人教版高中数学选修1-2课时跟踪检测(三)合情推理2

课时追踪检测（三）合情推理
层级一学业水平达标1．察看图形规律，在其右下角的空格内画上适合的图形为()
A.B．△
C.D．○
分析：选 A察看可发现规律：① 每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一
次，② 每行、每列有两暗影一空白，即得结果．
2．下边几种推理是合情推理的是()
①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内
角和是 180°，概括出全部三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则猜想该
教室内的全部椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是 540°，由此得出凸n 边形的内角和是(n－ 2) ·180°(n∈N *，且n≥3)．
A．①②B．①③④
C．①②④D．②④
分析：选 C① 是类比推理；②④ 是概括推理，∴①②④ 都是合情推理．
3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶ 2，则它们的面积比为1∶ 4，近似地，在空间内，若两个正四周体的棱长的比为1∶ 2，则它们的体积比为() A． 1∶2B．1∶ 4
C． 1∶8D． 1∶ 16
分析：选 C由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中
体积之比与棱长之比建立方关系，故若两个正四周体的棱长的比为1∶ 2，则它们的体积之比为 1∶ 8.
4．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线相互平行”的性质，可推出以下空间结论：
①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；
③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一平面的两个平面相互平行，则其
中正确的结论是()
A．①②B．②③
C．③④D．①④
分析：选B依据立体几何中线面之间的地点关系及有关定理知，②③ 是正确的结论．
2 ＋ 6＝2，5
＋
3
＝2，
7
＋
1
＝2，
10
＋
－ 2
－2－4
5．察看以下各等式：2－4 6－45－4 3－ 47－ 4 1－410－ 4＝ 2，依据以上各式建立的规律，获得一般性的等式为()
A.n
＋
8－n
＝ 2 n－4 (8－ n)－ 4
B.n＋1＋(n＋1)＋5＝2 (n＋1)－ 4(n＋ 1)－ 4
C.n
＋
n＋4
＝ 2 n－
4 (n＋ 4)－ 4
n＋ 1n＋ 5
＋＝ 2
D.
(n＋1)－ 4(n＋ 5)－ 4
分析： A察：每个等式的右均2，左是两个分数相加，分子之和等于
8，分母中被减数与分子同样，减数都是4，所以只有 A 正确．
6．察以下等式
1＝ 1
2＋3＋4＝9
3＋4＋ 5＋ 6＋ 7＝ 25
4＋ 5＋ 6＋ 7＋ 8＋ 9＋ 10＝ 49
照此律，第n 个等式 ________．
分析：察所等式，等式左第一个加数与行数同样，加数的个数2n－ 1，故第 n 行等式左的数挨次是n， n＋ 1， n＋ 2，⋯， (3n－2) ；每一个等式右的数等式左加
数个数的平方，进而第n 个等式 n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝ (2n－ 1)2.
答案： n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝ (2n－ 1)2
7．我知道：周必定的全部矩形中，正方形的面最大；周必定的全部矩形与
中，的面最大，将些比到空，能够获得的是 _______________________ ．分析：平面形与立体形的比：周→ 表面，正方形→ 正方体，面→ 体，
矩形→ 方体，→ 球．
答案：表面必定的全部方体中，正方体的体最大；表面必定的全部方体和
球中，球的体最大
8．如 (甲 )是第七届国数学教育大会(称 ICME － 7)的会徽案，会徽的主体案
是由如 (乙 )的一串直角三角形演化而成的，此中OA1＝A1A2＝ A2 A3＝⋯＝ A7 A8＝ 1，如果把 (乙 )中的直角三角形依此律作下去，OA1，OA2，⋯， OA n，⋯的度组成
数列 {a n}，此数列 {a n}的通公式a n＝ __________.
分析：依据 OA1＝ A1A2＝ A2A3＝⋯＝ A7 A8＝ 1 和 (乙 )中的各直角三角形，由勾股定理，可得a1＝ OA1＝ 1 ， a2＝ OA2＝ OA21＋ A1A22＝ 12＋ 12＝ 2 ， a3＝ OA3＝ OA22＋ A2A23＝ ( 2)2＋ 12＝ 3，⋯，故可推出 a n＝ n.
答案：n
9．在平面内察：凸四形有 2 条角，凸五形有 5 条角，凸六形有9 条角，⋯，由此猜想凸n 形有几条角？
解：因凸四形有 2 条角，凸五形有 5 条角，比凸四形多 3 条；凸六形有9 条角，比凸五形多 4 条，⋯，于是猜想凸n 形的角条数比凸(n－ 1)形多 (n－ 2)条角，由此凸 n 形的角条数2＋ 3＋ 4＋ 5＋⋯＋ (n－ 2)，由等差数1*
列乞降公式可得2n(n－ 3)(n≥4， n∈ N )．
所以凸 n 形的角条数
1*
2n(n－ 3)(n≥4， n∈ N )．
10．已知 f(x)＝
1，分求f(0)＋ f(1) ， f(－ 1)＋ f(2) ， f(－ 2)＋ f(3) ，而后猜想3x＋3
一般性，并明你的．
1
，解： f( x)＝x
3 ＋3
所以 f(0)＋ f(1) ＝0 1
＋11＝3，
3＋3 3 ＋33
f(－ 1)＋ f(2)＝－11
＋21＝
3
，
3＋33＋ 33
f(－ 2)＋ f(3)＝－21
＋31＝
3
.
3＋33＋ 33
猜想一般性；f(－ x)＋ f(x＋1)＝
3 3 .
明以下： f (－ x)＋ f(x＋ 1)＝
1
＋
1
3－x＋33x＋ 1＋3
3x13·3x1
＝
1＋ 3·3x ＋
3x＋1＋ 3
＝
3＋3x＋1
＋
3x ＋1＋3
x＋ 1x＋ 1
＝3 .
＝ 3·3x＋1＝3·3x
3＋33(1＋3·3 )3
二能力达1．由代数式的乘法法比获得向量的数目的运算法：
① “mn＝ nm” 比获得“a·b＝ b·a”；
② “(m＋ n)t＝ mt＋ nt” 比获得“(a＋ b) ·c＝ a·c＋ b·c”；
③ “(m·n)t＝ m(n·t) ” 比获得“(a·b) ·c＝ a·(b·c) ”；
④ “t≠0， mt＝ xt? m＝ x” 比获得“p≠0，a·p＝ x·p? a＝ x”；
⑤ “|m·n|＝ |m| ·|n| ” 比获得“|a·b|＝ |a| ·|b| ”；
ac a a·c a
⑥“ ＝” 比获得“ ＝”．
bc b·b
b c
此中 比 正确的个数是 ()
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
分析：B
由向量的有关运算法 知
①② 正确， ③④⑤⑥ 都不正确，故 B.
2． 比三角形中的性 ：
(1) 两 之和大于第三 ； (2) 中位 等于底 的一半；
(3) 三内角均分 交于一点．可得四周体的 性 ：
(1) 随意三个面的面 之和大于第四个面的面 ；
(2) 四周体的交于同一 点的三条棱的中点的平面面 等于 点所 的面面 的
1；
4
(3) 四周体的六个二面角的均分面交于一点． 此中 比推理方法正确的有 ( )
A ． (1)
B ． (1)(2)
C ． (1)(2)(3)
D ．都不
分析：
C
以上 比推理方法都正确，需注意的是 比推理获得的 能否正确与
比推理方法能否正确其实不等价，方法正确 也不必定正确．
1 3
1 1
5
1
1 1
7
3． 察以下式子：
2
2，1＋ 2
＋ 2
， 1＋
2 2
2
， ⋯，依据以上式子可
1＋2 ＜
2 3 ＜ 3
2 ＋
3 ＋
4 ＜ 4
以猜想： 1＋
1 1
1
2
2
＋32＋⋯＋2 0172＜(
)
4 031 4 032
A. 2 017
B.
2 017
4 033
4 034 C. 2 017
D.
2 017
分析：C
察能够 ，第 n(n ≥2)个不等式左端有 n ＋ 1 ，分子 1，分母挨次
2, 2,
2
2
n ＋ 1，分子成等差数列，首 3，公差
2，所以
1 2
3 ， ⋯， (n ＋ 1)
；右端分母
1 1
1
2n ＋ 1
1 1
第 n 个不等式
1＋ 22＋ 32＋ ⋯＋ (n ＋ 1)2＜ n ＋ 1 ，所以当 n ＝ 2 016 不等式 ： 1＋ 22＋ 32
＋⋯ ＋ 1 4 033
2 0172
＜2 017.
2S
a ，
b ，
c ，△ ABC 的面 S ，内切 半径 r ， r ＝ ；a ＋ b ＋ c
比 个 可知：四周体
P-ABC 的四个面的面 分
r ，四周体
P-ABC 的体
V ， r ＝ (
)
S 1， S 2， S 3， S 4，内切球的半径
V
2V
A. S 1 ＋S 2＋ S 3＋ S 4
B.S 1＋ S 2＋ S 3＋ S 4
3V 4V
C.
S 1 ＋S 2＋ S 3＋ S 4
D.
S 1＋ S 2＋ S 3＋ S 4
分析：选 C 将 △ ABC 的三条边长 a ，b ，c 类比到四周体 P-ABC 的四个面面积 S 1，S 2，
S 3， S 4 ，将三角形面积公式中系数
1
，类比到三棱锥体积公式中系数 1，进而可知选
C.证明
2
3
以下：以四周体各面为底，内切球心
O 为极点的各三棱锥体积的和为
1 1 V ，∴ V ＝ S 1r ＋ S 2r
3
3
1 1 3V
＋
3S 3r ＋ 3S 4r ， ∴ r ＝ S 1＋ S 2＋ S 3＋ S 4.
5．察看以下图中各正方形图案，
每条边上有
n(n ≥ 2)个圆圈， 每个图案中圆圈的总数是
S ，
按此规律推出
S 与
n 的关系式为 ____________．
分析： 每条边上有 2 个圆圈时共有 S ＝ 4 个；每条边上有 3 个圆圈时，共有 S ＝8 个；
每条边上有 4 个圆圈时，共有 S ＝ 12 个．可见每条边上增添一个点，则 S 增添 4， ∴ S 与 n
的关系为 S ＝ 4(n － 1)(n ≥2)．
答案： S ＝ 4(n － 1)(n ≥2)
6．能够运用下边的原理解决一些有关图形的面积问题：假如与一固定直线平行的直线
被甲、乙两个关闭的图形所截得的线段的比都为 k ，那么甲的面积是乙的面积的 k 倍．你可
以从给出的简单图形①、 ②中领会这个原理．
此刻图③中的两个曲线的方程分别是
x 2
y 2
2
2
a ＋
b
＝
1(a ＞ b ＞ 0)与 x 2＋ y 2＝ a 2，运用上边的原理，图③中椭圆的面积为
______________．
分析： 因为椭圆与圆截
y 轴所得线段之比为
b ，
a
b 即k ＝，∴ 椭圆面积a
2 b
S ＝ πa ·＝ πab.
a
答案： πab
7．察看以下两个等式：
① sin 2 10°＋ cos 2
40°＋ sin 10 cos ° 40 ＝°
3
4①；
② sin 2 6°＋ cos
2
36°＋ sin 6 cos ° 36 ＝°3
4② .
由上边两个等式的构造特点，你可否提出一个猜想？并证明你的猜想．
解： 由 ①② 知若两角差为 30°，则它们的有关形式的函数运算式的值均为
3 4
.
猜想：若 β－ α＝ 30°，则 β＝ 30°＋ α，sin 2α＋
2 α＋ °＋
α α＋
°＝ 3 (sin
3 0 ) cos(
30 ) 4
.
行证明：
左侧＝ sin 2α＋ cos(α＋ 30°)[cos(α＋ 30°)＋ sin α]
2
3 1
3 1
＝ sin α＋ 2 cos α－2sin α 2 cos α＋ 2sin α
＝ sin 2
α＋ 3
2
α－
1 2
α＝ 3＝右侧．
4cos 4sin
4
所以，猜想是正确的．
故 sin 2
α＋ cos 2
(α＋ 30°)＋ sin αcos(α＋ 30°)＝
3
4.
1
1
1
建立．那么在 8．已知在 Rt △ ABC 中， AB ⊥ AC ，AD ⊥ BC 于点 D ，有 AD
2
＝
AB 2 ＋
AC
2
四周体 A-BCD 中，类比上述结论，你能获得如何的猜想，并说明猜想能否正确及原因．
解： 猜想：类比 AB ⊥ AC ，AD ⊥ BC ，能够猜想四周体
A-BCD 中， AB ，AC ，AD 两两
垂直， AE ⊥ 平面 BCD .则 1
2
1 2 1 2 1 2
AE
＝
AB
＋
AC ＋AD .
下边证明上述猜想建立
以下图，连结
BE ，并延伸交 CD 于点 F ，连结 AF .
∵ AB ⊥ AC ， AB ⊥ AD ，
AC ∩ AD =A ，
∴ AB ⊥平面 ACD.
而 AF ? 平面 ACD ，∴ AB ⊥ AF.
在 Rt △ ABF 中， AE ⊥ BF ，
1
1 1
∴ AE 2＝ AB 2＋ AD 2 . 在 Rt △ ACD 中， AF ⊥ CD ，
1
1
1
∴AF 2 ＝ AC 2 ＋ AD 2 .
∴
1
2
1 2 1 2 1 2
AE ＝ AB ＋ AC ＋
AD ，故猜想正确．。