数学问题与解答

2-48故学故学2021年第2期
O^O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O
数学问题与解答
(2020年第12期问题解答）
00000000000000G000000000000•O
1106•如图1，在平面直角坐标系xOy中，
M为椭圆^l(a > 6 > 0)上异于长轴a〇
端点的动点3、F分别为椭圆的右顶点和左焦 点，£为线段的中点，直线0E交椭圆的左准
线h x(其中c = J a- b2)于点过点
C
0作的平行线交Z于点•求证：乙0即= ^OQF.
(271400山东省泰安市宁阳第一中学
刘才华供题）
证明：易知 /!(a,0)•设A/(x Q,y。

）（y。

#
〇)，由M在椭圆上得与+告=1,即+
a b a
^ = 〇,m
x0 - a x0 + a a
以下约定用记号表示直线的斜率.
记一观，则•又£(¥，夸)，
x〇- a\ 22!
故 k0E =—.
x0-r a
于是由①得a •^\，进而直线〇芯的
a
方程为y =-•令* =-i，得y = ^-，故
ka C kc
个令，t) •由/^(-C，0)，得
k p F =—2---
a
-----+ c
c
由z!M//0<?得k=A，所以‘.k=-l，艮(3Pf丄0(?.
又训丄叩，故点F为△0P(?的垂心，则
丄OR
于是乙〇尸厂=90° -乙P0(?=乙0(?厂
1107.如图2,在梯形仙〇}中，仙//C Z)，仙=2C Z)，对角线4C，S O交于点£，平面内一 点 F满足 /I B = BF，BC = Cf.过点 £作 // AB,交BC于点G,作EH// CF,交AF于点、H•求证：丄S Z)当且仅当C//丄BC.
(033200 山西省临县一中李有贵供题）
2^
y
故
2021年第2期故学牧学2-49
GH=AH-AG = —\F - [-A B + —Ac)
3 \3 3 )
2—►—►1—►2—►
= —(AB +B F)—AB—AC
3 3 3
1►2—►2—►
= —AB—AC + —BF.
3 3 3
于是
GH-CB
I1 —►2——►—►2—►—►=yAB - j A C\ •(AB -AC)+ —BF -CB.
由AB =Bf\ BC = CF得
~~►►11K
BF.CB =—BF2 =—AB~.
22
又由^'=2/^5,可知
BD = BA+AC+CD=AC - —AB.
2
设a…的个位数为\的个位数为y…，则 由①知
r^ +i=x n +2y…(modl0),
lrn+i=+ 7…(m〇«l 10),
其中 x…，y… e l〇, 1,…，9}.
由a, = 1，6,=
用递推关系②，得
1，得X丨=1，T i=1.反复运x2=3，y2 :=2^3 =7, r3:=5；
X4=7, h :=2^5 =7s ==9；
X6=9, r6 ==0X1 二9, r7 ==9；
xs=7, r8 ==8尤9二3, y9 ==5；
x\o=3, n〇:=8^11 ==9, y (1)
尤12 =：1.J l2 =0文13 =1，J l3=1.
因②是一阶递推关系，=3^，故 U…1,jyj以12为周期•从而
从而ab=X202〇y2020
GH-CB =AC7-AB-^c l+
—AC BD.
所以获= 0当且仅当石/ •茂=0,即4C丄当且仅当C W丄f i C.
1108.设正整数a，6满足（1 +及)2°2° = a + 6#.求a6的个位数字.
(215500江苏省常熟市中学查正开供题）
解：对任意正整数\设（1 + 7?)" + 6…7I(a…，e N)，熟知满足条件的正整数对 U…,6J存在且唯一•由于
«n+i + bn+lj2 =( 1 + J2)n+'
=(an + bn j2)(1 + /2)
=(an + 26J+ (an + t>…)J2 ,从而
an+i+ 2i…,
bn+i =an + b….①
-a:4y4= \4 = 4( mo d10),
即a6的个位数字为4.
1109•设正整数n多3, a,,a2，…，a…为
正实数•记S = X a,，P = X4求证：P >
i=l i=1
y a,(p -a f)
iT l S - a:
(610031四川成都金牛西林巷18号晨 曦数学工作室宿晓阳供题）
证明：通过作差即得
p_y a^P-a])
i=i S - a,
ai(p ~ a])
I
S
"a^a^S - a t)- (P - a')]
X i=1
n
I
S —a；
X a/a; - a》
"a.a/a, - a;)
1 -
X
1<j^n
S - a,
a,a;(a, - a;)ajal{aJ - a,)'
S —a-S —a-
.
I
1 ^ / < j ^n
a ,a y ( a , - a 7) [ ( S - a y) - ( S - a ,)]
(S -a ,.)(S -f l j )
y
a ,a ；(«, ~ ^)：
! S , <；Sn
( S - «, ) ( S - Oj )
^ 〇,
(m + n )
(k + 2).
注意到-(H )_矣〇及④，可得
移项即得原不等式成立.1110•已知实系数一元三次方程d +(2 — a )x 2 +心-a = 0(a > 0)有三个实根，其中至 少有一根在区间（〇, a )内.求2a - 6的最大值.
(453«»河南省辉县一中贺基军供题） 解：设方程的三个实根为m ，n ，I 其中0 < k < a .
由韦达定理得
m +n -\-k =a -2,........①2a —
2A : + 4
(k + 2)
(k - 2)2
k 2
+ 4^4.当A : = 2且m =汀=~
= 2时，上式等号k
成立.此时相应有a = 8, 6 = 12,符合0 < A <a 的题设.
综上，2a -6的最大值为4.
m n + m k + nk = b ,........②
m nk = a .............③
由（m + /I )2 彡 4m r i 及 A : > 0,得
k(m + n )2 - Am nk ^ 0,
又由③和①得麵A : = m + n + A : + 2.从而得
k(m + n )2 - 4(m + n ) -(4A : + 8) ^0,
即
(m + n + 2)( m k + nk - 2k - 4) ^0.
由 A <a 得m +n + 2= a - A : > 0,从而必
有 m A : + a i A - 2A : - 4 > 0，
因此
当m = n 时等号成立.
由②、③知6 = 7 + m A : + M ，结合①得
k 2a - b
=I 2 ——j (m +n +A : + 2) - (m + n)k
2021年第2期问题
1111.
已知 a , 6，c 多 0且 a+6 + c = 3•求 3a5 + 563 + 5C 3的取值范围.
(237005安徽省六安第二中学陶兴红 供题）
1112. 在平面直角坐标系中，圆0,:(;« + 2)2 + y 2 = 1，圆 02: - 2): + / = 1，点P (4, y D ).若圆0,上存在一点4,圆02上存在 一点满足丨/M l =丨洲丨，求y 。

的取值范围.
(223001江苏省淮安市文旅区星辰路1 号新淮高级中学王恩普供题）1113. 如图 3,在 A /1SC 中，乙C = 90。

，两 条角平分线4D ，6£相交于点F ，其中£>，£分 别在边BC ，/IC 上.设C 是/)£的中点，射线CF 交 /1S 于点 //.求证：C £ + C Z > = 2G //.
(315300浙江省慈溪实验中学华漫天 供题）
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(下转第2-39页）
丫，m [S S N 0488 — 7387 一，A _ ^ ^
刊号:CN 31 -1024/G 4定价:7. 00兀每月12日出版代号：4 一 35
7
2021年第2期故学軋学2-39
新药做动物试验，对试验结果进行观察研究，发现隐藏在随机事件背后的统计规律，理解随 机现象，从而对值进行分析,解释试验方案的合理性.概率统计中的决策问题完美解释了 数学来源于生活，最终又服务于生活的性质.
5教学建议
近年来，高考数学全国卷的概率统计题，在高中数学知识的基础上，题型越来越新颖，区分度越来越好.具体表现在文字阅读量较大，知识与知识的综合性较强等方面.这些变 化值得我们深思，并在概率统计的教学方面进 行针对性调整.
5.1注重问题情境化，培养数学抽象能力
合适的问题情境是考查数学学科核心素 养的重要载体.由生活化的实例精简出问题，培养学生在综合情境中抽象出数学问题的能九
5.2加强知识与知识的综合性练习，培养数
据分析与建模能力
在新授课中可设置要素单一、条件结构良 好的概率统计问题，随之必须逐步在问题中加 人多个元素，与其他知识融合，如与函数、导 数、数列、三角等内容相结合，以培养学生的数 学分析能力和创新意识，最终达到可融合数学 各知识点来分析数据、准确建立数学模型的教 学目的.在这一过程中教会学生灵活运用知识，从多角度解决问题，全角度提升数学素养.
5.3渗透大学知识，培养逻辑推理能力
高考大纲指出，数学高考命题要紧密联系 大学数学知识内容，为学生进人大学学习做好铺垫.在平日教学中，在高中统计概率的基础
上，延伸大学概率统计的一些重要定理和结
论，并用高中知识来解答这些延伸问题，提高
学生逻辑推理能力，多层次提升数学素养.
5.4回归基础，培养运算能力与数学表达
能力
教师不仅要在学生综合能力等方面“建高 楼”，更要在计算、表达等方面“打地基”，让学
生在解决问题的过程中能够明晰算理，确定方
法，最终能又快又准地解决问题，从根本上提
升数学素养.
高考数学全国卷中概率统计题的变化趋
向明确，以考查考生数学核心素养为目标.日
常教学如果能在问题情境化训练时提高抽象
能力,在综合练习中培养数据分析、建模能力，
时刻对运算能力严格要求，最终就能多角度、
全方位、多层次地提升学生数学核心素养，泰
然应对高考题的变革.
参考文献
[1]任子朝•从能力立意到素养导向[J].中学数学教学参考(上旬），2018(5): 1.
[2]中华人民共和国教育部•普通高中数 学课程标准（2017年版）[S]•北京：人民教育
出版社，2018.
[3]中华人民共和国教育部.普通高等学 校招生全国统一考试大纲（2019年版）[Z].
2019-01 -31.
[4]吴平生.从能力到核心素养导向的高 考试题比较研究[J].中学数学教学参考（上 旬），2019(5) : 51 -53.
(上接封底)
1114•设正整数n彡2, a"a2,…，为 正实数.求证：
(466001河南省周口师范学院计算机科 学与技术学院李居之供题）
1115.设集合S含有n(n>2)个元素.求 最大的正整数I使得存在S的不同子集七，…，满足丨多2(1矣且I态n 今I = 1(1矣；(约定II I表示有限集 合X的元素个数).
(200439上海交通大学附属中学金荣生上海交通大学附属中学高一（16)班凌
梓诚供题）。