2018高考江苏专版大一轮数学文复习检测：第54课 直线

第54课直线的基本量与方程

A 应知应会

1.直线x=tan的倾斜角为.

2.若经过A(4,2y+1),B(2,-3)两点的直线的倾斜角为,则实数y=.

3.经过点(-1,8)和(4,-2)的直线的两点式方程是,截距式方程是,一般式方程是.

4.若A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则实数a=.

5.求倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的,且分别满足下列条件的直线方程:

(1)经过点(,-1);

(2)在y轴上的截距是-5.

6.过点P(1,4)引一条直线,使这条直线在两个坐标轴上的截距均为正值,且它们的和最小,求这条直线的方程.

B 巩固提升

1.已知直线l的倾斜角为α,且≤α≤,则直线l的斜率k的取值范围是.

2.若k,-1,b三个数成等差数列,则直线y=kx+b必经过定点.

3.已知点A(1,3),B(-2,-1),若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交,则斜率k的取值范围是.

4.记直线x-3y-1=0的倾斜角为α,若曲线y=ln x在点(2,ln 2)处切线的倾斜角为β,则α+β=.

5.(2016·南通一中改编)已知点(x,y)在直线l上,点(4x+2y,x+3y)仍在此直线上,求直线l的方程.

6.已知直线l经过点M(2,1),且分别交x轴、y轴的正半轴于点A,B,O是坐标原点.

(1)当△ABO的面积最小时,求直线l的方程;

(2)当MA·MB取得最小值时,求直线l的方程.

第54课直线的基本量与方程

A 应知应会

1.【解析】因为直线的方程为x=tan=1,斜率不存在,所以倾斜角为.

2.-3【解析】由题意知=tan =-1,解得y=-

3.

3.=+=12x+y-6=0

4. 4【解析】k AC==1,k AB==a-3.因为A,B,C三点共线,所以a-3=1,即a=4.

5.【解答】因为直线的方程为y=-x+1,

所以k=-,倾斜角α=120°,由题知所求直线的倾斜角为30°,即斜率为.

(1)因为直线经过点(,-1),所以所求直线方程为y+1=(x-),即x-3y-6=0.

(2)因为直线在y轴上的截距为-5,所以由斜截式知所求直线方程为y=x-5,即x-3y-15=0.

6.【解答】方法一:设直线方程为y-4=k(x-1),则这条直线在x轴、y轴上的截距分别为1-,4-k.由于1->0且4-k>0,可得k<0.直线在两个坐标轴上的截距之和S=+(4-k)=5+(-k)+≥5+4=9,当且仅当-k=-,即k=-2时,S有最小值9.故所求直线方程为y-4=-2(x-1),即2x+y-6=0.

方法二:设所求直线方程为+=1(a>0,b>0).

由题意知+=1.①

令S=a+b.②

①×②得S=(a+b)=5++≥5+4=9.当且仅当=,即2a=b,即a=3,b=6时,取等号.

故所求直线方程为+=1,即2x+y-6=0.

B 巩固提升

1.∪[1,+∞)【解析】由k=tan α,根据正切函数图象可知k∈∪[1,+∞).

2.(1,-2)【解析】因为k,-1,b成等差数列,所以k+b=-2,即b=-2-k,所以直线方程可化为y=kx-k-2,即y+2=k(x-1),故直线必过定点(1,-2).

3.【解析】由题意知直线l恒过定点P(2,1),如图所示.若l与线段AB相交,则k PA≤k≤k PB.因为k PA=-2,k PB=,所以-2≤k≤.

(第3题)

4.【解析】直线x-3y-1=0的斜率k'=tan α=,曲线y=ln x在点(2,ln 2)处的切线的斜率k=tan β=,

故tan(α+β)==1.又0<α<,0<β<,所以α+β=.

5.【解答】设直线l的方程为Ax+By+C=0,

所以A(4x+2y)+B(x+3y)+C=0,

整理得(4A+B)x+(2A+3B)y+C=0.

当C≠0时,

所以A=B=0,

此时直线不存在;

当C=0时,两方程表示的直线均过原点,且斜率相等,

故-=-,

所以B=A或B=-2A,

所以直线l的方程为x+y=0或x-2y=0.

6.【解答】(1)如图,设OA=a,OB=b,△ABO的面积为S,则S=ab,且直线l的截距式方程是+=1.

(第6题)

由直线经过点(2,1),得+=1,

所以==.

因为点A和点B在x轴、y轴的正半轴上,所以上式右端的分母b-1>0.由此得

S=·b=·b==b+1+=b-1++2≥2+2=4.

当且仅当b-1=,即b=2时,面积S取得最小值4,此时a=4,直线l的方程为+=1,即x+2y-4=0. (2)如图,设∠BAO=θ,

则MA=,MB=,

所以MA·MB=·=,

则当θ=45°时,MA·MB有最小值4,

此时直线l的斜率为-1,

所以直线l的方程为x+y-3=0.