子按速度分为若干组，在每一组内的分子速度大小，
方向都差不多。
G GG
i
v
2 ix
d
A
d
t
dF = dI dt
P = dI dAdt
∑ ∑ P =
mn
i
v
2 ix
=
m
n
i
v
2 ix
=
mn
v
2 x
i
i
P
=
1 mn v 2 3
=
2 n( 1 mv2 ) 32
=
2 3
n
ε
t
εt
=
1 2
mv2
─ 分子平均平动动能
压强是统计概念.
三、理想气体的温度
εt
=
3 2
kT
平均平动动能只与温度有关. 热力学温标
v
2 x
=
v2 y
=
v
2 z
∑ ∑ ∑ ∑ vi2 =
vi2x +
vi2y +
vi2z
N
N
N
N
注意
v2
=
v
2 x
+
v
2 y
+
v
2 z
v
2 x
=
v2 y
=
v
2 z
=
1 v2 3
v2x
v
2 y
vz2 n 都是统计平均值，对大量分子的集体才有意来自百度文库。
n = dN dV
标准状态下，空气分子的个数：2.9 ×1019个/cm3.
三．理想气体的温度和分子平均平动动能
一、 理想气体微观模型
1. 对单个分子力学性质的假设
) 质点假设：
将分子抽象为质点，不计其体积， （因为分子的线度 << 分子间的平均距离） 单个分子遵从经典力学规律。
) 相互作用假设：
分子之间除碰撞的瞬间外，无相互作用力。（忽略重力）
) 弹性碰撞假设
碰撞是弹性的，动能守恒。 分子为服从牛顿力学规律的弹性质点。
设第 i 组分子的速度在 vi ∼ vi + dvi 区间内。
以
ni 表示第
i 组分子的分子数密度
ni
=
Ni V
∑ 总的分子数密度为 n = ni
N
∑ v
2 x
=
v
2 kx
k =1
N
= N1v12x + N2v22x +"Nivi2x N
=
N1 V
v12x
+
N2 V
v22x
+"Ni V
vi2x
N /V