考研数学三线性代数(向量)模拟试卷4(题后含答案及解析)

考研数学三线性代数（向量）模拟试卷4(题后含答案及解析)
题型有：1.jpg />其中l1≠0。

正确答案：由(I)可知，当l≠0时，系数l1，…，lm全不为零，所以将其代入(1)式得+k2α2+…+kmαm=0，即αm=0。

又因为任意m一1个向量都线性无关，所以+km=0，即涉及知识点：向量
η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…,ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。

证明：
6．η*，ξ1，…，ξn-r线性无关；
正确答案：假设η*，ξ1，…，ξn-r线性相关，则存在不全为零的数c0，c1，…，cn-r使得c0η*+c1ξ1+…+cn-rξn-r=0，(1)用矩阵A左乘上式两边，得0=A(c0η*+c1ξ1+…+cn-rξn-r)=c0η*+c1Aξ1+…+cn-rAξn-r=c0b，其中b≠0，则c0=0，于是(1)式变为c1ξ1+…+cn-rξn-r=0，ξ1，…,ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故ξ1，ξn-r线性无关，因此c1=c2=…=cn-r=0，与假设矛盾。

所以η*，ξ1，…,ξn-r线性无关。

涉及知识点：向量
7．η*，η*+ξ1，…，η*+ξn-r线性无关。

正确答案：假设η*，η*+ξ1，η*+ξn-r线性相关，则存在不全为零的数c0，c1,…，cn-r使c0η*+c1(η*+ξ1)+…+cn-r(η*+ξn-r)=0，即(c0+c1+…+cn-r)η*+c1ξ1+…+cn-rξn-r=0。

(2)用矩阵A左乘上式两边，得0=A[(c0+c1+…+cn-r)η*+c1ξ1+…+cn-rξn-r]=(c0+c1…+cn-r)Aη*+c1Aξ1+…+cn-rAξn-r =(c0+c1…+cn-r)b，因为b≠0，故c0+c1+…+cn-r=0，代入(2)式，有c1ξ1+…+cn-rξn-r=0，ξ1，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故ξ1,…,ξn-r线性无关，因此c1=c2=…=cn-r=0，则c0=0，与假设矛盾。

综上，向量组η*，η*+ξ1,…,η*+ξn-r线性无关。

涉及知识点：向量
8．设向量组(I)：b1，…，br能由向量组(Ⅱ)：a1，…，as线性表示为(b1，…，br)=(a1，…，as)K，其中K为s×r矩阵，且向量组(Ⅱ)线性无关。

证明向量组(I)线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r。

正确答案：必要性：令B=(b1，存在可逆矩阵P使PA=于是有PB=PAK=。

由矩阵秩的性质r(B)=r(PB)=r=r(K)，即r(B)=r(K)=r，因此向量组(I)线性无关。

涉及知识点：向量
9．设a1，a2，…，an是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示。

正确答案：必要性：a1，a2，…，an是线性无关的一组n维向量，因此r(a1，a2，…，an)=n。

对任一n维向量b，因为a1，a2，…，an，b的维数n小于向量的个数n+1,故a1，a2，…，an,b线性相关。

综上所述r(a1，a2，…，an，b)=n。

又因为a1，a2，…，an线性无关，所以n维向量b可由a1，a2，…，an线性表示。

充分性：已知任一n维向量b都可由a1，a2，…，an线性表示，则单位向量组：ε1，ε2，…，εn可由a1，a2，…，an线性表示，即r(ε1，ε2，…，εn)=n≤r(a1，a2，…，an)，又a1，a2，…，an是一组n维向量，有r(a1，a2，…，an)≤n。

综上，r(a1，a2，…，an)=n。

所以a1，a2，…，an线性无关。

涉及知识点：向量
设向量组α3=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，0)T线性表示。

10．求a的值；
正确答案：由于α1，α2，α3不能由β1，β2，β3表示，且由|α1，α2，α3|≠0，知α1，α2，α3线性无关，所以β1，β2，β3线性相关，即|β1，β2，β3|==a—5=0，解得a=5。

涉及知识点：向量
11．将β1，β2，β3由α1，α2，α3线性表示。

正确答案：本题等价于求三阶矩阵C，使得(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)C。

所以C=(α1，α2，α3)-1(β1，β2，β3)=。

因此(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)，所以β1=2α1+4α2一α3，β2=α1+2α2，β3=5α1+10α2一2α。

涉及知识点：向量
12．设向量组α1=(n，0，10)T，α2=(一2，1，5)T，α3=(一1，1，4)T，β=(1，b，c)T，试问：当a，b，c满足什么条件时：(I)β可由α1，α2，α3线性表出，且表示唯一；(Ⅱ)β不可由α1，α2，α3线性表出；(Ⅲ)β可由α1，α2，α3线性表出，但表示不唯一，求出一般表达式。

正确答案：考虑线性方程组k1α1+k2α2+k3α3=β，(1)记其系数矩阵A=(α1，α2，α3)。

对该线性方程组的增广矩阵作初等行变换，即(A,β)= (I)当a≠一10时，r(A)=r(A，β)=3，此时方程组(1)有唯一解，β可由α1，α2，α3唯一地线性表出。

(II)当a=一10，且c≠3b一1时，(A,β)= 可知r(A)≠r(A，β)，此时方程组(1)无解，β不可由α1，α2，α3线性表出。

(Ⅲ)当a=一10，且c=3b—1时，(A，β)→可知r(A)=r(A，β)=2，此时方程组(1)有无穷多解，其全部解为k1=，k2=l，k3=b—l，其中l为任意常数。

β可由α1，α2，α3线性表出，但表示不唯一，其一般表达式为β=α1+lα2+(b—l)α3其中l为任意常数。

涉及知识点：向量
已知r(a1，a2，a3)=2，r(a2，a3，a4)=3，证明：
13．a1能由a2，a3线性表示；
正确答案：r(a1，a2，a3)=2，k1，k2∈R，k1+k2≠0。

涉及知识点：向量
16．设向量组a1，a2，…，am线性相关，且a1≠0，证明存在某个向量ak(2≤k≤m)，使ak能由a1，a2，…，ak-1线性表示。

正确答案：因为向量组a1，a2，…，am线性相关，由定义知，存在不全为零的数λ1，λ2，…，λm，使λ1a1+λ2a2+…+λmam=0。

因λ1,λ2,…，λm不全为零，所以必存在k，使得λk≠0，且λ1,λ2,…=λm=0。

当k=1时，代入上式有λ1a1=0。

又因为a1≠0，所以λ1=0，与假设矛盾，故后≠1。

当λk ≠0且k≥2时，有ak=ak-1，k≠1，因此向量ak能由a1，a2，…，ak-1线性表示。

涉及知识点：向量
17．设非齐次线性方程缉Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn-r+1是它的n—r+1个线性无关的解。

试证它的任一解可表示为x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1，其中k1+…+kn-r+1=1。

正确答案：设x为Ax=b的任一解，由题设知η1，η2，…，ηn-r+1线性无关且均为Ax=易的解。

取ξ1=η2一η1，ξ2=η3一η1，…,ξn-r=ηn-r+1一η1，根据线性方程组解的结构，它们均为对应齐次方程Ax=0的解。

下面用反证法证：设ξ1，ξ2，…，ξn-r线性相关，则存在不全为零的数l1，l2，…，ln-r，使得l1ξ1+l2ξ2+…+ln-rξn-r=0，即l1(η2一η1)+l2(η3一η1)+…+ln-r(ηn-r+1一η1)=0，也即一(l1+l2+…+ln-r)η1+l2η2+l3η3+…+ln-rηn-r+1=0。

由η1，η2，…，ηn-r+1线性无关知一(l1+l2+…+ln-r)=l1=l2=…=ln-r=0，这与l1，l2，…，ln-r不全为零矛盾，故假设不成立。

因此ξ1，ξ2，…，ξn-r 线性无关，是Ax=0的基础解系。

由于x，η1均为Ax=b的解，所以x－η1为Ax=0的解，因此x一η1可由ξ1，ξ2，…，ξn-r线性表示，设X一η1=k2ξ1+k3ξ2+…+kn-r+1ξn-r，=k2(η2一η1)+k3(η3一η1)+…+kn-r+1(ηn-r+1一η1)，则x=η1(1一k2一k3一…一kn-r+1)+k2η2+k3η3+…+kn-r+1ηn-r+1，令k1=1一k2一k3一…一kn-r+1，则k1+k2+k3+…+kn-r+1=1，从而x=k1η1+k2η2+…+kn-r+1ηn-r+1恒成立。

涉及知识点：向量。