薄板弯曲问题

物理方程
应变
位移函数
薄板在弯曲变形后，薄板的法线没有伸缩；
w z 0 z
w wx, y
位移函数
薄板的法线，在薄板弯扭以后，保持为薄 板弹性曲面的法线；
xz yz 0
w u 0 x z
w v 0 y z
位移函数
u w z x
利用12个结点位移条件，由广义坐标法可 建立形函数，显然十分麻烦。
位移函数
w( x, y ) 1 2 x 12 xy
3
f x, y
w f x, y x y y
w f x, y y x x
D Dz
薄板弯曲问题的有限元法
结点 位移函数 位移 用插值方法求 内部各点位移
几何方程
结点力
平衡方程
应力
物理方程
应变
内力与应力的关系
薄板内力微元体如图所示。

h/2
- h/2
yx zdxdz
h/2 - h/2
y
h/2
- h/2
x zdydz

h/2
- h/2
x xy zdydz
该转角的确定包含了单元全部结点位移参数，由于非公共 边上结点位移的协调关系不能保证，因此一般
综上所述，本节构造的位移场不能完全满足收敛的协调性 准则，具体为挠度及切向转角跨单元协调，法向转角跨单 元不协调，因此该单元不是完全协调元。
弹性薄板矩形（R12）单元
4) 非完全协调元的收敛性
4 i 1
w N i d i N d
已知支座位移问题时
薄板弯曲问题的有限元法
结点 位移函数 位移 用插值方法求 内部各点位移
几何方程
结点力
平衡方程
应力
物理方程
应变
几何方程
u w x z 2 x x 2 v w y z 2 y y 2 v u w xy 2 z x y xy
My1
w3 2 y z 3
x
x3 y3
考虑到挠度是非完全四次式，为使自动满足 它点为零N1(j)=0 ，可设
N 1 (1 )(1 )( a b c d e )
2 2
利用所有点N1的导数为零条件，再由本点处 位移的条件，可得
N 1 (1 )(1 )( 2 - )/8
A 1 e Ba Ba A B e
1 e
几何矩 阵
薄板弯曲问题的有限元法
结点 位移函数 位移 用插值方法求 内部各点位移
几何方程
结点力
平衡方程
应力
物理方程
应变
物理方程
挤压应力引起的形变可以略去不计
1 x x y E 1 y y x E 1 21 xy xy xy G E
结点力
三个结点力分量：
i Wi | TY | Tyi 竖向力、绕X轴的力偶、绕 xi轴的力偶


薄板弯曲问题的有限元法
单元分析
F K
e e
e
单元刚度矩阵，为一12×12的方阵。
薄板弯曲问题的有限元法 单元分析
结点 位移函数 位移
用插值方法求 内部各点位移
几何方程
结点力
平衡方程
应力


E x y x 2 1 E y y x 2 1 E xy xy 21 E 1 xy 2 1 2
物理方程
x 1 E y 2 1 xy 0 0 x 1 0 y 1 0 xy 2


e
对于薄板等位移场非完全协调的位移模式,如 何才能保证收敛呢? Irons 给出了小片检验准则： 用待检验的单元组成一小片，在无荷载、单 元结点位移满足“常应变”状态位移条件时，如 果各结点能够保持平衡且获得“常应力”受力状 态，则这种位移模式对应的单元在如此网格下一 定收敛。
弹性薄板矩形（R12）单元
xydydz x dydz

y zdxdz z
由图可得

' x h/2
h/2
- h/2
yx zdxdz
h/2 - h/2
y
h/2
- h/2
x zdydz

h/2
- h/2
x xy zdydz
xydydz x dydz

' y
y zdxdz z
弯矩
M x zdzdy
小片检验的具体做法： • 取某一单元小片，对小片的每一结点给以对应 取某一单元小片，并在小片的边界上给出对 于完全二次多项式的结点位移。 应于完全二次多项式的边界条件。 • 每一单元按 按此位移模式进行（在无荷载作用下的）单元、 • Fe=keδe求单元结点力，式中ke为对 整体分析，并在上述位移边界条件下求解。 应所考察位移模式的单元刚度矩阵。 • 若所求得的结点位移构造的小片上的挠度为 • 检验小片内部结点处是否均满足结点的自平 一完全二次多项式，则单元的位移模式通过分 衡条件，若条件均成立，则单元位移模式能通 片检验。 当程序无法计算 过小片检验。
N x1 i 1 0
b2 c2 d 2 0 N x1 1 N x1 0 (2) y b i 2 a2 e2 N x1 最后利用本点1，确 0 (3) , (4) x i 4,1 定a2=b/8，代回
(1)
弹性薄板矩形（R12）单元
w N i d i N d
i 1
4


e
是非完全协调的。
弹性薄板矩形（R12）单元
位移的非完全协调性证明： 1） 相邻单元公共边挠度：
结点位移协调： 代入可以验证位移满足协调条件：
2） 相邻单元公共边切向转角：
弹性薄板矩形（R12）单元
位移的非完全协调性证明： 3） 相邻单元公共边法向转角：
平分厚度的平面称中面。
板面位移如图所示。
当挠度w小于板厚h时，克希霍夫(G.kirchhoff) 假定成立：
薄板弯曲问题的有限元法
基本假设（小挠度）
1、薄板在弯曲变形后，薄板的法线没有伸缩； 2、薄板的法线，在薄板弯扭以后，保持为薄板 弹性曲面的法线； 3、薄板的中平面，在薄板弯曲后，面上各点没 有平行于中平面的位移；
N xi
N yi

My1
x3 y3

4
N 4
则薄板的挠度场可由结点位移表示为
w N i d i N d
i 1


e
单元间位移的协调性 可以证明，上述w在边线上任意一点的挠度 和转角都是三次多项式。
弹性薄板矩形（R12）单元
4 因此，边线的挠度和转角 1 x My1 可由两端点的挠度和沿边线导 数对应的转角唯一地确定。 w3 x3 2 3 但是，边界法向转角 y y3 z 只有两端两个法向转角位 移条件，当然无法唯一地确定，所以相邻单元法 向转角位移不协调。 由此可见，由形函数所建立的挠度场 Q1 Mx1
其他形函数Ni、Nxi 、Nyi 记 0 = i ； 0= i 仿N1可得:
Q1 Mx1 1 4
My1
w3 2 y z 3
x
N i (1 0 )(1 0 )
x3 y3
( 2 0 0 2 2 )/8
对于转角xi相关的形函数，同样思路推导可得 对于转角yi相关的形函数，可推导得 ，

1 0


3
2w 2 x 0 2 w 0 2 1 y2 w 2 2 xy
4、挤压应力引起的形变可以略去不计。
薄板弯曲问题的有限元法
离散化
离散化 是指对连续 结构进行剖 分。
单元分析
单元分析 的任务就是要 建立单元结点 处力学参数之 间的关系。
整体分析
整体分析 的任务是保证 结构从离散状 态恢复原状所 必需的。
薄板弯曲问题的有限元法
离散化
各单元之间只在结点处连接；单元的形状， 一般采用三角形、矩形或多边形。
位移函数
A
e
A
1
e
w( x, y ) f x, y f x, y A
1
e
弹性薄板矩形（R12）单元
试凑形函数N1 由形函数性质，对N1有: N1(1)=1；N1(j)=0，j=2,3,4 N1对x，y的偏导数在各结 点处均为零。
Q1 Mx1 1 4
N xi b i (1 0 )(1 0 )(1 - )/8
2
N yi a i (1 0 )(1 0 )(1 - 2 )/8
弹性薄板矩形（R12）单元
薄板的挠度场 有了每一结点的形函数,记
Q1 1 Mx1 4 x w3 2 y z 3
N i N i N N 1
M y zdzdx
M xy zdzdy
' xy - h/2
- h/2 h/2
- h/2 h/2
扭矩
M
' yx
yx zdzdx
- h/2
h/2
内力与应力的关系
Mx 3 Eh M My 2 12 1 M xy 1 0
2 2
弹性薄板矩形（R12）单元
课堂练习： 试凑形函数Nx1？ 由形函数性质，对Nx1有:Nx1(i)=0，i=1,2,3,4 Nx1对x，y（本点除外）的偏导数在各结点均为 零。 考虑到挠度是非完全四次式，设
2 2 2 N x1 (1 N )(1 )( a b c d e ) )(12 )(12 )/8 2 2 x1 b (1 2
2
x y z xy
弯扭变形列阵
几何方程
2w 2 2 4 6 7 x 2 8 y 611xy x 2 w 2 2 6 2 9 x 610 y 612 xy x 2 w 2 x 2 y 3 x 2 3 y 2 5 8 9 11 12 xy
w u z f1 x, y x
v w z y w v z f 2 x, y y
u | z 0 v | z 0 0
w w 薄板的中平面，在薄板弯曲后，面上各点 u z v z w w( x, y ) 没有平行于中平面的位移； y x
薄板弯曲问题
平面应力： z xz yz 0
y
z
x
与平面应力问题 不同，薄板弯曲问题 是具有图示几何特征 的结构在横向荷载作 用下的分析。
弹性薄板基本概念
所谓薄板是指板厚h比板 最小尺寸b在如下范围的平 1 1 h 1 1 板 ~ ~
100 80 b 8 5
w
u
x
v
y z 中面
薄板弯曲问题的有限元法
单元分析
结点 位移函数 位移
用插值方法求 内部各点位移
几何方程
结点力
平衡方程
应力
物理方程
应变
结点位移
三个位移分量：
w w wi | | i 挠度、绕X轴的转角、绕 Y 轴的转角 y i x i
弹性薄板矩形（R12）单元
薄板的形函数可以用 广义坐标法，也可以用试 凑法得到。由于单元自由 度为12，因此可有12个广 义坐标，位移模式可设为 如下不完全四次多项式
Q1 1 Mx1 4
My1
w3 2 y z 3
x
x3 y3
w a1 a2 x a3 y a4 x 2 a5 xy a6 y 2 a7 x 3 2 2 3 3 3 a8 x y a9 xy a10 y a11 x y a12 xy