湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题

湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期入学考试
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A ．4
B ．5．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数为（A ．70
B ．64
．已知定义域为R 的函数()f x 则（ ）A ．()2e 11
f -<C ．1e 2f æö>ç÷èø
三、填空题
(1)当BD长度变化时，
理由．
(2)记ABD
△的面积分别为△与BCD
16．函数()e4sin
x
f x l
=-
(1)求l的值；
()2*
Δ0n a n =
ÎN 或数列{}2
Δn
a 是等比数列．
(3)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果{}n
a 和{}n S 都是“优分解”的，并且
123346a a a ===，，，求{}n a 的通项公式．
2212
S S +有最大值为14．16．(1)
1
l =(2)()f x 在(0,)+¥上仅有1个零点
【分析】（1）利用导数的几何意义，求得切线的斜率，和切点，然后得到切线方程，利用
对应相等，即可求得l 的值；
（2）利用一次求导和二次求导分析原函数和导函数的单调性，分πx ³与0πx <<两种情况讨论，结合单调性和零点存在性定理，即得证.
【详解】（1）因为()e 4sin 2,()e 4cos x x f x x f x x l l l l ¢=-+-=-，所以(0)4f l ¢=-，所以切线斜率为4l -，即4a l =-，
所切线方程为()41
y x l l =--+又(0)1f l =-，所以切点坐标为(0,1)l -，代入得则11l l -=-+，解得1l =.
（2）由（1）得()e 4sin 1,()e 4cos x x f x x f x x ¢=--=-，令()()e 4cos x g x f x x ==-¢，则()e 4sin x g x x =+¢，
当πx ³时，()e 4cos 0x f x x ¢=->恒成立，所以()f x 在[)π,+¥上递增，所以ππ()(π)e 4sin 1e 50f x f x ³=--³->，因此()f x 在[π,)+¥无零点；
当0π
x <<时，()e 4sin 0x g x x ¢=+>恒成立，所以()f x ¢单调递增，
（3）设()*n n n S B C n =+ÎN ，可得{}
2Δn S 是首项为2，公比为()1Q Q ¹的等比数列，设
()
*n n n a b c n =+ÎN ，可得()21Δ1n
n S d c q q =+-
，可得
()()()2
23111111d c q q d c q q d c q q éùéùéù+-=+-×+-ëûëûëû，可得数列
{}Δn a 是首项121Δ1a a a =-=，公比为q 的等比数列，可求
{a n
)
的通项公式．
【详解】（1）{}n
a
Q 是等差数列，\设()()111111
n a a n d a n d éù=+-=-+-+ëû，令()111,1n n b a n d c =-+-=，则
{b n
)
是等差数列，{}n
c 是等比数列，所以数列
{a n
)
是“优分解”的．
（2）因为数列
{a n
)
是“优分解”的，设()*
n n n a b c n =+ÎN ，
其中()()1111
1,0,0n n n b b n d c c q c q -=+-=¹¹，
则()
12
12
1111Δ1,ΔΔΔ(1)n n n n n n n n a a a d c q
q a a a c q q --++=-=+-=-=-
．
当1q =时，()2*
Δ0n a n =
ÎN ；
当1q ¹时，{}2Δn
a 是首项为21
(1)c q -，公比为q 的等比数列．
（3）一方面，Q 数列{}n
S
是“优分解”的，设()*n n n S B C n =+ÎN ，
其中()()1111
1,0,0n n n B B n D C C Q C Q -=+-=¹¹，由（2）知212
1Δ(1)n n S C Q Q -=-因为12122323Δ4,Δ6S S S a S S S a =-===-==，所以2
121ΔΔΔ2S S S =-=．
{
}
22
1(1)2,1,Δn C Q Q S \-=\¹\
是首项为2，公比为()1Q Q ¹的等比数列．
另一方面，因为
{a n
)
是“优分解”的，设()
*
n n n a b c n =+ÎN ，
其中()()1111
1,0,0n n n b b n d c c q c q -=+-=¹¹，
()
2
11
1211Δ,ΔΔΔ1n n n n n n n n n n S S S a S S S a a d c q q +++++=-==-=-=+-{}2Δn S Q 是首项为2，公比为()1Q Q ¹的等比数列，
0,1
q q \¹¹，且()()(
)
2
2
2
2
213ΔΔΔ
S S S =×
，
()()()2
23
111111d c q q d c q q d c q q éùéùéù\+-=+-×+-ëûëûëû
化简得()311111(1)0,0,0,1,0,Δ1n n n n c dq q c q q d a a a c q q -+-=¹¹¹\=\=-=-Q ，
即数列{}Δn
a
是首项121Δ1
a a a =-=，公比为q 的等比数列．
又232Δ2,2a a a q =-=\=Q ，
又()211Δ2,12,0,2,S d c q q d q =\+-===\Q Q 解得11111,312c b a c =\=-=-=，
综上所述，()1111
122n n n a b n d c q --=+-+=+．
【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，弄清题意，并充分应用等比和等差数列的性质是解题的关徤.。