苏教版2018-2019学年高二数学：第1章 1.2 任意角的三角函数

解析：在同一单位圆中画出三个角的正弦线作出比较可得．
答案：sin 1.5>sin 1.2>sin 1
7．利用三角函数线，求满足下列条件的角 x 的集合．
1
3
(1)sin x≤2； (2)cos x＜ 2 .
1
解：(1)利用角 x 的正弦线，作出满足 sin x≤2的角 x 的终边所在位置的范围．如图(1)的
2π
4π
2π
4π
3 与 cos 5 ，tan 3 与 tan 5 的大小．
2
2
[思路点拨] 作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终边；比较三角函数值的大小时依
据三角函数线的长度和正负．
2π [精解详析] 在直角坐标系中作单位圆如图，以 Ox 轴正方向为始边作 3 的终边与单位圆
交于 P 点，作 PM⊥Ox 轴，垂足为 M，由单位圆与 Ox 正方向的交点 A 作 Ox 轴的垂线与 OP 的反向
[精解详析] (1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°<0.
∵305°是第四象限角，∴cos 305°>0.
从而 tan 108°·cos 305°<0，∴式子符号为负．
5π
11π
2π
(2)∵ 6 是第二象限角， 6 是第四象限角， 3 是第二象限角．
5π
11π
2π
∴cos 6 <0，tan 6 <0，sin 3 >0.
[例 2] 确定下列式子的符号：
5π
11π
cos ·tan
6
6
2π
sin
(1)tan 108°·cos 305°；(2)
3
；
(3)tan 191°－cos 191°；(4)sin 3·cos 4·tan 5.
[思路点拨] 角度确定了，所在的象限就确定了，三角函数值的符号也就确定了，因此只
需确定角所在象限，即可进一步确定各式的符号．
又 x≠0，则 x＝±1.
∵y＝3＞0，
2
2
∴α 在第一或第二象限．
3 10 当 α 在第一象限时，sin α＝ 10 ，tan α＝3.
3 10 当 α 在第二象限时，sin α＝ 10 ，tan α＝－3.
3．已知角的终边落在直线 y＝2x 上，求 sin α，cos α，tan α 的值．
解：(1)当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点 P(1，2)，由
线是三角函数值的几何表示，其数量可正可负，也可为 0，∴(3)不正确；(4)应是 cos α＝
x x2＋y2(∵α 是第二象限角，已有 x<0)，∴(4)不正确．
答案：(2)
3．已知角 α 的终边经过点(3a－9，a＋2)，且 sin α＞0，cos α≤0，则 α 的取值范围
是________．
解析：由 cos α≤0 及 sin α＞0 知角 α 的终边在第二象限或 y 轴的正半轴上．
解：(1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角，
∴sin 105°＞0，cos 230°＜0.
于是 sin 105°·cos 230°＜0.
π (2)∵ 2 ＜3＜π，∴3 是第二象限角，
∴cos 3＜0，
( ) 2π
2π
－
又－ 3 是第三象限角，∴tan 3 ＞0，
( )2π
－ ∴cos 3·tan 3 ＜0.
[例 1] 已知角 α 的终边上有一点 P(－3a,4a)(a≠0)，求 2sin α＋cos α 的值． [思路点拨] 由三角函数的定义求三角函数时，应先确定 α 终边位置．由于含有参数 a，
2
2
而 a 的条件为 a≠0，所以必须对 a 进行分类讨论． [精解详析] ∵x＝－3a，y＝4a， ∴r＝ －3a2＋4a2＝5|a|. 当 a>0 时，r＝5a，角 α 为第二象限角， y 4a 4 ∴sin α＝r＝5a＝5， x －3a 3 cos α＝r＝ 5a ＝－5， 43 ∴2sin α＋cos α＝2×5－5＝1. 当 a<0 时，r＝－5a，角 α 为第四象限角， y 4a 4 ∴sin α＝r＝－5a＝－5， x －3a 3 cos α＝r＝－5a＝5，
( )4 3
－ ∴2sin α＋cos α＝2× 5 ＋5＝－1. [一点通] 已知角的终边上一点，求该角的三角函数值，一般是先求出该点到原点的距离 r，再由三角函数的定义求出三角函数值．当点的坐标有字母时，由于字母符号未知，所以点所 在象限不确定，因此要根据情况进行分类讨论，避免漏解．
4 1．角 α 的终边过点 P(－8m，－6cos 60°)且 cos α＝－5，则 m 的值是____________．
课下能力提升(三) 一、填空题
|sin α| cos α 1．若 α 是第三象限角，则 sin α －|cos α|＝________. 解析：∵α 是第三象限角， ∴sin α＜0，cos α＜0，
|sin α| cos α ∴ sin α －|cos α|＝－1－(－1)＝0. 答案：0 2．有下列命题： (1)若 sin α>0，则 α 是第一、二象限的角；
提示：∵PM⊥x 轴，∴△OPM 为直角三角形，
∴|OP|＝ |OM|2＋|PM|2＝ a2＋b2，
|PM| b
|OM| a
∴sin α＝|OP|＝ a2＋b2，cos α＝|OP|＝ a2＋b2，
|MP| b tan α＝|OM|＝a.
在平面直角坐标系中，设 α 的终边上任意一点 P 的坐标是(x，y)，它与原点的距离为 r(r＝ x2＋y2>0)规定：
2π
2π
2π
延长线交于 T 点，则 sin 3 ＝MP，cos 3 ＝OM，tan 3 ＝AT.
4π
同理，可作出 5 的正弦线、余弦线和正切线，
4π
4π
4π
sin 5 ＝M′P′，cos 5 ＝OM′，tan 5 ＝AT′.
2π 4π 由图形可知：MP>M′P′，符号相同⇒sin 3 >sin 5 ，
解析：P(－8m，－3)，
4
－8m
4
由 cos α＝－5可得 64m2＋9＝－5，
1
1
解得 m＝2(m＝－2不合题意，舍去)．
1
答案：2
10
2．已知角 α 终边上点 P(x,3)(x≠0)，且 cos α＝ 10 x，求 sin α，tan α.
x 解：∵r＝ x2＋9，cos α＝r，
10
x
∴ 10 x＝ x2＋9 .
5．已知 sin α·tan α>0，则 α 是第几象限角？
解：∵sin α·tan α>0，∴Error!或Error!
当 sin α>0，且 tan α>0 时，α 为第一象限角；
当 sin α<0，且 tan α<0 时，α 为第四象限角．
∴α 为第一、四象限角.
2π 4π
2π
4π
[例 3] 分别作出 3 和 5 的正弦线、余弦线和正切线，并比较 sin 3 与 sin 5 ，cos
三角函数值在各象限内的符号，如图所示：
y 如图，由单位圆中的三角函数的定义可知 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝x. 问题：sin α 是否等于 PM 的长？若不等，怎样才能相等？ 提示：不一定，可能等于 PM 的长，也可能等于 PM 长的相反数，把 MP 看成有向线段即可．
1．有向线段 规定了方向(即规定了起点和终点)的线段． 2．有向线段数量
三角函数
定义
源自文库
定义域
2
2
y
正弦
sin α＝r
R
x
余弦
cos α＝r
R
y
π
正切
tan α＝x
{α|α≠kπ＋ 2 ，k∈
Z}
问题 1：由三角函数的定义知 sin α 在什么条件下函数值为正？ 提示：α 的终边在第一、二象限或 y 轴正半轴． 问题 2：tan α 在什么情况下为负数？
y 提示：因 tan α＝x，则 x、y 异号为负数，即 α 的终边在二、四象限为负数．
2
2
根据有向线段 AB 与有向直线 l 的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样 所得的数，叫做有向线段的数量．
3．单位圆 圆心在原点，半径等于单位长度的圆． 4．三角函数线 设角 α 的终边与单位圆的交点为 P，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M.
(1)则有向线段 MP、OM 就分别是角 α 的正弦线与余弦线，即 MP＝sin α，OM＝cos α； (2)过点 A(1,0)作单位圆的切线，设这条切线与角 α 的终边或角 α 终边的反向延长线交于 点 T，则有向线段 AT 就是角 α 的正切线，即 AT＝tan_α. 1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点 P(x，y)在终边上的位置无关， 只由角 α 的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关． 2．三角函数值的符号，用角 α 的终边所处的位置确定，即“一全正，二正弦，三正切， 四余弦”． 3．正弦线、余弦线、正切线这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，是与坐标轴垂直 的线段．这些线段分别可以表示相应三角函数的值，它们是三角函数的一种几何表示．
2π 4π
OM>OM′，符号相同⇒cos 3 >cos 5 ，AT<AT′，
2π 4π
符号相同⇒tan 3 <tan 5 .
[一点通] 利用三角函数线比较三角函数值的大小，关键在于准确作出正弦线、余弦线、
正切线，并注意它们为有向线段，方向代表三角函数值的符号，然后结合图形作出判断．
6．sin 1，sin 1.2，sin 1.5 三者的大小关系是________．
阴影部分，由图形得角 x 的集合为Error!.
3 (2)利用角 x 的余弦线，作出满足 cos x＜ 2 的角 x 的终边所在位置的范围，如图(2)的阴影
部分，由图形得角 x 的集合为Error!.
2
2
1．准确理解三角函数的定义 根据三角函数的定义，各三角函数值的大小与在终边上所取的点的位置无关，只与角 α 的 大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．定义中的 α 是任意角，但对于 一个确定的角，只要各个三角函数有意义，其值就是唯一的． 2．确定三角函数的符号 根据三角函数的定义可知，正弦值、余弦值的符号分别取决于纵坐标 y、横坐标 x 的符号； 正切值则是纵坐标 y、横坐标 x 同号时为正，异号时为负． 3．三角函数线的应用 三角函数线的方向和长短直观反映了三角函数值的符号和绝对值的大小，从三角函数线的 方向可以看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可以看出三角函数值的绝对值大小．
2
第 1 课时 任意角的三角函数
如图，直角△ABC.
问题 1：如何表示角 A 的正弦、余弦、正切值？
a
b
a
提示：sin A＝c，cos A＝c，tan A＝b.
问题 2：如图，锐角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，在 α 终边上任
取一点 P(a，b)，作 PM⊥x 轴，如何用图中的数据表示 sin α，cos α，tan α？
故Error!∴－2＜a≤3.
答案：(－2,3]
4 4．角 α 的终边上有一点 P(a,4)，且 tan α＝3，则 3sin α－
2cos α 的值为________．
4
解析：∵tan α＝3，∴a＝3.
4
3
∴r＝ 32＋42＝5，sin α＝5，cos α＝5，
r＝|OP|＝ 12＋22＝ 5，
2 25
15
得 sin α＝ 5＝ 5 ，cos α＝ 5＝ 5 ，tan α＝2.
(2)当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点 Q(－1，－2)，由 r＝|OQ|＝
－12＋－22＝ 5，
－2 2 5
－1 5
得 sin α＝ 5 ＝－ 5 ，cos α＝ 5 ＝－ 5 ，tan α＝2.
∴sin 3·cos 4·tan 5>0. ∴式子符号为正．
[一点通] 对于已知角 α，判断 α 的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，
或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．
4．判断下列各式的符号：
(1)sin 105°·cos 230°；
( )2π
－ (2)cos 3·tan 3 .
2
2
(2)若 α 是第一、二象限角，则 sin α>0；
(3)三角函数线不能取负值；
－x (4)若 α 是第二象限角，且 P(x，y)是其终边上一点，则 cos α＝ x2＋y2.
其中正确的序号是________．
π
π
解析：只有(2)正确；∵sin 2 ＝1>0，但 2 不是第一、二象限角，∴(1)不正确；三角函数
5π
11π
cos ·tan
6
6
2π
sin
从而
3
>0.
∴式子符号为正．
(3)∵191°是第三象限角，
∴tan 191°>0，cos 191°<0.
2
2
∴tan 191°－cos 191°>0.
∴式子符号为正．
π
3π 3π
(4)∵ 2 <3<π，π<4< 2 ， 2 <5<2π，
∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0.