2015-2016年江西省宜春市丰城中学高二(下)期中数学试卷(文科)和答案

2015-2016学年江西省宜春市丰城中学高二（下）期中数学试卷
（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；
1．（5分）要描述一工厂的组成情况，应用（）
A．程序框图B．工序流程C．知识结构图D．组织结构图2．（5分）设集合S＝{x|x≥2}，T＝{x|x≤5}，则S∩T＝（）A．（﹣∞，5]B．[2，+∞）C．（2，5）D．[2，5]
3．（5分）“因为指数函数y＝a x是增函数（大前提），而y＝（）x是指数函数
（小前提），所以y＝（）x是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提错都导致结论错
4．（5分）已知复数z＝，为复数z的共轭复数，则||等于（）
A．1B．C．D．
5．（5分）“x＞1”是“log2（x﹣1）＜0”的（）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（5分）关于x方程||＝的解集为（）
A．{0}B．{x|x≤0，或x＞1}
C．{x|0≤x＜1}D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）
7．（5分）设x，y＞0，且x+2y＝3，则+的最小值为（）
A．2B．C．1+D．3+2
8．（5分）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）
A．B．
C．D．＝0.08x+1.23
9．（5分）观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2401，…，则72016的末两位数字为（）
A．01B．43C．07D．49
10．（5分）若P（﹣2，﹣）是极坐标系中的一点，则Q（2，）、R（2，
）、M（﹣2，）、N（2，2kπ﹣）（k∈Z）四点中与P重合的点有（）个．
A．1B．2C．3D．4
11．（5分）给出以下命题：
①命题“若am2＜bm2”，则“a＜b”的逆命题是真命题；
②命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题；
③已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件；
④命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x≤0”
其中真命题的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
12．（5分）通过随机询问110名大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
由上表算得k≈7.8，因此得到的正确结论是（）
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分；
13．（5分）已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是．
14．（5分）若复数（i为虚数单位）为实数，则实数m＝．15．（5分）若关于x的不等式|x﹣1|﹣|x+m|≥a有解时，实数a的最大值为5，则实数m的值为．
16．（5分）抛物线x2﹣2y﹣6x sinθ﹣9cos2θ+8cosθ+9＝0的顶点的轨迹是（其中θ∈R）．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤）
17．（10分）已知集合A＝{y|y＝x2﹣，x}，B＝{x|x+m2≥1}．（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）若p：x∈A；q：x∈B且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）设函数f（x）＝|x+3|﹣|x﹣1|．
（1）解不等式f（x）≥0；
（2）若f（x）+2|x﹣1|≥m对任意的实数x均成立，求m的取值范围．19．（12分）将圆x2+y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．
（Ⅰ）写出C的参数方程；
（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
20．（12分）下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程＝x+；（2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（1）求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准
煤？
（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5）计算回归系数，．公式为
．
21．（12分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线C的极坐标方程为ρcos（θ﹣）＝1，A，B分别为C与x轴，y轴的交点．
（1）写出C的直角坐标方程，并求A，B的极坐标；
（2）设M为曲线C上的一个动点，＝λ•（λ＞0），||•||＝2，求动点Q 的极坐标方程．
22．（12分）在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线：（t 为参数）与曲线C：（θ为参数）相交于不同的两点A，B．（1）若α＝，求线段AB的长度；
（2）若直线的斜率为，且有已知点P（2，），求证：|P A|•|PB|＝|OP|2．
2015-2016学年江西省宜春市丰城中学高二（下）期中数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；
1．（5分）要描述一工厂的组成情况，应用（）
A．程序框图B．工序流程C．知识结构图D．组织结构图【解答】解：∵组织结构图是最常见的表现雇员、职称和群体关系的一种图表，它形象地反映了组织内各机构、岗位上下左右相互之间的关系．
组织结构图是组织结构的直观反映，也是对该组织功能的一种侧面诠释．
∴要描述一工厂的组成情况，应用组织结构图．
故选：D．
2．（5分）设集合S＝{x|x≥2}，T＝{x|x≤5}，则S∩T＝（）A．（﹣∞，5]B．[2，+∞）C．（2，5）D．[2，5]
【解答】解：∵集合S＝{x|x≥2，T＝{x|x≤5}，
∴S∩T＝{x|2≤x≤5}，
故选：D．
3．（5分）“因为指数函数y＝a x是增函数（大前提），而y＝（）x是指数函数
（小前提），所以y＝（）x是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提错都导致结论错
【解答】解：∵当a＞1时，函数是一个增函数，
当0＜a＜1时，指数函数是一个减函数
∴y＝a x是增函数这个大前提是错误的，
从而导致结论错．
故选：A．
4．（5分）已知复数z＝，为复数z的共轭复数，则||等于（）
A．1B．C．D．
【解答】解：因为||＝|z|，
所以则||＝||＝＝＝，
故选：C．
5．（5分）“x＞1”是“log2（x﹣1）＜0”的（）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由log2（x﹣1）＜0，
得：0＜x﹣1＜1，解得：1＜x＜2，
∴“x＞1”是“log2（x﹣1）＜0”的必要不充分条件，
故选：A．
6．（5分）关于x方程||＝的解集为（）
A．{0}B．{x|x≤0，或x＞1}
C．{x|0≤x＜1}D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）【解答】解：由题意，≥0，
∴x≤0，或x＞1，
∴方程||＝的解集为{x|x≤0，或x＞1}，
故选：B．
7．（5分）设x，y＞0，且x+2y＝3，则+的最小值为（）
A．2B．C．1+D．3+2【解答】解：∵x，y＞0，且x+2y＝3，
∴+＝（+）（x+2y）＝（+）＝（++3）≥（
+3）＝1+
当且仅当＝＝时取等号
故+的最小值为1+
故选：C．
8．（5分）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．＝0.08x +1.23
【解答】解：法一：
由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D 由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5），
将x ＝4分别代入A 、B 、C ，其值依次为8.92、9.92、5，排除A 、B 法二：
因为回归直线方程一定过样本中心点，
将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C 满足，
故选：C ．
9．（5分）观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2401，…，则72016的末两位数字为（ ） A ．01
B ．43
C ．07
D ．49
【解答】解：根据题意，得72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807， 76＝117649，77＝823543，78＝5764801，79＝40353607…， 发现：74k ﹣2的末两位数字是49，74k ﹣1的末两位数字是43，
74k 的末两位数字是01，74k +1的末两位数字是07，（k ＝1、2、3、4、…）， ∵2016＝504×4，
∴72016的末两位数字为01． 故选：A ．
10．（5分）若P （﹣2，﹣
）是极坐标系中的一点，则Q （2，
）、R （2，
）、M （﹣2，）、N （2，2k π﹣）（k ∈Z ）四点中与P 重合的点有
（ ）个． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解答】解：P （﹣2，﹣
）是极坐标系中的一点，可以化为：P （2，
）．
则Q（2，）、R（2，）、M（﹣2，）、N（2，2kπ﹣）（k∈Z）四点都与P重合，
因此与点P重合的点有4个．
故选：D．
11．（5分）给出以下命题：
①命题“若am2＜bm2”，则“a＜b”的逆命题是真命题；
②命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题；
③已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件；
④命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x≤0”
其中真命题的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：①命题“若am2＜bm2”，则“a＜b”的逆命题是若a＜b”，则若am2＜bm2”，为假命题，当m＝0时，am2＜bm2”，不成立，故逆命题是假命题，故①错误；
②命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q至少有一个为真命题，故②错误；
③已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故③错误；
④命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x≤0”正确，故④正确，故选：A．
12．（5分）通过随机询问110名大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
由上表算得k≈7.8，因此得到的正确结论是（）
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
【解答】解：∵7.8＞6.635，
∴有0.01＝1%的机会错误，即有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”
故选：C．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分；
13．（5分）已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是[﹣1，1]．
【解答】解：∵集合P＝{x|x2≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，M＝{a}，且P∪M＝P，∴M⊆P，
∴﹣1≤a≤1，故a的取值范围是[﹣1，1]，
故答案为[﹣1，1]．
14．（5分）若复数（i为虚数单位）为实数，则实数m＝1．【解答】解：复数＝+m＝+m
＝（1﹣m）i，又此复数为实数，∴1﹣m＝0，
故答案为：1．
15．（5分）若关于x的不等式|x﹣1|﹣|x+m|≥a有解时，实数a的最大值为5，则实数m的值为4或﹣6．
【解答】解：令f（x）＝|x﹣1|﹣|x+m|，
由|x﹣1|﹣|x+m|≤|（x﹣1）﹣（x+m）|＝|m+1|，
可得f（x）的最大值为|m+1|，
关于x的不等式|x﹣1|﹣|x+m|≥a有解，
即为a≤|m+1|，
又实数a的最大值为5，
则|m+1|＝5，
解得m＝4或﹣6．
故答案为：4或﹣6．
16．（5分）抛物线x2﹣2y﹣6x sinθ﹣9cos2θ+8cosθ+9＝0的顶点的轨迹是（其中θ∈R）椭圆．
【解答】解：∵x2﹣2y﹣6x sinθ﹣9cos2θ+8cosθ+9＝0，
∴2y＝x2﹣6x sinθ﹣9（1﹣sin2θ）+8cosθ+9
∴y＝（x﹣3sinθ）2+4cosθ，
设该抛物线的顶点为（x，y），则x＝3sinθ，y＝4cosθ，
消去参数θ，得＝1，
即顶点的轨迹是椭圆．
故答案为：椭圆．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤）
17．（10分）已知集合A＝{y|y＝x2﹣，x}，B＝{x|x+m2≥1}．（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）若p：x∈A；q：x∈B且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）y＝x2﹣＝（x﹣）2+，
∵x，
∴≤y≤2，
即集合A＝[，2]；
（Ⅱ）B＝{x|x+m2≥1}＝{x|x≥1﹣m2}．
若p：x∈A；q：x∈B且p是q的充分条件，
则A⊆B，1﹣m2≤，
即m2≥，解得m≥或m≤﹣，
即实数m的取值范围是{m|m≥或m≤﹣}．
18．（12分）设函数f（x）＝|x+3|﹣|x﹣1|．
（1）解不等式f（x）≥0；
（2）若f（x）+2|x﹣1|≥m对任意的实数x均成立，求m的取值范围．
【解答】解：（1）由f（x）≥0等价于|x+3|≥|x﹣1|即（x+3）2≥（x﹣1）2
化简得：8x≥﹣8，解得：x≥﹣1，即原不等式的解集为：{x|x≥﹣1}
（2）∵f（x）+2|x﹣1|＝|x+3|+|x﹣1|≥4，
要使f（x）+2|x﹣1|≥m对任意的实数x均成立，则[f（x）+2|x﹣1|]min≥m
所以m≤4；
19．（12分）将圆x2+y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．
（Ⅰ）写出C的参数方程；
（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
【解答】解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2＝1上，
∴x2+＝1，即曲线C的方程为x2+＝1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．
（Ⅱ）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），
则线段P1P2的中点坐标为（，1），
再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1＝（x﹣），
即x﹣2y+＝0．
再根据x＝ρcosα、y＝ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+＝0，
即ρ＝．
20．（12分）下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程＝x+；
（2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（1）求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5）计算回归系数，．公式为
．
【解答】解：（1）＝＝4.5，＝＝3.5，
＝3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5，
＝32+42+52+62＝86，
∴＝＝＝0.7，
＝3.5﹣0.7×4.5＝0.35．
∴所求的回归方程为＝0.7x+0.35．
（2）现在生产100吨甲产品用煤
＝0.7×100+0.35＝70.35，∴90﹣70.35＝19.65．
∴生产能耗比技改前降低约19.65吨标准煤．
21．（12分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线C的极坐标方程为ρcos（θ﹣）＝1，A，B分别为C与x轴，y轴的交点．
（1）写出C的直角坐标方程，并求A，B的极坐标；
（2）设M为曲线C上的一个动点，＝λ•（λ＞0），||•||＝2，求动点Q 的极坐标方程．
【解答】解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρcos（θ﹣）＝1，展开为
+ρsinθ＝1，可得直线C的直角坐标方程为x+y＝1，即x+y＝2．当θ＝0时，ρ＝2，∴A（2，0）；
当θ＝时，ρ＝，∴B．
（2）由条件可设Q（ρ，θ），，
由条件为所求Q的极坐标方程．22．（12分）在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线：（t 为参数）与曲线C：（θ为参数）相交于不同的两点A，B．（1）若α＝，求线段AB的长度；
（2）若直线的斜率为，且有已知点P（2，），求证：|P A|•|PB|＝|OP|2．【解答】解：（1）由曲线C：（θ为参数），可得C的普通方程是＝1．
当时，直线方程为：（t为参数），
代入曲线C的普通方程，得13t2+56t+48＝0，
则线段AB的长度为
．
（2）证明：将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，
化为：（cos2α+4sin2α）t2+（8sinα+4cosα）t+12＝0，
∵
，
而直线的斜率为，则代入上式求得|P A|•|PB|＝7．
又，
∴|P A|•|PB|＝|OP|2．。