带有饱和发病率的离散SIR传染病模型的稳定性及分支问题

带有饱和发病率的离散SIR传染病模型的稳定性及分支问题许立滨;李冬梅;董在飞
【摘要】考虑了饱和型发病率对SIR传染病模型的影响,建立了一个具有饱和型发病率的离散SIR传染病模型,利用Jury准则对线性化系统的特征根进行分析,并获得了平衡点的局部稳定性及分支点,通过选取适当的参数,运用Neimark-Sacker分支存在理论,讨论了模型的分支问题.%A discrete SIR model with saturation incidence is established to study the effect of saturation incidence.Local stability of the equilibrium and bifurcation points are obtained by using Jury criteria and investigating the linearized characteristic equation.Then bifurcation scenario is discussed by choosing the appropriate parameter and using the theory of Neimark-Sacker bifurcation.
【期刊名称】《哈尔滨理工大学学报》
【年(卷),期】2017(022)003
【总页数】5页(P117-120,126)
【关键词】饱和发病率;离散模型;阈值;稳定性;分支
【作者】许立滨;李冬梅;董在飞
【作者单位】哈尔滨理工大学应用科学学院,黑龙江哈尔滨150080;哈尔滨理工大学应用科学学院,黑龙江哈尔滨150080;哈尔滨理工大学应用科学学院,黑龙江哈尔滨150080
【正文语种】中文
【中图分类】O175
许多学者针对连续时间下的SIS， SIR，SIRS传染病模型，给出了有关疾病传播规律的诸多研究结果[1-3] 。

现实中的传染病相关数据是按天、周、月或年为单位收集的，用离散模型的丰富动力学性态描述传播规律能得到真实的结论。

由于离散动力系统理论和方法的限制，目前有关离散传染病模型的研究结果相对较少。

Enatsu等考虑了双线性形式的发病率，提出了一个带有分布时滞的离散化SIR传染病模型，并分析了系统的持久性和平衡点的全局稳定性[4-5]。

LINDA J. S. ALLEN提出了一类双线型发病率的SI 、SIR和SIS离散传染病模型，在恰当的参数下会展示出倍周期和混沌现象[6]。

研究者们发现对某些周期流行的疾病使用非线型发病率比使用双线型发病率更能反映现实情况，应用传染病平衡点的动力学行为可以很好地描述疾病的流行与绝灭现象[8-11]。

Capasso提出非线性发病率
In/(1+αIn)在霍乱蔓延模型中描述了一种拥挤效应或者是一种保护措施，这样的一个函数随着感染者In的变大趋近于一种饱和水平，发现用饱和型发病率比用双线型发病率更能匹配在Bari地区发生的cholera传染病的传播数据[8]。

W. M. Liu 等建立了具有饱和发生率的传染病模型，研究了模型无病平衡点，地方病平衡点稳定性、模型持久性及分支问题[12-17]。

本文针对一类具有饱和型发生率的离散SIR传染病模型，研究其动力学行为。

文[6]给出一类带有标准发病率的离散SIR传染病模型
文[14]研究了具有非线性发生率的离散SIR传染病模型
文[16]研究了一类具有饱和发生率的离散SIR传染病模型
在此基础上，考虑了具有常数输入且有饱和发生率的离散SIR传染病模型如下模型
其中：Sn,In,Rn分别表示第tn时刻易感者、感染者和恢复者的数量；B表示易感者的输入率；μ表示易感者、感染者和恢复者个体的死亡率；β为有效接触系数；
γ表示感染者的恢复率；α为饱和参数，以上均为正参数，从生物学的意义假设0<μ<1，0<γ<1。

由于模型(1)中第一个和第二个方程中不含有Rn，所以将模型(1)简化为
模型(2)的平衡点应满足下列方程
易求得无病平衡点E0=(B/μ,0)。

由式(3)中第一、二个方程解得
令
称R0为模型(2)的基本再生数。

当R0>1时，由式(4)可得模型(2)的地方病平衡点为
模型(2)的线性化矩阵为
把E0代入式(5)可以计算出平衡点E0的雅可比矩阵为
解得J(E0)特征根为λ1=1-μ，λ2=1+(μ+γ)(R0-1)。

通过以上讨论显然得到下面定理。

定理1 当R0<1时，则E0为模型(2)的局部渐近稳定的平衡点；当R0>1时，则E0为不稳定的平衡点。

定理2 当R0<1时，则模型(2)的无病平衡点E0是全局渐近稳定的。

证明：令总人口为Nn=Sn+In+Rn，由模型(1)得Nn+1-Nn=B-μNn，可得
从而，存在一个N>0，当n>N时，使得。

构造Lyapunov函数 Vn=In
Vn对模型(2)求差分可得
ΔVn=Vn+1-Vn=In+1-In
若R0<1，当n>N时，可得出ΔVn≤0，所以E0是模型(2)全局渐近稳定的点。

证毕。

地方平衡点E*的雅可比矩阵为
可算得
根据Jury条件[18]，特征值的模小于1的充要条件是同时满足下列条件：
1+r(J(E*))+det(J(E*))>0 (10)
把式(6)、式(7)代入式(8)，显然
1-tr(J(E*))+det(J(E*))
显然，当R0>1时，式(8)成立。

1-det(J(E*))={μ(μα+β)+μ(R0-1)
{μ[α(2-μ)-β]+αγ(1-μ)+β(1-γ)}}/
(β+αμR0)
当R0>1且μ[α(2-μ)-β]+αγ(1-μ)+β(1-γ)>0时，则式(9)成立。

当μ[α(2-μ)-β]+αγ(1-μ)+β(1-γ)<0时，满足
则式(9)成立。

1+tr(J(E*))+det(J(E*))={2(2-2μ-γ)
(μα+β)+(2-μ-γ)[α(2-μ)-β]μ(R0-1)}/
(β+αμR0)
当2μ+γ<2，α(2-μ)>β时，则式(10)成立。

当2μ+γ<2，α(2-μ)<β时，满足，则式(10)成立。

当2μ+γ>2，α(2-μ)>β时，满足
则式(10)成立。

证毕。

由上面的讨论可以得到定理3。

定理3 若模型(2)满足R0>1及下列条件之一
(i)当2μ+γ<2，α(2-μ)>β时；
(ii)当2μ+γ<2，α(2-μ)<β，μ[α(2-μ)-β]+αγ(1-μ)+β(1-γ)>0，且时；(iii)当时；
(iv)当2μ+γ<2，α(2-μ)<β，μ[α(2-μ)-β]+αγ(1-μ)+β(1-γ)<0，且1<R0<1-
,
则E*是模型(2)局部渐近稳定的平衡点。

若R0<1，E*是不稳定平衡点。

若
或
成立，则E*是一个非双曲平衡点。

定理4 若模型(2)满足[2(β+αμR0)+μ(γα(1-R0)-μα(2R0-1)-
βR0)]2<4(β+αμR0)[β+μ(α-μα-β)(R0+(μ+γ)(1-R0))]，1-μ-γ>0，且
则模型(2)在E*经历了Neimark-Sacker分支。

证明：对模型(2)做变换，令ξn=Sn-S*，ηn=In-I*
代入模型(2)得
则模型(11)在(0,0)点的线性化矩阵的特征方程为
当[2(β+αμR0)+μ(γα(1-R0)-μα(2R0-1)-βR0)]2<4(β+αμR0)[β+μ(α-αμ-β)(R0+(μ+γ)(1-R0))]时，即有
可知特征方程(12)存在式有一对共轭复根，
λ1,2=
由，当，时，式(12)存在模为1的特征根，即有
对特征方程(12)两边的β求导得
可得
同理计算可知λh(β0)≠1，h=1,2,3,4。

运用Neimark-Sacker分岔存在理论可知[19]，模型(2)在E*经历了Neimark-Sacker分支。

由此可知，选取β为分支参数。

证毕。

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