2014年普通高等学校招生全国统一考试福建卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学（文史类）
第I 卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。

1. 若集合}42|{<≤=x x P ，}3|{≥=x x Q ，则=Q P 等于（ ）
A ．}43|{<≤x x
B ．}43|{<<x x
C ．}32|{<≤x x
D ．}32|{≤≤x x 2. 复数i i )23(+等于（ ）
A ．i 32--
B ．i 32+-
C ．i 32-
D ．i 32+
3. 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于
（ ）
A ．π2
B ．π
C ．2
D ．1
4. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出n 的值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 5. 命题“0),,0[3
≥++∞∈∀x x x ”的否定是（ ）
A ．0),0,(3
<+-∞∈∀x x x B ．0),0,(3
≥+-∞∈∀x x x C ．0),,0[0300<++∞∈∃x x x D ．0),,0[03
00≥++∞∈∃x x x 6. 已知直线l 过圆4)3(2
2
=-+y x 的圆心，且与直线01=++y x 垂直，
则直线l 的方程是（ ）
A ．02=-+y x
B ．02=+-y x
C ．03=-+y x
D ．03=+-y x 7. 将函数x y sin =的图像左移
2
π
个单位，得到函数)(x f y =的图像，则下列说法正确的是（ ） A ．)(x f y =是奇函数 B ．)(x f y =的周期是π
C ．)(x f y =的图像关于直线2
π
=
x 对称 D ．)(x f y =的图像关于直线)0,2
(π
-
对称
8. 若函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（
）
A B C D
9. 要制作一个容积为3
4m ，高为m 1的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，
侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）
A ．80元
B ．120元
C ．160元
D ．240元
10. 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则
→
→→→+++OD OC OB OA 等于（ ）
A ．→
OM B ．2→
OM C ．3→
OM D ．4→
OM
11. 已知圆1)()(:2
2=-+-b y a x C ，平面区域⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥+-≤-+Ω00307:y y x y x ，若圆心Ω∈C ，且圆C 与x
轴相切，则2
2
b a +的最大值为（ ）
A ．5
B ．29
C ．37
D ．49
12. 平面直角坐标系中，两点),(111y x P ，),(222y x P 间的“-L 距离”定义为
||||||212121y y x x P P -+-=，则平面内与x 轴上两个不同的定点21,F F 的“-L 距离”之和等
于定值（大于||21F F ）的点的轨迹可以是（ ）
A B C D
第II 卷（非选择题 共90分）
注意事项：
用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

一、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上。

13. 如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计，阴影部分
的面积是____。

14. 在ABC ∆中，3,2,600
=
==∠BC AC A ，则AB 等于___________。

15. 函数⎩⎨⎧>+-≤-=0
,ln 620
,2)(2x x x x x x f 的零点个数是___________。

16. 已知集合}2,1,0{},,{=c b a ，且下列三个关系式：0)3(;2)2(;2)1(≠=≠c b a 有且只有一个正确，
则等于c b a ++10100等于_____________。

二、 解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤。

17. （本小题满分12分）已知等比数列}{n a 中，81,352==a a 。

（I ）求数列}{n a 的通项公式；
（II ）若数列n n a b 3log =，求数列}{n b 的前n 项和n S 。

18. （本小题满分12分）已知函数)cos (sin cos 2)(x x x x f +=。

（I ）求)4
5(
π
f 的值； （II ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间。

19. （本小题满分12分）如图，三棱锥中BCD A -中，⊥AB 平面BCD ，BD CD ⊥。

（I ）求证：⊥CD 平面ABD ；
（II ）若1===CD BD AB ，M 为AD 中点，求三棱锥MBC A -的体积。

20. （本小题满分12分）根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035~4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 低于4085~12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616美元为高收入国家。

某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表
（I ）试判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；
（II ）现从该城市的5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上
收入国家的标准的概率。

21. （本小题满分12分）已知曲线Γ上的点到点)10(，
F 的距离比它到直线3-=y 的距离小2 （I ）求曲线Γ的方程；
（II ）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线3=y 分别与直线l 及y 轴交于点N M ,，
以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论。

22. （本小题满分14分）已知函数a ax e x f x
()(-=为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线)
(x f y =在点处的切线斜率为1-。

（I ） 求a 的值及函数)(x f 的极值； （II ） 证明：当0>x 时，x
e x <2
；
（III ） 证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当),(0+∞∈x x 时，恒有x
ce x <。

参考答案
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分60分。

1.A
2.B
3.A
4.B
5.C
6.D
7.D
8.B
9.C
10.D
11.C
12.A
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。

每小题4分，满分16分。

13. 0.18
14. 1
15. 2
16. 201
三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。

满分12分。

解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，依题意得
14
1
3
81a q a q =⎧⎨=⎩ 解得11
3
a q =⎧⎨
=⎩
因此1
3n n a -=
（Ⅱ）因为3log 1n n b a n ==-，
所以数列{}n b 的前n 项和21()22
n n n b b n n
S +-== 18.本小题主要考查诱导公式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的图像与性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。

满分12分。

解法一：（Ⅰ）5555(
)2cos (sin cos )4444
f ππππ
=+ 2cos
(sin
cos )4
44
π
π
π
=---
2=
（Ⅱ）因为2
()2sin cos 2cos f x x x x =+
sin 2cos21x x =++
)14
x π
=++
所以22
T π
π==
由222,2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-≤+
≤+
∈
得3,88
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈ 所以()f x 的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡
⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
解法二：2
()2sin cos 2cos f x x x x =+
sin 2cos21x x =++
)14
x π
++
（Ⅰ）511()144
f ππ
=+
14
π
=+
2=
（Ⅱ）22
T π
π=
= 由222,2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-≤+
≤+
∈
得3,88
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈ 所以()f x 的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡
⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
19.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想。

满分12分。

解法一：（Ⅰ）因为AB ⊥平面,BCD CD ⊂平面BCD ，
所以AB CD ⊥
又因为,CD BD AB BD B ⊥⋂=
AB ⊂平面,ABD BD ⊂平面ABD
所以CD ⊥平面ABD
（Ⅱ）由AB ⊥平面BCD ，得AB BD ⊥
11,2
ABD AB BD S ∆==∴=
M 是AD 的中点，
1124
ABM ABD S S ∆∆∴=
= 由（Ⅰ）知，CD ⊥平面ABD ，
∴三棱锥C ABM -的高1h CD ==
因此三棱锥A MBC -的体积
11
312
A MBC C ABM ABM V V S h --∆==⋅=
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）由AB ⊥平面BCD 知，平面ABD ⊥平面BCD
又平面ABD ⋂平面BCD BD =
如图，过点M 做MN BD ⊥交BD 于点N ， 则MN ⊥平面BCD ，且11
22
MN AB ==， 又,1CD BD BD CD ⊥==
1
2
BCD S ∆∴=
∴三棱锥A MBC -的体积
A MBC A BCD M BCD V V V ---=-
11
33BCD BCD AB S MN S ∆∆=
⋅-⋅ 112= 20.本小题主要考查概率与统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想。

满分12分。

解：（Ⅰ）设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为
80000.2540000.3060000.1530000.10100000.20a a a a a
a
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
6400=
因为6400[4085,12616]∈
所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准。

（Ⅱ）“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：
{A ，B}，{A ，C}，{A ，D}，{A ，E}，{B ，C}，{B ，D}，{B ，E}，{C ，D}，{C ，E}， {D ，E}，共10个。

设事件“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”为M ， 则事件M 包含的基本事件是：{A ，C}， {A ，E}，{C ，E}，共3个， 所以所求概率为3
()10
P M =
21.本小题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、化归与转化思想。

满分12分。

解法一：（Ⅰ）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，
依题意，点S 到F （0，1）的距离与它到直线1y =-的距离相等， 所以曲线Γ是以点F （0，1）为焦点、直线1y =-为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为2
4x y =
（Ⅱ）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明如下：
由（Ⅰ）知抛物线Γ的方程为2
1
4
y x =， 设000(,)(0)P x y x ≠，则2
0014
y x =， 由1
2
y x '=
，得切线l 的斜率 001
|2
x x k y x ='==，
所以切线l 的方程为0001
()2
y y x x x -=-，
即2
001124
y x x x =-
由200
1124
0y x x x y ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩，得01(,0)2A x 由2001124
3
y x x x y ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩，得00
16(,3)2M x x + 又(0,3)N ，所以圆心00
1
3
(,3)4
C x x +
， 半径00
113||||24r MN x x =
=+，
||AB ===所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变。

解法二：（Ⅰ）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，
则|(3)|2y --=，
依题意，点(,)S x y 只能在直线3y =-的上方，所以3y >-，
1y =+， 化简得，曲线Γ的方程为2
4x y = （Ⅱ）同解法一
22.本小题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全程量词与存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想。

满分14分。

解法一：（Ⅰ）由()x
f x e ax =-，得()x f x e a '=-
又(0)11f a '=-=-，得2a =
所以()2x f x e x =-，()2x
f x e '=-
令()0f x '=，得ln 2x =，
当ln 2x <时，()0,()f x f x '<单调递减；
当ln 2x >时，()0,()f x f x '>单调递增；
所以当ln 2x =时，()f x 有极小值，
且极小值为ln 2(ln 2)2ln 22ln 4f e =-=-，
()f x 无极大值。

（Ⅱ）令2()x g x e x =-，则()2x g x e x '=-
由（Ⅰ）得，()()(ln 2)2ln 40g x f x f '=≥=->，即()0g x '> 所以()g x 在R 上单调递增，又(0)10g =>，
所以当0x >时，()(0)0g x g >>，即2x x e <
（Ⅲ）对任意给定的正数c ，取01x c =
， 由（Ⅱ）知，当0x >时，2x x e <
所以当0x x >时，221e x x c
>>，即x x ce < 因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x x ce <
解法二：（Ⅰ）同解法一；
（Ⅱ）同解法一； （Ⅲ）令1(0)k k c
=>，要使不等式x x ce <成立，只要x e kx >成立 而要使x e kx >成立，则只需要ln()x kx >，即ln ln x x k >+成立。

①若01k <≤，则ln 0k ≤，易知当0x >时，ln ln ln x x x k >≥+成立，
即对任意[1,)c ∈+∞，取00x =，当0(,)c x ∈+∞时，恒有x x ce <
②若1k >，令()ln ln h x x x k =--，则11()1x h x x x
-'=-=， 所以当1x >时，()0h x '>在(1,)+∞内单调递增，
取04x k =，
0()4ln(4)ln 2(ln )2(ln 2)h x k k k k k k =--=-+-， 易知ln ,ln 2k k k >>，所以0()0h x >
因此对任意(0,1)c ∈，取04x c
=，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x x ce < 综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x x ce <
解法三：（Ⅰ）同解法一；
（Ⅱ）同解法一；
（Ⅲ）①若1c ≥，取00x =，
由（Ⅱ）的证明过程知，2x e x >，
所以当0(,)x x ∈+∞时，有2x x ce e x x ≥>>，即x x ce < ②若01c <<，
令()x h x ce x =-，则()1x h x ce '=-
令()0h x '=得1ln
x c = 当1ln x c
>时，()0,()h x h x '>单调递增 取022ln x c
=， 22ln 0222()2ln 2(ln )c h x ce
c c c =-=-， 易知22ln 0c c
->，又()h x 在0(,)x +∞内单调递增， 所以当0(,)x x ∈+∞时，恒有0()()0h x h x >>，即x x ce <
综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x x ce < 注：对c 的分类可有不同的方式，只要解法正确，均相应给分。