用极坐标求解一道2000年全国联赛题(数理天地2000.7)
【VIP专享】2000年全国高考理科数学试题及其解析
B．P Q R
8．以极坐标系中的点 1,1为圆心，1 为半径的圆的方程是
A． 2cos 4
C． 2cos 1
2
9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( )
A．
1
2 2
B．
1
4 4
税率
5%
10%
15%
…
C．1200~1500 元 D．1500~2800 元
C． Q P R
2
B． 2sin 4
2000 年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理工农医类)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分．第 I 卷 1 至 2 页．第 II 卷 3 至 9 页．共 150 分．考试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 新疆
C． 3 3i
C． 6
3
D． 5
D．3 3i
D． 6
()
（）
()
()
()
6．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800 元的部分
不必纳税，超过 800 元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：
全月应纳税所得额
不超过 500 元的部分
超过 500 元至 2000 元的部分
超过 2000 元至 5000 元的部分
…
某人一月份应交纳此项税款 26．78 元，则他的当月工资、薪金所得介于 ( )
A．800~900 元 B．900~1200 元
7．若 a b 1 ，P= lg a lg b ，Q= 1 lg a lg b，R= lg a b ，则
极坐标解题技巧
极坐标解题技巧极坐标是一种用极角和极径来表示平面上的点的方式，常用于解决与圆形和极坐标相关的问题。
对于一些特定的问题，使用极坐标可以更加简洁明了地进行计算和推导。
下面，我们将介绍一些常见的极坐标解题技巧。
1. 极坐标的转换首先，我们需要了解如何将直角坐标系中的点坐标转换为极坐标。
对于一个平面上的点P(x, y)，它到原点的距离r可以通过勾股定理计算：r = √(x² + y²)。
而点P与原点的连线与x轴正向的夹角θ可以通过反正切函数计算：θ = arctan(y / x)。
这样，我们就得到了点P的极坐标表示(r, θ)。
2. 极坐标到直角坐标的转换同样地，我们也需要了解如何将极坐标(r, θ)转换为直角坐标系中的点坐标。
点P的x坐标可以通过极径与余弦函数计算：x = r * cos(θ)，而点P的y坐标可以通过极径与正弦函数计算：y = r * sin(θ)。
这样，我们就得到了点P的直角坐标表示(x, y)。
3. 图形的极坐标方程对于一些具有特定形状的图形，我们可以通过极坐标方程来描述它们。
例如，对于一个以极点为中心、极轴为边的圆形，它的极坐标方程可以表示为r = a，其中a是圆的半径。
对于一个以极轴为渐近线的双曲线，它的极坐标方程可以表示为r = a / cos(θ)，其中a为双曲线的焦距。
通过这些极坐标方程，我们可以更加方便地描述和计算这些图形。
4. 极坐标下的导数和曲率在直角坐标系中，我们可以通过对函数进行求导来求得曲线的切线斜率和曲率。
同样地，在极坐标系中，我们也可以计算函数的导数和曲率。
对于一个极坐标方程r = f(θ)，它的导数r'可以通过求f(θ)对θ的导数来得到。
而曲率k可以通过公式k = |r'(θ)| / √(r(θ)² + (r'(θ))²)来计算。
通过这些导数和曲率的计算，我们可以更加深入地研究曲线的性质。
5. 极坐标下的面积和弧长在直角坐标系中，我们可以通过计算积分来求得曲线所围成的面积和曲线的弧长。
2000年全国高中数学联赛试卷及详细解析
2000年全国高中数学联赛试题第一试（10月15日上午8:00-9:40）一、 选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1． 设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x=x 10},则B A 是 （ ）(A) {2} (B) {-1} (C) {x |x ≤2} (D) ∅2． 设sin α＞0,cos α＜0,且sin3α＞cos 3α,则3α的取值范围是 （ ） (A) (2k π+6π,2k π+3π), k ∈Z (B) (32πk +6π,32πk +3π),k ∈Z(C)(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z (D)(2k π+4π,2k π+3π) (2k π+65π,2k π+π),k ∈Z3． 已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 （ ）(A)33 (B) 233 (C) 33 (D) 63 4． 给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c =0 （ ）(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根5． 平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是 (A)17034 (B) 8534 (C) 201 (D) 301（ ） 6． 设5sin5cosππωi +=，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是 （ ）(A) x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B) x 4-x 3+x 2-x +1=0(C) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D) x 4+x 3+x 2-x -1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
(详细解析)2000年高考数学试题(全国旧课程)理科
2000年普通高等学校招生全国统一考试数学〔理工农医类〕本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷〔选择题共60分〕一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1．设集合A 和B 都是自然数集合N ,映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2nn +,则在映射f 下,象20的原象是 A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案]C[解析]220nn +=,解得4n =．2．在复平面内,把复数3-对应的向量按顺时针方向旋转3π,所得向量对应的复数是A ．．-C 3i D ．3+ [答案]B[解析]所求复数为1(3)[cos()sin()](3)()332i ππ-+-==-．3,这个长方体对角线的长是A ．．．6D ．6 [答案]D[解析]设长、宽和高分别为,,a b c ,则ab bc ac ===,∴abc =∴1,a b c ===∴对角线长l ==．4．已知βαsin sin >,那么下列命题成立的是 A ．若,αβ是第一象限角,则βαcos cos > B ．若,αβ是第二象限角,则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角,则βαcos cos >D ．若,αβ是第四象限角,则tan tan αβ> [答案]D[解析]用特殊值法：取60,30αβ=︒=︒,A 不正确；取120,150αβ=︒=︒,B 不正确； 取210,240αβ=︒=︒,C 不正确；D 正确． 5．函数cos y x x =-的部分图像是 [答案]D[解析]函数cos y x x =-是奇函数,A 、C 错误；且当(0,)2x π∈时,0y <．6．《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税,超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算： 某人一月份应交纳此项税款26.78元,则他的当月工资、薪金所得介于 A ．800~900元B ．900~1200元C ．1200~1500元D ．1500~2800元[答案]C[解析]当月工资为1300元时,所得税为25元；1500元时,所得税为252045+=元,所以选C ．7．若1a b >>,()1lg lg ,lg 22a b P Q a b R +⎛⎫==+= ⎪⎝⎭,则 A ．R P Q <<B ．P Q R <<C ．Q P R <<D ．P R Q << [答案]B[解析]方法一：()11lg lg 22a b +>=lg 2a b +⎛⎫>= ⎪⎝⎭()1lg lg 2a b +,所以B 正确． 方法二：特殊值法：取100,10a b ==,即可得答案． 8．以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是 A ．2cos 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．2sin 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()2cos 1ρθ=-D ．()2sin 1ρθ=- [答案]C[解析]设圆上任意一点(,)M ρθ,直径为2,则2cos(1)θρ-=,即()2cos 1ρθ=-． 9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是A ．122ππ+B ．144ππ+C ．12ππ+D ．142ππ+ [答案]A[解析]设圆柱的半径为r ,则高2h r π=,2222(2)12(2)2S r r S r πππππ++==全侧． 10．过原点的直线与圆22430x y x +++=相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是A ．3y x =B ．3y x =-C ．x y 33=D ．x y 33-= [答案]C[解析]圆的标准方程为22(2)1x y ++=,设直线的方程为0kx y -=,由题设条件可得2211k k -=+,解得33k =±,由于切点在第三象限,所以33k =,所求切线x y 33=． 11．过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点,若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ,则qp 11+等于 A ．2a B ．12a C ．4a D ．4a[答案]C[解析]特殊值法．作PQ y ⊥轴,即将14y a =代入抛物线方程得12x a=±, ∴114a p q+=． [编者注]此题用一般方法比较复杂,并要注意原方程不是标准方程．12．如图,OA 是圆锥底面中心A 到母线的垂线,OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分,则母线与轴的夹角为 A ．31arccos2B ．1arccos 2C ．1arccos2D ．41arccos 2[答案]D[解析]设圆锥的底面半径为r ,高为h ,上半部分由共底的两个圆锥构成,过A 向轴作垂线AC ,垂足为C ,2cos ,cos cos OA r CA OA r θθθ===,∴2211(cos )3V r h πθ=,原圆锥的体积为2241122cos 33V r h V r h ππθ===,解得cos θ=,∴θ= 第II 卷〔非选择题共90分〕二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分．把答案填在题中横线．13．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有 种〔用数字作答〕． [答案]252[解析]不同的出场安排共有3237252A A =．14．椭圆22194x y +=的焦点为12,F F ,点P 为其上的动点,当12F PF ∠为钝角时,点P 横坐标的取值范围是． [答案]([解析]方法一：〔向量法〕设(,)P x y ,由题设120PF PF ⋅<,即(,)(,)0x c y x c y +⋅-<,2220x c y -+<,又由22194x y +=得22449x y =-,代入2220x c y -+<并化简得225419x c <-=,解得x <<．方法二：〔圆锥曲线性质〕设(,)P x y ,∵3,2a b ==,∴c =又133PF x =+,23PF x =,当12F PF ∠为钝角时,2221212PF PF F F +<,解得x <<． 15．设{}n a 是首项为1的正项数列,且2211(1)0(1,2,3,...)n n n n n a na a a n +++-+==,则它的通项公式是n a =． [答案]n1[解析]条件化为11()[(1)]0n n n n a a n a na ++++-=,∵0n a >∴1(1)0n n n a na ++-=,即11n n a n a n +=+,累成得1n a n=． 16．如图,,E F 分别为正方体的面11ADD A 、面11BCC B 的中心,则四边形1BFD E 在该正 方体的面上的射影可能是．〔要求：把可能的图的序号都． 填上〕[答案]②③[解析]投到前后和上下两个面上的射影是图形②；投到左右两个面上的射影是图形③．三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．〔本小题满分12分〕已知函数213cos sin cos 1,22y x x x x =++∈R ． 〔I 〕当函数y 取得最大值时,求自变量x 的集合；〔II 〕该函数的图像可由sin ()y x x =∈R 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ [解]本小题主要考查三角函数的图像和性质,考查利用三角公式进行恒等变形的技能以与运算能力．满分12分． 〔Ⅰ〕2213113cos sin cos 1(2cos 1)(2sin cos )122444y x x x x x x =++=-+++ 15sin(2)264x π=++．——6分 y 取得最大值必须且只需22,62x k k Z πππ+=+∈,即,6x k k Z ππ=+∈．所以当函数y 取得最大值时,自变量x 的集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭|——8分 〔Ⅱ〕将函数sin y x =依次进行如下变换：〔i 〕把函数sin y x =的图像向左平移6π,得到函数sin()6y x π=+的图像；〔ii 〕把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍〔纵坐标不变〕,得到函数sin(2)6y x π=+的图像；〔iii 〕把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍〔横纵坐标不变〕,得到函数1sin(2)26y x π=+的图像；〔iv 〕把得到的图像向上平移45个单位长度,得到函数15sin(2)264x π=++的图像；综上得到函数213cos sin cos 122y x x x =++的图像．——12分 18．〔本小题满分12分〕如图,已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形,且1C CB ∠=160C CD BCD ∠=∠=︒．〔I 〕证明：1C C BD ⊥； 〔II 〕假定132,2CD CC ==,记面1C BD 为α,面CBD 为β,求二面角BD αβ--的平面角的余弦值；〔Ⅲ〕当1CDCC 的值为多少时,能使1A C ⊥平面1C BD ？请给出证明． [解]本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系,逻辑推理能力,满分12分． 〔Ⅰ〕证明：连结11,A C AC ,AC 和BD 交于O ,连结1C O ．∵四边形ABCD 是菱形,∴,AC BD BD CD ⊥=． 又∵1111,BCC DCC C C C C ∠=∠=, ∴11C BC C DC ∆≅∆,∴11C B C D =, ∵DO OB =,∴1C O BD ⊥,——2分 但1,AC BD ACC O O ⊥=,∴BD ⊥平面1AC ,又1CC ⊂平面1AC ,∴1CC BD ⊥．——4分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知1,AC BD C O BD ⊥⊥,∴1C OC ∠是二面角BD αβ--的平面角． 在1C BC ∆中,1132,,602BC C C BCC ==∠=︒,∴222133132()22cos60224C B =+-⨯⨯⨯︒=．——6分 ∵30OCB ∠=︒,∴112OB BC ==． ∴22211139144C O C B OB =-=-=,∴132C O =,即11C O C C =．作1O H OC ⊥,垂足为H ．∴点H 是OC 的中点,且2OH =,所以11cos 3OH C OC C O ∠==．——8分 〔Ⅲ〕当11CDCC =时,能使1A C ⊥平面1C BD 证明一：∵11CDCC =,∴1BC CD C C ==, 又11BCD C CB C CD ∠=∠=∠,由此可推得11BD C B C D ==．∴三棱锥1C C BD -是正三棱锥． ——10分 设1A C 与1C O 相交于G ．∵11//A C AC ,且11:2:1AC OC =,∴1:2:1C G GO =． 又1C O 是正三角形1C BD 的BD 边上的高和中线, ∴点G 是正三角形1C BD 的中心,∴CG ⊥平面1C BD ． 即1A C ⊥平面1C BD ．——12分 证明二：由〔Ⅰ〕知,BD ⊥平面1AC ,∵1AC ⊂平面1AC ,∴1BD A C ⊥．——10分 当11CDCC =时,平行六面体的六个面是全等的菱形, 同1BD A C ⊥的证法可得11BC A C ⊥, 又1BDBC B =,∴1A C ⊥平面1C BD ．——12分19．〔本小题满分12分〕设函数()f x ax =,其中0>a ．〔I 〕解不等式()1f x ≤；〔II 〕求a 的取值范围,使函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调函数．[解]本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识,分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．〔Ⅰ〕不等式()1f x ≤1ax ≤+,由此得11ax ≤+,即0ax ≥,其中常数0>a ．所以,原不等式等价于⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+-≥.02)1(,02a x a x ——3分所以,当01a <<时,所给不等式的解集为2201a x x a ⎧⎫≤≤⎨⎬-⎩⎭|； 当1a ≥时,所给不等式的解集为{}0x x ≥|．——6分〔Ⅱ〕在区间),0[+∞上任取12,x x ,使得12x x <．12()x x a =-． ——8分〔ⅰ〕当1a ≥时,1<,0a -<,又12x x <,∴12()()0f x f x ->,即12()()f x f x >．所以,当1a ≥时,函数()f x 在区间),0[+∞上是单调递减函数．——10分 〔ii 〕当01a <<时,在区间),0[+∞上存在两点12220,1ax x a ==-,满足1()1f x =,2()1f x =,即12()()f x f x =,所以函数()f x 在区间),0[+∞上不是单调函数．综上,当且仅当1a ≥时,函数()f x 在区间),0[+∞上是单调函数． ——12分 20．〔本小题满分12分〕〔I 〕已知数列{}n c ,其中23n nn c =+,且数列{}1n n c pc +-为等比数列,求常数p ；〔II 〕设{}{},n n a b 是公比不相等的两个等比数列,n n n c a b =+,证明数列{}n c 不是等比数列．[解]本小题主要考查等比数列的概念和基本性质,推理和运算能力,满分12分．〔Ⅰ〕因为{}1n n c pc +-是等比数列,故有21211()()()n n n n n n c pc c pc c pc +++--=--,将23n nn c =+代入上式,得221111[23(23)][(23(23)]n n n n n n n n p p ++++--=+-++-+, ——3分即21111[(2)2(3)3][(2)2(3)3][(2)2(3)3]nn n n n n p p p p p p ++---+-=-+-⋅-+-,整理得1(2)(3)2306n n p p --⋅⋅=, 解得2p =或3p =． ——6分 〔Ⅱ〕设{}{},n n a b 的公比分别为,,p q p q ≠,n n n c a b =+．为证{}n c 不是等比数列,只需证2213c c c ≠⋅．事实上,2222222111111()2c a p b q a p b q a b pq =+=++,222222221311111111()()()c c a b a p b q a p b q a b p q ⋅=++=+++．由于22,2p q p q pq ≠+>,又11,a b 不为零,因此2213c c c ≠⋅,故{}n c 不是等比数列． ——12分21．〔本小题满分12分〕某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．〔Ⅰ〕写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式()P f t =；写出图二表示的种植 成本与时间的函数关系式()Q g t =；〔Ⅱ〕认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿收益最大？ 〔注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg,时间单位：天〕[解]本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题,考查运用所学知识解决实际问题的能力,满分12分．〔Ⅰ〕由图一可得市场售价与时间的函数关系为3000200,()2300,200300;t t f t t t -≤≤⎧=⎨-<≤⎩，——2分 由图二可得种植成本与时间的函数关系为21()(150)100,0300200g t t t =-+≤≤． ——4分 〔Ⅱ〕设t 时刻的纯收益为()h t ,则由题意得()()()h t f t g t =-即2211175020020022()17102520030020022t t t h t t t t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩，， ——6分当0200t ≤≤时,配方整理得21()(50)100200h t t =--+, 所以,当50t =时,()h t 取得区间[0,200]上的最大值100； 当200300t <≤时,配方整理得21()(350)100200h t t =--+ 所以,当300t =时,()h t 取得区间[200,300]上的最大值87.5． ——10分 综上,由10087.5>可知,()h t 在区间[0,300]上可以取得最大值100,此时50t =,即从二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大． ——12分 22．〔本小题满分14分〕如图,已知梯形ABCD 中2AB CD =,点E 分有向线段AC 所成的比为λ,双曲线过,,C D E 三点,且以,A B 为焦点．当2334λ≤≤时,求双曲线离心率e 的取值范围．[解]本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力,满分14分．如图,以AB 的垂直平分线为y 轴,直线AB 为x 轴,建立直角坐标系xOy ,则CD y ⊥轴．因为双曲线经过点,C D ,且以,A B 为焦点,由双曲线的对称性知,C D 关于y 轴对11 / 11 称．——2分依题意,记00(,0),(,),(,)2c A c C h E x y -,其中12c AB =为双曲线的半焦距,h 是梯形的高．由定比分点坐标公式得 00(2)2,12(1)1c c c h x y λλλλλλ-+-===+++． 设双曲线的方程为12222=-b y a x ,则离心率ac e =． 由点,C E 在双曲线上,将点,C E 的坐标和ac e =代入双曲线方程得 14222=-b h e ,① 1112422222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b h e λλλλ．② ——7分 由①式得14222-=e bh ,③ 将③式代入②式,整理得()λλ214442+=-e , 故2312+-=e λ． ——10分 由题设4332≤≤λ得,43231322≤+-≤e ． 解得107≤≤e ．所以双曲线的离心率的取值范围为[7,10]． ——14分。
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(3) 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 ， 3 ， 6 ，这个长方体对角线
(A) 2 3
(B) 3 2
(4) 已知 sin sin ，那么下列命题成立的是
(A) 若 、 是第一象限角，则 cos cos
(B) 若 、 是第二象限角，则 tg tg
(C) 若 、 是第三象限角，则 cos cos
(C) Q P R
(B) 2sin 4
(D) 2sin 1
(C)
(C) y
1 2
3
3 x
2
税率
5%
10%
15%
…
(D) P R Q ()
(D)
1 4 2
(D) y
3
()
()
()
()
3 x
(11) 过抛物线 y ax2 a 0的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF
王新敞 奎屯
(1) 设集合 A 和 B 都是自然数集合 N，映射 f : A B 把集合 A 中的元素 n 映射到集合
B 中的元素 2n n ，则在映射 f 下，象 20 的原象是
数是
的长是
(A) 2
(2)
在复平面内，把复数 3
(A) 2 3
(B) 3
(B) 2 3i
(C) 4
3i 对应的向量按顺时针方向旋转 ，所得向量对应的复
2000 年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理工农医类)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分．第 I 卷 1 至 2 页．第 II 卷 3 至 9 页．共 150 分．考试时间 120 分钟．
2000年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
5 1 a ， ∴ 2
AF
5 1 a ． 2
BF a ， 由
AB AO BO
2 2
2
2
2
5 3 2 2 2 2 a ．故有 AF AB BF |AF|2=|AB|2+|BF|2．即 ABF 90 0 . 2
2
本题也可以由 b a c
5 1 2 a ac ，解得． 2
2000 年全国高中数学联合竞赛试题 第 4 页 共 7 页
1 2
2
13 2b ． 最 小 值 为 2
a 0 矛盾．故舍．
⑶ 0 a b ．此时，最大值为 f ( a ) 2b ，最小值为 f (b) 2a ．
1 2 13 b 2 2 a ∴ 2 ．两式相减得 a b 4 ．解得 a 1, b 3 ． 1 13 a 2 2b 2 2
3 1 1 1 2 2 2
Sn 的最大值． (n 32) S n 1 n(n 1) n(n 1) ，得 f ( n) 2 (n 32)(n 1)(n 2) 1 1 =． 64 50 n 34 n
★解析：由题意得 S n
(当 n 8 时 f ( n) 取得最大值)． 2000*14、 （本题满分 20 分） 若函数 f ( x ) 求 a, b ． ★解析：⑴
∴ 符合条件的 a, b 有 1,3 或 17 ,
13 ． 4
x2 y2 2000*15、 （本题满分 20 分）已知 C 0 : x y 1 和 C1 : 2 2 1 ( a b 0 )．试问：当且仅当 a b
2 2
a, b 满足什么条件时，对 C1 上任意一点 P ，均存在以 P 为顶点，与 C 0 外切，与 C1 内接的平行四边
2000年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案
42
故选 (B ). 填空题 (本题满分 54 分, 每小题 9 分) 7 . a rcsin ( sin 2000° ) = . 解 2000 ° = 180 ° × 11 + 20 ° = 11Π+
sin (11 Π+
中学数学 2000 年第 12 期
AO1 = 1 2 6 a = a. 3 3 2 2 2 2 由 OB = O 1O + O 1B = (O 1A - O B ) + O 1B a 2 - O 1B 2 = a2 2 2 a 3 2 3 3 2 6 6 a � OB + a = 1 2 a = 0, 3 6 4 a.
a3 an 1 1 1 1 1 ) = lim 18 (1 + + …+ n→∞ 2 2 3 n- 1 n 1 = lim 18 (1 ) = 18. n→∞ n 9 . 等比数列 a + lo g2 3, a + log 4 3, a + log8 3 的 公比是 . 解 设公比为 q , 由已知条件可知 a + log 4 3 a + log8 3 q = a + log 3 = a + log 3 , 2 4
(B )
3
形得直线A B 的斜率 k = 点, 故方程为 y =
x2 3 3 x +
3 3
, 又直线过A (3 3
1, 0)
. 代入 双曲线方程 3 ). 同理可得,
+ isin , 则 以 Ξ, Ξ3 , Ξ7 , Ξ9 5 5 为根的 方程是 ( ). (A ) x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0 (B ) x 4 - x 3 + x 2 - x + 1 = 0 (C ) x 4 - x 3 - x 2 + x + 1 = 0 (D) x 4 + x 3 + x 2 - x - 1 = 0 2Π 2Π 解 由 Ξ= cos + isin 知, Ξ, Ξ2 , Ξ3 , …, Ξ10 10 10 (= 1 ) 是 1 的 10 个 10 次方根 . (x - Ξ) (x - Ξ2 ) (x - Ξ3 ) … (x - Ξ10 ) = x 10 - 1. ① 又 Ξ2 , Ξ4 , Ξ6 , Ξ8 , Ξ10 是 1 的 5 个 5 次方根, 故 (x - Ξ2 ) (x - Ξ4 ) (x - Ξ6 ) (x - Ξ8 ) (x - Ξ10 ) = x5 - 1 . ② 6 .
2000年全国高中数学联赛试题
第一试（10月15日上午8:00-9:40）一、 选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x=x 10},则B A 是 【答】（ ）(A) {2} (B) {-1} (C) {x |x ≤2} (D) ∅ 2．设sin α＞0,cos α＜0,且sin 3α＞cos3α,则3α的取值范围是 【答】（ ）(A) (2k π+6π,2k π+3π), k ∈Z (B) (32πk +6π,32πk +3π),k ∈Z(C)(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z (D)(2k π+4π,2k π+3π) (2k π+65π,2k π+π),k ∈Z3．已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 【答】（ ） (A)33 (B) 233 (C) 33 (D) 63 4．给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c =0 【答】（ ） (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是 (A)17034 (B) 8534 (C) 201 (D) 301【答】（ ） 6．设5sin5cosππωi +=，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是 【答】（ ）(A) x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B) x 4-x 3+x 2-x +1=0 (C) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D) x 4+x 3+x 2-x -1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
2000年高考.全国卷.理科数学试题及答案
2000 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
第I 卷 1 至2 页。
第II 卷 3 至9 页。
共150 分。
考试时间120 分钟。
第I 卷（选择题共60 分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式其中c′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线其中S′、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共12 分，每小题5 分，共60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合A 和B 都是自然数集合N，映射f：A→B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素，则在映射f 下，象20 的原象是（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5（2）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋，所得向量对应的复数是（A）（B）（C）（D）（3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（A）（B）（C）6（4）已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是（A）若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ（B）若α、β是第二象限角，则tgα>tgβ（C）若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ（D）若α、β是第四象限角，则tgα>tgβ（５）函数y＝－xcosx 的部分图象是（６）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800 元的部分不必纳税，超过800 元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分希累进计算。
全月应纳税所得额税率不超过500 元的部分5%超过500 元至2000 元的部分10%超过2000 元至5000 元的部分15%……某人一月份应交纳此项税款26.78 元，则他的当月工资、薪金所得介于（A）800～900 元（B）900～1200 元（C）1200～1500 元（D）1500～2800 元（7）若，则（A）R<P<Q （B）P<Q<R （C）Q<P<R （D）P<R<Q （8）以极坐标中的点（1，1）为圆心，1 为半径的圆的方程是（A）（B）（C）（D）（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（A）（B）（C）（D）（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（A）（B）（D）（11）过抛物线（a>0）的焦点F 作一直线交抛物线于P、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p、q，则等于（A）2a （B）（C）4a （D）（12）如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（A）（B）（C）（D）第II 卷（非选择题共90 分）注意事项：1．第II 卷共7 页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
(详细解析)2000年高考数学试题(全国旧课程)理科
2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2nn +，则在映射f 下，象20的原象是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】C【解析】220n n +=，解得4n =．2．在复平面内，把复数3-对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是A ．B ．-C 3iD ．3+ 【答案】B【解析】所求复数为1(3)[cos()sin()](3)()3322i ππ-+-=-=-．3，这个长方体对角线的长是A ．B ．C ．6D ．6 【答案】D【解析】设长、宽和高分别为,,a b c ，则ab bc ac ===，∴abc =∴1,a b c ===l ==．4．已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是 A ．若,αβ是第一象限角，则βαcos cos > B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则βαcos cos > D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ> 【答案】D【解析】用特殊值法：取60,30αβ=︒=︒，A 不正确；取120,150αβ=︒=︒，B 不正确； 取210,240αβ=︒=︒，C 不正确；D 正确．5．函数cos y x x =-的部分图像是【答案】D【解析】函数cos y x x =-是奇函数，A 、C 错误；且当(0,)2x π∈时，0y <．6．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于A ．800~900元B ．900~1200元C ．1200~1500元D ．1500~2800元 【答案】C【解析】当月工资为1300元时，所得税为25元；1500元时，所得税为252045+=元，所以选C ．7．若1a b >>，()1lg lg ,lg 22a b P Q a b R +⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，则 A ．R P Q << B ．P Q R << C ．Q P R << D ．P R Q << 【答案】B 【解析】方法一：()11lg lg 22a b +>=lg 2a b +⎛⎫>= ⎪⎝⎭()1lg lg 2a b +，所以B 正确． 方法二：特殊值法：取100,10a b ==，即可得答案．8．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是 A ．2cos 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．2sin 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()2cos 1ρθ=-D ．()2sin 1ρθ=- 【答案】C【解析】设圆上任意一点(,)M ρθ，直径为2，则2cos(1)θρ-=，即()2cos 1ρθ=-．9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 A ．122ππ+ B ．144ππ+ C ．12ππ+ D ．142ππ+ 【答案】A【解析】设圆柱的半径为r ，则高2h r π=，2222(2)12(2)2S r r S r πππππ++==全侧．10．过原点的直线与圆22430x y x +++=相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A．y = B．y = C ．x y 33= D ．x y 33-= 【答案】C【解析】圆的标准方程为22(2)1x y ++=，设直线的方程为0kx y -=，由题设条件可得1=，解得k =，由于切点在第三象限，所以k =x y 33=．11．过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ，则qp 11+等于 A ．2a B ．12a C ．4a D ．4a【答案】C【解析】特殊值法．作PQ y ⊥轴，即将14y a =代入抛物线方程得12x a=±， ∴114a p q+=． 【编者注】此题用一般方法比较复杂，并要注意原方程不是标准方程．12．如图，OA 是圆锥底面中心A 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为 A ．3arccos2B ．1arccos 2C ．arccos2 D ．4arccos 2【答案】D【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，上半部分由共底的两个圆锥构成，过A 向轴作垂线AC ，垂足为C ，2cos ,cos cos OA r CA OA r θθθ===，∴2211(cos )3V r h πθ=，原圆锥的体积为2241122cos 33V r h V r h ππθ===，解得4cos 2θ=，∴4arccos 2θ=．第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．13．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种（用数字作答）． 【答案】252【解析】不同的出场安排共有3237252A A =．14．椭圆22194x y +=的焦点为12,F F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 ． 【答案】(,)55-【解析】方法一：（向量法）设(,)P x y ，由题设120PF PF ⋅<u u u r u u u u r，即(,)(,)0x c y x c y +⋅-<，2220x c y -+<，又由22194x y +=得22449x y =-，代入2220x c y -+<并化简得225419x c <-=，解得55x -<<．方法二：（圆锥曲线性质）设(,)P x y ，∵3,2a b ==，∴5c =，又1533PF x =+， 253PF x =-，当12F PF ∠为钝角时，2221212PF PF F F +<，解得55x -<<．15．设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0(1,2,3,...)n n n n n a na a a n +++-+==，则它的通项公式是n a = ． 【答案】n1 【解析】条件化为11()[(1)]0n n n n a a n a na ++++-=，∵0n a >∴1(1)0n n n a na ++-=，即11n n a n a n +=+，累成得1n a n=．16．如图，,E F 分别为正方体的面11ADD A 、面11BCC B 的中心，则四边形1BFD E 在该正 方体的面上的射影可能是 ．（要求：把可能的图的序号都．填上）【答案】②③【解析】投到前后和上下两个面上的射影是图形②；投到左右两个面上的射影是图形③．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数213cos sin cos 1,22y x x x x =++∈R ． （I ）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（II ）该函数的图像可由sin ()y x x =∈R 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 【解】本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分． （Ⅰ）2213113cos cos 1(2cos 1)cos )122444y x x x x x x =++=-+++ 13515cos 22(cos 2sin sin 2cos )4442664x x x x ππ=++=⋅+⋅+ 15sin(2)264x π=++． ——6分 y 取得最大值必须且只需22,62x k k Z πππ+=+∈，即,6x k k Z ππ=+∈．所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭| ——8分 （Ⅱ）将函数sin y x =依次进行如下变换：（i ）把函数sin y x =的图像向左平移6π，得到函数sin()6y x π=+的图像；（ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数sin(2)6y x π=+的图像；（iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横纵坐标不变），得到函数 1sin(2)26y x π=+的图像；（iv ）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数15sin(2)264x π=++的图像；综上得到函数213cos sin cos 122y x x x =++的图像． ——12分18．（本小题满分12分）如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且1C CB ∠=160C CD BCD ∠=∠=︒．（I ）证明：1C C BD ⊥； （II ）假定132,2CD CC ==，记面1C BD 为α，面CBD 为β，求二面角BD αβ--的平面角的余弦值；（Ⅲ）当1CDCC 的值为多少时，能使1A C ⊥平面1C BD ？请给出证明． 【解】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分． （Ⅰ）证明：连结11,A C AC ，AC 和BD 交于O ，连结1C O ．∵ 四边形ABCD 是菱形，∴,AC BD BD CD ⊥=． 又∵1111,BCC DCC C C C C ∠=∠=， ∴11C BC C DC ∆≅∆，∴11C B C D =， ∵ DO OB =，∴ 1C O BD ⊥， ——2分 但1,AC BD AC C O O ⊥=I ，∴BD ⊥平面1AC ，又1CC ⊂平面1AC ，∴1CC BD ⊥． ——4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知1,AC BD C O BD ⊥⊥，∴1C OC ∠是二面角BD αβ--的平面角．在1C BC ∆中，1132,,602BC C C BCC ==∠=︒， ∴222133132()22cos60224C B =+-⨯⨯⨯︒=． ——6分∵30OCB ∠=︒，∴112OB BC ==．∴22211139144C O C B OB =-=-=，∴132C O =，即11C O C C =．作1O H OC ⊥，垂足为H ．∴ 点H 是OC的中点，且OH =所以11cos 3OH C OC C O ∠==． ——8分 （Ⅲ）当11CDCC =时，能使1A C ⊥平面1C BD 证明一：∵11CDCC =，∴1BC CD C C ==， 又11BCD C CB C CD ∠=∠=∠，由此可推得11BD C B C D ==．∴ 三棱锥1C C BD -是正三棱锥． ——10分 设1A C 与1C O 相交于G ．∵11//A C AC ，且11:2:1AC OC =，∴1:2:1C G GO =． 又1C O 是正三角形1C BD 的BD 边上的高和中线， ∴ 点G 是正三角形1C BD 的中心，∴ CG ⊥平面1C BD ．即1A C ⊥平面1C BD ． ——12分 证明二：由（Ⅰ）知，BD ⊥平面1AC ，∵1AC ⊂平面1AC ，∴1BD A C ⊥． ——10分 当11CDCC =时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同1BD A C ⊥的证法可得11BC A C ⊥，又1BD BC B =I ，∴1A C ⊥平面1C BD ． ——12分19．（本小题满分12分）设函数()f x ax =，其中0>a ．（I ）解不等式()1f x ≤；（II ）求a 的取值范围，使函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调函数．【解】本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．（Ⅰ）不等式()1f x ≤1ax ≤+，由此得11ax ≤+，即0ax ≥，其中常数0>a ．所以，原不等式等价于⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+-≥.02)1(,02a x a x ——3分所以，当01a <<时，所给不等式的解集为2201a x x a ⎧⎫≤≤⎨⎬-⎩⎭|； 当1a ≥时，所给不等式的解集为{}0x x ≥|． ——6分（Ⅱ）在区间),0[+∞上任取12,x x ，使得12x x <．22121212()()()()f x f x a x x a x x -=-=-12()x x a =--． ——8分（ⅰ）当1a ≥1<0a <，又12x x <，∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >．所以，当1a ≥时，函数()f x 在区间),0[+∞上是单调递减函数． ——10分（ii ）当01a <<时，在区间),0[+∞上存在两点12220,1ax x a ==-，满足1()1f x =，2()1f x =，即12()()f x f x =，所以函数()f x 在区间),0[+∞上不是单调函数．综上，当且仅当1a ≥时，函数()f x 在区间),0[+∞上是单调函数． ——12分20．（本小题满分12分）（I ）已知数列{}n c ，其中23n nn c =+，且数列{}1n n c pc +-为等比数列，求常数p ；（II ）设{}{},n n a b 是公比不相等的两个等比数列，n n n c a b =+，证明数列{}n c 不是等比数列．【解】本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分．（Ⅰ）因为{}1n n c pc +-是等比数列，故有21211()()()n n n n n n c pc c pc c pc +++--=--，将23n nn c =+代入上式，得112[23(23)]n n n n p +++-+221111[23(23)][(23(23)]n n n n n n n n p p ++++--=+-++-+， ——3分即21111[(2)2(3)3][(2)2(3)3][(2)2(3)3]nn n n n n p p p p p p ++---+-=-+-⋅-+-，整理得1(2)(3)2306n n p p --⋅⋅=， 解得2p =或3p =． ——6分 （Ⅱ）设{}{},n n a b 的公比分别为,,p q p q ≠，n n n c a b =+．为证{}n c 不是等比数列，只需证2213c c c ≠⋅．事实上，2222222111111()2c a p b q a p b q a b pq =+=++，222222221311111111()()()c c a b a p b q a p b q a b p q ⋅=++=+++．由于22,2p q p q pq ≠+>，又11,a b 不为零，因此2213c c c ≠⋅，故{}n c 不是等比数列． ——12分21．（本小题满分12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式()P f t =；写出图二表示的种植 成本与时间的函数关系式()Q g t =；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天）【解】本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为3000200,()2300,200300;t t f t t t -≤≤⎧=⎨-<≤⎩， ——2分 由图二可得种植成本与时间的函数关系为21()(150)100,0300200g t t t =-+≤≤． ——4分 （Ⅱ）设t 时刻的纯收益为()h t ，则由题意得()()()h t f t g t =- 即2211175020020022()17102520030020022t t t h t t t t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩，， ——6分 当0200t ≤≤时，配方整理得21()(50)100200h t t =--+，所以，当50t =时，()h t 取得区间[0,200]上的最大值100；当200300t <≤时，配方整理得21()(350)100200h t t =--+ 所以，当300t =时，()h t 取得区间[200,300]上的最大值87.5． ——10分综上，由10087.5>可知，()h t 在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时50t =，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． ——12分22．（本小题满分14分）如图，已知梯形ABCD 中2AB CD =，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过,,C D E 三点，且以,A B 为焦点．当2334λ≤≤时，求双曲线离心率e 的取值范围．【解】本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD y ⊥轴．因为双曲线经过点,C D ，且以,A B 为焦点，由双曲线的对称性知,C D 关于y 轴对称． ——2分依题意，记00(,0),(,),(,)2c A c C h E x y -，其中12c AB =为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式得 00(2)2,12(1)1c c c h x y λλλλλλ-+-===+++． 设双曲线的方程为12222=-b y a x ，则离心率ac e =． 由点,C E 在双曲线上，将点,C E 的坐标和ac e =代入双曲线方程得14222=-b h e ， ① 1112422222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b h e λλλλ． ② ——7分 由①式得14222-=e b h ， ③ 将③式代入②式，整理得()λλ214442+=-e ， 故2312+-=e λ． ——10分 由题设4332≤≤λ得，43231322≤+-≤e ． 解得107≤≤e ．所以双曲线的离心率的取值范围为．——14分。
用极坐标距离公式证几何题
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2000年高考.全国卷.理科数学试题及答案
2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
第I卷1至2页。
第II卷3至9页。
共150分。
考试时间120分钟。
第I卷（选择题共60分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高一、选择题：本大题共12分，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，则在映射f下，象20的原象是（）（A）2 （B）3（C）4（D）5（2）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是（A）（B）（C）（D）（3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（A）（B）（C）6（D）（4）已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是（A）若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ（B）若α、β是第二象限角，则tgα>tgβ（C）若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ（D）若α、β是第四象限角，则tgα>tgβ（５）函数y＝－xcosx的部分图象是（６）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分希累进计算。
全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%……某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（A）800～900元（B）900～1200元（C）1200～1500元（D）1500～2800元（7）若a>b>1，，则（A）R<P<Q（B）P<Q<R（C）Q<P<R（D）P<R<Q （8）以极坐标中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是（A）（B）（C）（D）（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（A）（B）（C）（D）（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（A）（B）（C）（D）（11）过抛物线（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ 的长分别是p、q，则等于（A）2a（B）（C）4a（D）（12）如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（A）（B）（C）（D）第II卷（非选择题共90分）注意事项：1．第II卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2000年全国高中数学联赛试题及答案
2000年全国高中数学联赛试题第一试（10月15日上午8:00-9:40）一、 选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x=x 10},则B A 是 【答】（ ）(A) {2} (B) {-1} (C) {x |x ≤2} (D) ∅ 2．设sin α＞0,cos α＜0,且sin3α＞cos 3α,则3α的取值范围是 【答】（ ） (A) (2k π+6π,2k π+3π), k ∈Z (B) (32πk +6π,32πk +3π),k ∈Z(C)(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z (D)(2k π+4π,2k π+3π) (2k π+65π,2k π+π),k ∈Z3．已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 【答】（ ）(A)33 (B) 233 (C) 33 (D) 63 4．给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c =0 【答】（ ）(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是 (A)17034 (B) 8534 (C) 201 (D) 301【答】（ ） 6．设5sin5cosππωi +=，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是 【答】（ ）(A) x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B) x 4-x 3+x 2-x +1=0 (C) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D) x 4+x 3+x 2-x -1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
2000年全国高中数学联赛试题及详细解析
2000年全国高中数学联赛试题及详细解析一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x=x 10},则B A 是 （ ）(A) {2} (B) {-1} (C) {x |x ≤2} (D) ∅2．给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c =0 （ ） (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 3．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是 (A)17034 (B) 8534 (C) 201 (D) 301（ ） 4．设5sin5cosππωi +=，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是 （ ）(A) x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B) x 4-x 3+x 2-x +1=0(C) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D) x 4+x 3+x 2-x -1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
5．arcsin(sin2000︒)=__________. 6．设a n 是(3-n x )的展开式中x 项的系数(n =2,3,4,…)，则nn n a a a 333(lim 3322+++∞→ )=________. 7．等比数列a +log 23,a +log 43,a +log 83的公比是____________.8． 在椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B .若该椭圆的离心率是215-，则∠ABF=_________.【加试】（10月15日上午10∶00-12∶00）一．（本题满分50分）如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE =∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等．二．（本题满分50分） 设数列{a n }和{b n }满足，且,2,1,0 47836711=⎩⎨⎧-+=-+=++n b a b b a a n n n n n n证明a n （n=0，1，2，…）是完全平方数．A B C DE F M N三．（本题满分50分）有n 个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n －2个人之间通电话的次数相等，都是3 k次，其中k 是自然数，求n 的所有可能值．2000年全国高中数学联合竞赛试题答案1.【答案】D【解析】由22≤-x 得x=2，故A={2}；由x x 101022=-得022=--x x ，故B={-1，2}.所以B A =φ.3．【答案】C【解析】如图所示，设BD=t ，则OD=3t-1，从而B （3t-1，t ）满足方程122=-y x ，可以得到t=3,所以等边三角形，ΔABC 的面积是33. 4．【答案】 A【解析】由题意知pq=a2，2b=p+c,2c=q+b⇒32qp b +=，32q p c +=⇒bc=32q p +32q p +≥3232pq q p ⋅=pq=a 2 .因为p ≠q ，故bc> a 2，方程的判别式Δ= 4a 2-4bc<0，因此，方程无实数根.5．【答案】B【解析】设整点坐标(m,n)，则它到直线25x-15y+12=0的距离为22)15(25121525-++-=n m d 34512)35(5+-=n m由于m,n ∈Z ，故5(5m-3n)是5的倍数，只有当m=n=-1，时5(5m-3n)=-10 与12的和的绝对值最小，其值为2，从而所求的最小值为8534.二、填空题（满分54分，每小题9分） 7．【答案】-20°【解析】sin2000°=sin(5×360°+200°)=sin200°=-sin20°故a rcsin(sin2000°)= a rcsin(-sin20°)= -a rcsin(sin20°)= -20° 8．【答案】18 【解析】由二项式定理知，223-⋅=n nn C a ，因此⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⋅=n n n n a n n 11118)1(2332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n nn aa a 3333322lim=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n 1118lim =18.11．【答案】3242a12．【答案】28【解析】abcd 中恰有2个不中数字时，能组成C 24= 6个不中数字abcd 中恰有3个不中数字时，能组成C 1312C 12C +12C 12C =12+4=16个不中数字abcd 中恰有4个不中数字时，能组成P 33=6个不中数字所以，符合要求的数字共有6+16+6=28个14．【答案】所求区间为[1,3]或[-2-17413]. 【解析】 化三种情况讨论区间[a,b].(1) 若0≤a<b, 则f (x)在[ a, b ] 上单调递减，故f(a) =2b, f(b)=2a 于是有⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=21321221321222b a a b ，解之得[ a, b ] = [ 1, 3 ], (2)若a <0 <b, f (x)在[ a, b ] 上单调递增，在[0,b] 上单调递减，,因此f (x)在x=0处取最大值2b 在x=a 或x=b 处取最小值2a.故2b=213,b=413.由于a<0, 又f(b)=-21(413)2 + 213=03239> 故 f(x)在x=a 处取最小值2a,即 2a=221a +213,解得a=-2-17;于是得 [a,b]=[-2-17,413].(2) 当a<b ≤0时，f(x)在[a,b] 上单调递增，故f(a)=2a, f(b)=2b,即2a=-221a +213,2b=-221a +213.由于方程21x 2+2x-213=0的两根异号，故满足a b 0的区间不存在.综上所述，所求区间为[1,3]或[-2-17413].15．【答案】所求条件为21a +21b=1.又在Rt △POQ 中，设点O 到PQ 的距离为h ，则h 1=21OP +21OQ=1,故得h=1 同理，点O 到QR ，RS ，SP 的距离也为1，故菱形PQRS 与C 0外切.充分性得证. [注]对于给出2222b a b a =+ ，22ba ab +=1等条件者，应同样给分.2000年全国高中数学联合竞赛试卷答案加试二．【解析】[证法一]：由假设得a 1=4, b 1=4且当n ≥1时（2a n+1-1）+13+n b =(14a n +12b n -7)+3(8a n +7b n -4) =[(2a n -1)+n b 3](7+43)依次类推可得（2a n -1）+n b 3= (7+1)34-n (2a 1 -1+13b )=(7+4n )3 同理（2a n -1+ ）-n b 3=(7+4n )3从而 a n =41(7+4n )3+41(7+4n )3+21 .由于 7±43=（2±2)3 ，所以 a n =[21(2+n )3+21(2-3)2]n由二项式展开得 c n =21(2+n )3+21(2-3)n =∑≤≤nk kn C 202 k 3 k n 22- , 显然C n 为整数，于是a n 为完全平方数.[证法二]：由已知得a n+1=7a n +6b n -3=7a n +6(8a n-1+7b n-1-4)-3=7a n +48a n-1+42b n-1-27 , 由 a n =7a n-1+6b n-1-3 ,得 42b n-1=7a n -49a n-1+21 ,从而 a n+1=7a n +48a n-1+7a n -49a n-1+21-27=14a n -a n-1-6 . 也就是 a n+1=14a n -a n-1-6 .设(a n+1-ka n +t)=p(a n -ka n-1+t) ……①②③④则有⎪⎩⎪⎨⎧=-==+6)1(114p t pk k p解得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+=+=323323473234722t p k 或()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=-=-=323323473234722t p k三．【解析】显然n ≥5. 记n 个人为A 1，A 2， A N ，设A 1通话的次数为m 1, A i 与 A j 之间通话的数为y ij , l ≤n j i ≤, .则m i +m j – y i . j =∑=ns s m 121-k 3= c . （*）其中c 是常数 ，l ≤n j i ≤, .根据（*）知，=-j i m m )()(s j s i m m m m +-+=s j s i y y ..-≤1 , l ≤n j i ≤, .⇒1≤-j i m m , l ≤n j i ≤,设 m i =max{m s ,1.n s ≤≤} ,m j = min{m s,1≤s ≤n.} , 则 m i +m j ≤1.若 m i +m j =1 ,则对于任意 s ,,j i ≠ 1≤s ≤n ,都有(m i +m s -y I ,s )- (m j +m s -y I ,s )=1-(y I ,s – y j ,s )=0 , 即 y I ,s – y j ,s = 1 故 y I ,s =1 , y j ,s = 0 . s ,,j i ≠ 1≤s ≤n ,因此 m i ≥ n -2 , m j ≥1 . 于是 ，m i +m j ≥n -3≥2 . 出现矛盾 ，故 m i +m j =0 ，即 m s (1≤s ≤n)恒为常数 。
2000年全国初中数学竞赛试题及答案.doc
2000年全国初中数学竞赛试题解答一、选择题（只有一个结论正确）1、设的平均数为M，的平均数为N，N，的平均数为P，若，则M与P的大小关系是（）。
（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。
答：（B）。
∵M＝，N＝，P＝，M－P＝，∵，∴＞，即M－P＞0，即M＞P。
2、某人骑车沿直线旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又原路返回千米（），再前进千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（）。
答：（C）。
因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）。
（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。
答：（A）。
由题意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。
4、一个一次函数图象与直线平行，与轴、轴的交点分别为A、B，并且过点（－1，－25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（）。
（A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。
答：（B）。
在直线AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是＝－1＋4N，＝－25＋5N，（N是整数）．在线段AB上这样的点应满足－1＋4N＞0，且－25＋5N≤0，∴≤N≤5，即N＝1，2，3，4，5。
5、设分别是△ABC的三边的长，且，则它的内角∠A、∠B 的关系是（）。
（A）∠B＞2∠A；（B）∠B＝2∠A；（C）∠B＜2∠A；（D）不确定。
答：（B）。
由得，延长CB至D，使BD＝AB，于是CD＝，在△ABC与△DAC中，∠C为公共角，且BC:AC＝AC:DC，∴△ABC∽△DAC，∠BAC＝∠D，∵∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝∠D＋∠BAD＝2∠D＝2∠BAC。
6、已知△ABC的三边长分别为，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为，面积为S1，且，则S与S1的大小关系一定是（）。
用坐标法巧解物理竞赛题
用坐标法巧解物理竞赛题在近年的全国物理奥赛中，经常考查一些与摩擦角相关的问题。
由于摩擦力的特殊性，使得对这一类竞赛题的分析和解答过程变得非常的复杂，例如第二十届全国复赛试题中（例一题），在其标准解答中，不仅利用了物体不发生滑动的条件，共点力的平衡条件，而且还利用了非共点力的平衡条件，共建立了十五个方程，二十三个等式。
为了使解决此类摩擦角问题的方法更加简单和程序化，作者根据摩擦角与全反力所在直线的斜率存在着特殊的关系，向大家介绍一种新的解法—— “坐标法”，例一、（第二十届全国复赛试题）有一半径为R 的圆柱体A ，静止在水平地面上，并与竖直墙面接触。
现另一质量与A 相同，半径为r 的较细圆柱体B ，用手扶着圆柱体A ，将B 放在A 的上面，并使之与墙面相接触，如图示，然后放手。
已知圆柱体A 与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱体之间的静摩擦系数为0.30。
若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱体B 与墙面间的静摩擦系数和圆柱体B 的半径r 的值各应满足什么条件？解：设A 、B 与墙面间的静摩擦系数分别为1μ和3μ，接触点分别为C 、D ；A 、B 之间的静摩擦系数为2μ，接触点为E 。
对圆柱体A ，由于重力G A 与地面对圆柱体A 的全反力F 1相交于C ，根据三力会交原理，所以B 对A 的全反力F 2必过C 点，根据牛顿第三定律，A 对B 的全反力F '2一定过圆柱体B 的顶点H 。
如图甲所示：（1）、以圆柱体B 为研究对象，由于重力G B 与F '2相交于圆柱体B 的顶点H ，所以墙面对B 的全反力F 3一定过H 点。
如图乙所示：由图乙可知，全反角3Φ=45O又 tan 3Φ≤3μ∴ 3μ1≥（2）、如图乙所示，以O 2为坐标原点，建立直角坐标系，则各点坐标为：H 、（0，r ）; C 、｛－(R －r)，－22)()(r R r R --+－R ｝ 直线CH 的斜率为：K CH =rR rR r R r R -++--+22)()(又 tan 2Φ=CHK 1≤2μ ∴222)()(μ≤++--+-rR r R r R rR解得：r ≥0.29R (1)(3)、以A 、B 两个圆柱体组成的系统为研究对象，由于墙面对B 的全反力F 3与系统的重力G AB 相交于P 点，所以地面对圆柱体A 的全反力F 1一定过P 点。
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图1
用极坐标求解一道2000年全国联赛题
江苏省前黄高级中学 徐伟（213172）
2000年全国高中数学联赛一试中有这样一题：
题目：已知0C ：12
2
=+y x 和1C ：122
22=+b
y a x )0(>>b a ，试问：当且仅
当b a ,满足什么条件时，对1C 上任意一点P 均存在以P 为顶点、与0C 外切与1C 内接的平行四边形？证明你的结论。
此题若用极坐标求解，显得简捷明了，分析及解如下：
分析：∵P 是椭圆1C 上的任意一点，为
了找到b a ,应满足的条件，我们不妨把点P 取在椭圆的顶点，如图1所示。
此时四边形
PQRS 为菱形且其为单位圆0C 的外切四边
形，∴O 到PQ 的距离为1，从而有
1|
|||||||2
2
=+⋅OQ OP OQ OP ，而此时
a OQ
b OP ==||,||
代入上式可得：11
122=+b
a 。
这一结论是我
们所要求的吗？反思上述的解题过程，我们发
现：不论P 点在什么位置，只要平行四边形
PQRS 是单位圆的外切四边形，则PQRS 一定
是菱形，此时OP ⊥OQ 且1||||||||2
2=+⋅OQ OP OQ OP ，∴我们猜想
11
12
2=+b a 就是我们所要求的条件。
解：如图2，∵平行四边形PQRS 是圆0C 的外切四边形，由圆的切线长定理
可知，P Q R S 为菱形，∴OP ⊥OQ 且O 到PQ 的距离为1，则有
1|
|||||||2
2
=+⋅OQ OP OQ OP （*）
以O 为极点，ox 为极轴建立极坐标系，则椭圆1C 的极坐标方程为：
22222sin cos 1b a θ+θ=ρ，设),(1θρP ，)2,(2θ+πρQ 则有2
22221
sin cos 1b a θ+θ=ρ…①，22222
2
cos sin 1b a θ
+θ=ρ…②，把21||,||ρ=ρ=OQ OP 代入（*）式得122
2121=ρρρρ，化简可得：
1112
2
2
1
=ρ+
ρ（**）
，把①、②代入（**）式化简可得11
12
2=+b a ，即当且仅当b a ,满足
11122=+b
a 时，对1C 上任意一点P 均存在以P 为顶点、与0C 外切与1C 内接的平行四边形。
评注：本题我们采用了特例探路和猜想论证的解题策略，解题过程体现了由
特殊到一般的数学思想方法，在解题时运用了极坐标方程，大大减少了题目的运算量。