2016-2017学年安徽合肥一中高一上学期月考一数学试卷

2016-2017学年安徽合肥一中高一上学期月考一数学试卷
考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
1．设集合{}{}{}
B b A a b a x x M B A ∈∈+====,,,5,4,3,2,1，则M 中的元素个数为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 2．下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） A ．5,3
)
5)(3(21-=+-+=
x y x x x y
B ．2)(,)(x x g x x f =
=
C ．33341)(,)(-=-=x x x F x x x f
D ．52)(,52)(21-=-=x x f x x f
3．在映射B A f →:中，{}
R y x y x B A ∈==,),(，且),(),(:y x y x y x f +-→，则与A 中的元素)2,1(-对应的B 中的元素为（ ） A ．)1,3(- B ．)3,1( C ．)3,1(-- D ．)1,3(
4．下图中函数图象所表示的解析式为（ ）
A ．)20(123≤≤-=
x x y B ．)20(123
23≤≤--=x x y C ．)20(12
3
≤≤--=x x y D ．)20(11≤≤--=x x y
5．设函数⎩⎨
⎧<+≥-=,
10)),5((,
10,3)(x x f f x x x f 则)6(f 的值为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
6．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“合一函
数”，那么函数解析式为122
-=x y ，值域为{}7,1的“合一函数”共有（ ）
A ．10个
B ．9个
C ．8个
D ．4个 7．函数x
x x f +-=
31
2)(，则)]([x f f y =的定义域是（ ） A ．{}
3,-≠∈x R x x B ．⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-≠-≠∈853,x x R x x 且
C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠
-≠∈213,x x R x x 且 D ．⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧-≠-≠∈583,x x R x x 且 8．定义两种运算：222)(,b a b a b a b a -=⊗-=
⊕，
则)
2(22)(⊗-⊕=x x
x f 是（ ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既奇又偶函数
D ．非奇非偶函数
9．定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的)](0,(,2121x x x x ≠-∞∈，有
0)()(1212<--x x x f x f ，且0)2(=f ，则不等式05)
()(2<-+x
x f x f 的解集是（ ）
A ．),2()2,(+∞--∞
B ．)2,0()0,2( -
C ．),2()0,2(+∞-
D ．)2,0()2,( --∞
10．若函数)30(42)(2
<<++=a ax ax x f ，且对实数a x x x x -=+<1,2121，则（ ） A ．)()(21x f x f < B ．)()(21x f x f =
C ．)()(21x f x f >
D ．)(1x f 与)(2x f 的大小不能确定
11．函数)(x f 对任意正整数n m ,满足条件)()()(n f m f n m f =+，且2)1(=f ，则
=+⋅⋅⋅+++)
2015()2016()5()6()3()4()1()2(f f f f f f f f （ ） A ．4032 B ．1008 C ．2016 D ．1008
2
12．在R 上定义的函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=.若)(x f 在区间]2,1[上的减函数，则)(x f （ ）
A ．在区间]1,2[--上是增函数，在区间]4,3[上是增函数
B ．在区间]1,2[--上是减函数，在区间]4,3[上是减函数
C ．在区间]1,2[--上是减函数，在区间]4,3[上是增函数
D ．在区间]1,2[--上是增函数，在区间]4,3[上是减函数
13．函数x x y 422+--=的值域是______.
14．已知函数1)(3
-+-=x bx ax x f ，若2)2(=-f ，求=)2(f ______. 15．若函数3
47
2
+++=
kx kx x y 的定义域为R ，则∈k ______. 16．已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0
,40,4)(2
2x x x x x x x f ，若)()2(2
a f a f >-，则实数a 的取值范围是______.
17．已知全集R U =，集合{}
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤-+=≥--=0145,01832x x x B x x x A .
（1）求A B C U )(；
（2）若集合{}
12+<<=a x a x C ，且B C B = ，求实数a 的取值范围.
18．在1到200这200个整数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的整数共有多少个？并说明理由.
19．合肥市“网约车”的现行计价标准是：路程在km 2以内（含km 2）按起步价8元收取，超过km 2后的路程按9.1元/km 收取，但超过km 10后的路程需加收%50的返空费（即单价为85.2%)501(9.1=+⨯元/km ）.
（1）将某乘客搭乘一次“网约车”的费用)(x f （单位：元）表示为行程600(≤<x x ，单位：km ）的分段函数；
（2）某乘客的行程为km 16，他准备先乘一辆“网约车”行驶km 8后，再换乘另一辆“网约车”完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱？请说明理由. 20．已知
13
1
≤≤a ，若函数12)(2+-=x ax x f 在区间]3,1[上的最大值为)(a M ，最小值为)(a N ，令)()()(a N a M a g -=. （1）求)(a g 的函数表达式；
（2）判断并证明函数)(a g 在区间]1,3
1
[上的单调性，并求出)(a g 的最小值. 21．对于定义在区间D 上的函数)(x f ，若存在闭区间D b a ⊆],[和常数c ，使得对任意],[1b a x ∈，都有c x f =)(1，且对任意D x ∈2，当],[2b a x ∉时，c x f >)(2恒成立，则称函数)(x f 为区间D 上的“平底型”函数.
（1）判断函数21)(1-+-=x x x f 和2)(2-+=x x x f 是否为R 上的“平底型”函数？
（2）若函数n x x mx x g +++=2)(2是区间),2[+∞-上的“平底型”函数，求m 和n 的值.
22．定义在)1,1(-的函数)(x f 满足：①对任意)1,1(,-∈y x 都有
)1()()(xy
y
x f y f x f ++=+；②当0<x 时，0)(>x f .回答下列问题：
（1）判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数)(x f 在)1,0(上的单调性，并说明理由； （3）若21)51(=
f ，试求)19
1
()111()21(f f f --的值.
参考答案
1．B 【解析】
试题分析：由题意可知，{}5,6,7,8M =，所以M 中的元素个数为4，故选B.
考点：集合的表示. 2．C 【解析】
试题分析：对于A ，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；对于B,两个函数的值域不同，不是同一函数；对于C ，两个函数的定义域、值域、对应法则完全相同，是同一函数，符合题意；对于D,两个函数的值域不同，不是同一函数；故选C. 考点：函数的三要素. 3．A 【解析】
试题分析：123,121x y x y -=--=-+=-+=,所以与A 中的元素)2,1(-对应的B 中的元素为)1,3(-，故选A. 考点：映射. 4．B 【解析】
试题分析：由图可知，当1x =时，3
2
y =，可排除A 、D ，当0x =时，0y =，排除C ，故选B.
考点：函数表示与函数的图象. 5．D 【解析】
试题分析：(6)((65))(11)1138f f f f =+==-=，故选D. 考点：1.分段函数的表示；2.求函数值. 6．B 【解析】
试题分析：由2
211x -=得，1x =±，由2
217x -=，得x =±，所以使值域为{}1,7的
函数的定义域可以为
{{{
{{{
{
1
,22
,
,,1,
2
---
，
{
-，{1,1,--，共9种可能性，故选B.
考点：1.新定义问题；2.函数的定义域与值域. 7．D 【解析】
试题分析：2(21)
1
2()1
3[()]213()33x f x x
y f f x x f x x
---+===-++
+，由3021
303x x x +≠⎧⎪
-⎨+≠⎪+⎩
得3x ≠-且8
5
x ≠-，故选C.
考点：函数的定义域. 8．A 【解析】
试题分析：2()2(2)x f x x ⊕===-⊗,由2
40x -≥得，22x -≤≤，
所以20x -≥，所以
()f x ==
，其定义域为[2,0)(0,2]-，()()f x f x -=-，是奇函数，故选A.
考点：1.新定义问题；2.函数的表示；3.函数的奇偶性.
【名师点睛】本题考查新定义下函数的表示与奇偶性问题，属中档题；对于新定义问题，要认真阅读题目，正确理解新定义的含义，根据题意将问题进行适当转化，转化为熟悉的问题求解，旨在考查学生的学习新知的能力与转化能力、运算求解能力. 9．D 【解析】
试题分析：对任意的)](0,(,2121x x x x ≠-∞∈，有
0)
()(1
212<--x x x f x f 等价于函数)(x f 在区
间(,0]-∞上为减函数，又()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，函数()f x 在区间[0,)+∞是为增函数，且(2)(2)0f f =-=，所以
2()()()
005f x f x f x x x
+-<⇔<，当0x <时，
()0()0f x f x x <⇔>，此时不等式的解集为(,2)-∞-，当0x >时，()
0()0f x f x x
<⇔<，
此时不等式的解集为(0,2),所以原不等式的解集为)2,0()2,( --∞，故选D. 考点：1.函数的单调性；2.函数的奇偶性；3.函数与不等式. 10．A 【解析】
试题分析：函数2
()24f x ax ax =++对称轴为1x =-，又03a <<，所以1102
a
--<<，即12
102
x x +-<
<，这说明1x 到对称轴的距离比2x 到对称轴的距离小，且抛物线的开口向上，所以12()()f x f x <，故选A. 考点：二次函数的性质.
11．C 【解析】
试题分析：因为函数)(x f 对任意正整数n m ,满足条件)()()(n f m f n m f =+，令1n =有，
(1)()(1)f m f m f +=，所以
(1)
(1)2()
f m f f m +==，
所以
(2)(4)(6)(2016)
100822016(1)(3)(5)(2015)
f f f f f f f f +++⋅⋅⋅+=⨯=,故选C. 考点：抽象函数的应用.
【名师点睛】本题考查抽象函数的应用，属中档题；我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数又将函数数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象集于一身，所参高考中不断出现. 12．D 【解析】
试题分析：由)(x f 在区间]2,1[上的减函数，由偶函数性质可知，函数在区间[2,1]--上是增函数，由)2()(x f x f -=知，函数和图象关于直线1x =对称，所以函数在区间[0,1]上是增函数，在区间]4,3[上是减函数，故选D.
考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数图象的对称性.
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性、函数的单调性、函数图象的对称性，属中档题；判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据()f x -与()f x 的关系作出判断. 13．[0,2] 【解析】
试题分析：函数的定义域为[0,4]，当[0,4]x ∈，2
4[0,4]x x -+∈[0,2]，
所以2[0,2]y =，所以应填[0,2]. 考点：函数的定义域. 14．0 【解析】
试题分析：3
3
(2)(2)(2)(2)2122212f f a b a b -+=---+--+⋅-+-=，所以
(2)2(2)
f f =--=. 考点：1.函数的表示；2.函数的奇偶性. 15．3
[0,)4
【解析】
试题分析：因为函数的定义域为R ，所以关于x 方程2
430kx kx ++=无解，当0k =时，方程无解，符合题意；当0k ≠时，方程2
4
30k x k x ++=无解
()
2
2
3443
16
12004k k k k k ⇔-⨯⨯=-<⇔<<，综上3
[0,]4
k ∈. 考点：1.函数的定义域；2.函数与方程.
【名师点睛】本题考查函数的定义域、函数与方程；属中档题；求函数的定义域，其实就是以函数的解析式所含运算有意义为原则（如分母上有未知数的，分母不为0，对数的真数大于0，涉及开方问题时，当开偶次方时，被开方数非负等），列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可. 16．(2,1)- 【解析】
试题分析：在直角坐标系内作出函数22
4,0
()4,0
x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩的图象（如下图所示），由图象可
知
函
数
在
R
上单调递增，所以
222(2)()22021f a f a a a a a a ->⇔->⇔+-<⇔-<<，即实数a 的取值范围是(2,1)-.
考点：1.二次函数；2.函数的单调性.
【名师点睛】本题考查二次函数、函数的单调性，属中档题；高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低，多以选择真空题形式出现，主要的命题角度有：1.二次函数图象识别问题；2.二次函数的最值问题；3.二次函数图象与其他图象公共点问题. 17．（1）{}
145x x x ≥<-或；（2） 2
5
-≥a . 【解析】
试题分析：（1）分别化简集合A 与B 得{}{}
145,36<≤-=-≤≥=x x B x x x A 或，求出集
合B 的补集，再求A B C U )(即可；（2） B C B = C B ⇔⊆，分C =∅与∅≠C 讨论求解即可.
试题解析： （1）∵{}{}
145,36<≤-=-≤≥=x x B x x x A 或， ∴{}
514)(-<≥=x x x A B C U 或 . （2）B C B = ，则B C ⊆. 当C =∅时，112≥⇒+≥a a a ；
当∅≠C 时，12525,13,
152,141,12<≤-⇒⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨⎧
-≥≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤++<a a a a a a a a ，
综上2
5
-≥a .
考点：1.不等式的解法；2.集合间的关系与集合的运算.
【名师点睛】本题考查不等式的解法、集合间的关系与集合的运算，属容易题；集合问题常见类型及解题策略：1.离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图求解；2.连续型数集的运算，常借助数轴求解；3.已知集合的运算结果求集合，借助数轴或Venn 图求解；4.根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解. 18．54个. 【解析】
试题分析：先分别找出1到200中2的倍数的个数，3的倍数的个数，5的倍数的个数，由集合个数的运算关系求之即可. 试题解析：方法一：集合A 表示1到200中是2的倍数的数组成的集合，集合B 表示1到200中是3的倍数的数组成的集合，集合C 表示1到200中是5的倍数的数组成的集合，
20)(,33)(,40)(,66)(,100)(=====C A Card B A Card C Card B Card A Card ， 6)(,13)(==C B A Card C B Card ，
)
()()()()()()(C A Card C B Card B A Card C Card B Card A Card C B A Card ---++=
146)(=+C B A Card ，所以54146200=-.
方法二：用韦恩图解也可.
考点：1.集合间的关系；2.集合的运算.
19．（1）8,(02)() 4.2 1.9,(210)2.85 5.3,(1060)x f x x x x x <≤⎧⎪
=+<≤⎨⎪-<≤⎩
；（2） 该乘客换乘比只乘一辆车更省钱.
【解析】 试题分析：（1）根据题意分别求出第个区间上费用的计算方式，写成分段函数形式即可；（2）
分别计算只乘一辆车的车费与换乘2辆车的车费，比较大小即可. 试题解析： （1）由题意得，车费)(x f 关于路程x 的函数为：
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤<-≤<+≤<=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+⨯+≤<-+≤<=)6010(,3.585.2)102(,9.12.4)20(,8)6010(),10(85.289.18)102(),2(9.18)20(,8)(x x x x x x x x x x x f
（2）只乘一辆车的车费为：3.403.51685.2)16(=-⨯=f （元）， 换乘2辆车的车费为：8.38)89.12.4(2)8(2=⨯+⨯=f （元），
∵8.383.40>，∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱.
考点：1.函数建模问题；2.分段函数的表示.
【名师点睛】本题考查函数建模问题、分段函数的表示，属中档题；分段函数是一种重要函数，是高考命题热点，由于分段函数在不同定义域上具有不同的解析式，在处理分段函数问题时应对不同区间进行分类求解，然后整合，这恰好是分类讨论的一种体现.
20．（1） ⎪⎩
⎪⎨⎧≤<+-≤≤+-=)121(169),2131(12)(a a a a a a a g ；（2）)(a g 在]21,31[上是减函数，在]1,21(上是
增函数，)(a g 有最小值2
1
.
【解析】
试题分析：（1）由题意可知抛物线对称轴为]3,1[1∈=a x ，所以a a N 11)(-=，当31
2≤≤a
时，()1M a a =-，当21
1<≤
a
时，()95M a a =-，分别计算()()()g a M a N a =-，写成分段函数即可；（2）由（1）先讨论)(a g 在]21,31[的单调性，再讨论)(a g 在]1,2
1
(上的
单调性，即可求函数()g a 的最小值.
试题解析： （1）∵
131≤≤a ，
∴)(x f 的图像为开口向上的抛物线，且对称轴为]3,1[1
∈=a
x ， ∴)(x f 有最小值a
a N 1
1)(-=.
当312≤≤a 时，]21
,31[∈a ，)(x f 有最大值1)1()(-==a f a M ；
当211<≤a 时，]1,2
1
(∈a ，)(x f 有最大值59)3()(-==a f a M ；
∴⎪⎩
⎪⎨
⎧≤<+-≤≤+-=)
121
(169),2131(12)(a a a a a a a g
（2）设213121≤<≤a a ，则)()(,0)11)(()()(212
12121a g a g a a a a a g a g >∴>--=-， ∴)(a g 在]21,31[上是减函数. 设12
121≤<<a a ，则)()(,0)19)(()()(21212121a g a g a a a a a g a g <∴<--=-， ∴)(a g 在]1,21
(上是增函数.∴当2
1=a 时，)(a g 有最小值21. 考点：1.二次函数；2.分段函数的表示；3.函数的单调性与最值.
21．（1） )(1x f 是“平底型”函数, )(2x f 不是“平底型”函数;（2） 1,1==n m .
【解析】
试题分析：（1）分区间去掉绝对值符号，分别讨论1()f x 与2()f x 的性质与“平底型”函数定义对照即可；
（2） 函数n x x mx x g +++=2)(2是区间),2[+∞-上的“平底型”函数等价于存在区间
),2[],[+∞-⊆b a 和常数c ，使得c n x x mx =+++22恒成立，即22)(2c mx n x x -=++恒成立，亦即⎪⎩
⎪⎨⎧==-=n c mc m 22,22,1，解之即可.
试题解析： （1）对于函数21)(1-+-=x x x f ，当]2,1[∈x 时，1)(1=x f .
当1<x 或2>x 时，1)2()1()(1=--->x x x f 恒成立，故)(1x f 是“平底型”函数. 对于函数2)(2-+=x x x f ，当]2,(-∞∈x 时，2)(2=x f ；
当),2(+∞∈x 时，222)(2>-=x x f ，
所以不存在闭区间],[b a ，使当],[b a x ∉时，2)(>x f 恒成立，故)(2x f 不是“平底型”函数.
（2）因为函数n x x mx x g +++=2)(2是区间),2[+∞-上的“平底型”函数，则 存在区间),2[],[+∞-⊆b a 和常数c ，使得c n x x mx =+++22
恒成立. 所以22)(2c mx n x x -=++恒成立，即⎪⎩
⎪⎨⎧==-=n c mc m 22,22,1解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==1,1,1n c m 或⎪⎩⎪⎨⎧==-=1,1,1n c m .
当⎪⎩
⎪⎨⎧=-==1,1,1n c m 时，1)(++=x x x g .当]1,2[--∈x 时，1)(-=x g ；当),1(+∞-∈x 时，112)(->+=x x g 恒成立，此时，)(x g 是区间),2[+∞-上的“平底型”函数.
当⎪⎩
⎪⎨⎧==-=1,1,1n c m 时，1)(++-=x x x g .当]1,2[--∈x 时，112)(≥--=x x g ；当),1(+∞-∈x 时，1)(=x g 恒成立，此时，)(x g 不是区间),2[+∞-上的“平底型”函数.
综上分析，1,1==n m 为所求.
考点：1.新定义问题；2.绝对值的意义.
22．（1）奇函数；（2）单调递减；（3）1.
【解析】
试题分析：（1）令0==y x 可得0)0(=f ，再令x y -=可得0)()(=-+x f x f ，即可判断函数的奇偶性； （2） 设1021<<<x x ，则121212
()()()1x x f x f x f x x --=-，由不等式性质得012121<--x x x x ，所以0)1(2
121>--x x x x f ，即可判断函数的单调性；（3）由已知可求得)135()191()111()21(f f f f =--，而1)13
5()51()51(==+f f f 即可. 试题解析： （1）令0==y x 得0)0(=f ，令x y -=则0)()(=-+x f x f ，
所以)(x f 在)1,1(-上是奇函数.
（2）设1021<<<x x ，则)1()()()()(2
1212121x x x x f x f x f x f x f --=-+=-， 而10,02121<<<-x x x x ，则
012121<--x x x x ，所以0)1(2121>--x x x x f ， 故)(x f 在)1,0(上单调递减.
（3）)135()191()111()21
(f f f f =--，1)13
5()51()51(==+f f f .
法二：（3）由于)31()5
2115121()51()21()51()21(f f f f f f =⨯--=-+=-， )41()111()31(f f f =-，)5
1()191()41(f f f =-， 12
12)51(2)191()111()21(=⨯==--f f f f . 考点：1.抽象函数的应用；2.函数的奇偶性；3.函数的表示与求值.。