关于Li-Yorke δ-混沌与按序列分布δ-混沌的等价性

关于Li-Yorke δ-混沌与按序列分布δ-混沌的等价性
李健;谭枫
【摘要】关注Li-Yorke混沌和按序列分布混沌的关系,指出全体按序列Q分布δ-攀援偶对构成的集合为乘积空间中的一个Gδ集.证明了: (1)Li-Yorke δ-混沌等价于按序列分布δ-混沌; (2)一致混乱集是按某序列分布攀援集; (3)一类传递系统蕴含了按序列分布混沌.
【期刊名称】《华南师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2010(000)003
【总页数】5页(P34-38)
【关键词】Li-Yorke混沌;按序列分布混沌;传递系统
【作者】李健;谭枫
【作者单位】华南师范大学数学科学学院,广东广州,510631;华南师范大学数学科学学院,广东广州,510631
【正文语种】中文
【中图分类】O192
称(X, f)是一个拓扑动力系统(简称系统或动力系统),如果X是一个赋予度量d的完备可分度量空间和f:X→X是一个连续映射.如果Y⊂X为闭不变子集(即f(Y)⊂Y),则(Y, f|Y)也成为一个动力系统(简记为(Y, f)),称之为(X, f)的一个子系统.
设A是X的非空子集. A的闭包记为对于给定的实数δ>0, 记
[A]δ={xX|infyAd(x,y)<δ}. 乘积空间X×X的对角线记为Δ={(x,x)X×X|xX}.
LI和YORKE在文献[1]中首先用“混沌”一词来描述映射迭代下点的轨道的复杂性.
定义1 设(X, f)是一个动力系统. 称偶对(x,y)X×X是一个Li-Yorke攀援偶对, 如果称集合C⊂X是一个Li-Yorke攀援集, 如果任意的(x,y)C×C\Δ都是Li-Yorke攀援偶对.称系统(X, f)是Li-Yorke混沌的,如果X中存在一个不可数的Li-Yorke攀援集. 对于给定的实数δ>0, 称偶对(x,y)X×X是一个Li-Yorke δ-攀援偶对, 如果
δ.
称集合C⊂X是一个Li-Yorke δ-攀援集,如果任意的(x,y)C×C\Δ都是Li-Yorke δ-攀援偶对.称系统(X, f)是Li-Yorke δ-混沌的,如果X中存在一个不可数的Li-Yorke δ-攀援集.
文献[2]给出了另一种混沌的定义, 通常称之为分布混沌.沿着这一思路, 文献[3]给出了按序列分布混沌的定义,并引发了这方面的相关工作[4-5].
设(X, f)是一个动力系统和是一个严格递增的正整数序列. 设x,yX,实数t>0和整数n≥1, 令
(t)=#{1≤i≤n|d(fmi(x), fmi(y))≤t},
其中#{·}表示一个集合的基数. 令
分别称Φ(xy,Q)和为(x,y)相对序列Q的下分布函数和上分布函数.显然, 对于所有的t>0,有).
定义2 设(X, f)是一个动力系统, Q是一个严格递增的正整数序列.称偶对(x,y)X×X 是一个按序列Q分布攀援偶对, 如果它满足：(1)对任意的实数存在实数δ>0, 使得Φ(xy,Q)(δ)=0.
称集合D⊂X是一个按序列Q分布攀援集,如果任意的(x,y)D×D\Δ都是按序列Q 分布攀援偶对.称系统(X, f)是按序列分布混沌的,如果存在一个严格递增的正整数序列P,使得X中存在一个不可数的按序列P分布攀援集.
对于给定的实数δ>0, 称偶对(x,y)X×X是一个按序列Q分布δ-攀援偶对, 如果它满足定义2的(1)和(2′)Φ(xy,Q)(δ)=0.
称集合D⊂X是一个按序列Q分布δ-攀援集,如果任意的(x,y)D×D\Δ都是按序列
Q分布δ-攀援偶对.称系统(X, f)是按序列分布δ-混沌的,如果存在一个严格递增的正整数序列P,使得X中存在一个不可数的按序列P分布δ-攀援集.
近年来, Li-Yorke混沌和按序列分布混沌引起了众多关注. 文献[1]指出对于单位闭区间[0,1]上的连续映射f:[0,1]→[0,1],如果f有周期为3的周期点,则系统([0,1], f)是Li-Yorke混沌的.文献[6]证明了Devaney混沌(定义见注记3)蕴含Li-Yorke混沌.文献[7]证明了拓扑熵大于0的系统是Li-Yorke混沌的.文献[3]证明了系统([0,1], f)是Li-Yorke混沌的当且仅当它是按序列分布混沌的.文献[4]证明了弱混合蕴含按序列分布混沌.
本文关注Li-Yorke混沌与按序列分布混沌的关系和一类传递系统的混沌性态. 本文的结构如下: 第1节给出按序列Q分布攀援偶对的一个等价定义,并指出全体按序列Q分布δ-攀援偶对构成的集合为乘积空间中的一个Gδ集;第2节证明了可数
Li-Yorke攀援集(或Li-Yorke δ-攀援集)是按某序列分布攀援集(相应地, 按某序列分布δ-攀援集),和Li-Yorke δ-混沌等价于按序列分布δ-混沌;第3节证明了一致混乱集(定义见第3节)是按某序列的分布攀援集和一类传递系统是按序列分布混沌的.
由于一个严格递增的正整数序列的元素组成的集合是+(全体正整数之集)的一个无限子集, 和+的一个无限子集可按大小顺序排成一个严格递增的正整数序列,我们按这种方式混用这2个概念.设是一个严格递增的正整数序列和P是Q的一个无限子序列. 称上极限
为序列P相对序列Q的上密度, 记作).
对于每个a[0,1], 记Q(a)={P⊂QQ)≥a}.
设(X, f)是一个动力系统, U⊂X是一个非空开集. 令N(x,U,Q)={mQ|fm(x)U}.对于每个a[0,1], 定义
命题1 设(X, f)是一个动力系统和Q是一个严格递增的正整数序列，则对任意
a[0,1]和非空开集U⊂X,(U,Q,Q(a))是一个Gδ集.
证明类似于文献[8]中定理3.2的证明即可.
根据按序列Q分布攀援偶对的定义, 我们容易得到其在乘积空间中的一种等价表述, 其中取乘积空间X×X中的度量为最大值度量, 记为d2,即对任意
(x1,x2),(y1,y2)X×X, d2((x1,x2),(y1,y2))=max{d(x1,y1),d(x2,y2)}.
命题2 设(X, f)是一个动力系统和Q是一个严格递增的正整数序列，则(x,y)X×X为一个按序列Q分布攀援偶对当且仅当它满足：(1)对于任意的实数ε>0,
(x,y)([Δ]ε,Q,Q(1));(2)存在实数δ>0, 使得(x,y)Q(1)).
对于给定的实数δ>0, 则(x,y)X×X为一个按序列Q分布δ-攀援偶对当且仅当它满足命题2的(1)和(2′)(x,y)Q(1)).
命题3 设(X, f)是一个动力系统和Q是一个严格递增的正整数序列和实数δ>0，则全体按序列Q分布δ-攀援偶对构成的集合为乘积空间X×X中的一个Gδ集.
证明将命题1应用到乘积系统(X×X, T×T), 我们有对任意ε>0,([Δ]ε,Q,Q(1))是
X×X中的Gδ集.从而Q(1))也是X×X中的Gδ集. 对上述δ>0,Q(1))也是X×X中的Gδ集.
由按序列Q分布攀援偶对的等价刻画(命题2)知,全体按序列Q分布δ-攀援偶对构成的集合等于Q(1))∩Q(1)).故它为乘积空间X×X中的一个Gδ集.
设(X, f)是一个动力系统. 称集合C⊂X是一个Cantor集,如果C同胚于标准的Cantor三分集. 称集合A⊂X是一个Mycielski集,如果它是可数个Cantor集的并.我们需要如下Mycielski定理,它是处理乘积空间的子集与原空间的子集之间关系的一个重要工具.
定理1[9](Mycielski定理) 设X是一个没有孤立点的完备可分度量空间，如果R是X×X的一个稠密Gδ集，则存在一个稠密的Mycielski集K⊂X, 使得K×K\Δ⊂R. 引理1[5] 设是一个由严格递增的正整数序列组成的序列，则存在一个严格递增的正整数序列Q, 使得对任意正整数i, 都有
定理2 设(X, f)是一个动力系统和实数δ>0，如果C⊂X是一个可数的Li-Yorke攀援集(或Li-Yorke δ-攀援集)，则存在一个严格递增的正整数序列Q,使得C是一个按序列Q分布攀援集(相应地, 按序列Q分布δ-攀援集).
证明设可数的Li-Yorke攀援集C={xiX|i+}.由Li-Yorke攀援集的定义, 对任意i≠j+,存在δij>0, 使得
故存在严格递增的正整数序列和使得
根据引理1, 存在一个严格递增的正整数序列Q,使得对任意i≠j+, 有
从而对任意i≠j+和实数t>0, 存在Nt+, 使
得当k≥Nt时, 有即N((xi,xj),[Δ]t,Q)⊃). 故
所以(xi,xj)([Δ]t,Q,Q(1)). 类似地,我们有(xi,xj)Q(1)). 由分布攀援偶对的等价刻画命题2知,C是一个按序列Q分布攀援集.
如果C是一个Li-Yorke δ-攀援集,则上面的δij均可取为δ,从而C是一个按序列Q 分布δ-攀援集.
注记1 文献[10]构造了一个可数紧致空间X上的一个同胚, 它以整个空间X为攀援集, 从而存在一个严格递增的正整数序列Q,使得X是一个按序列Q分布攀援集. 根据文献[10]中定理4.3的做法, 可以构造Cantor集C上的一个同胚, 它以整个空间C为按某序列的分布攀援集.
定理3 设(X, f)是一个动力系统和实数δ>0.则(X, f)是Li-Yorke δ-混沌的当且仅当(X, f)是按序列分布δ-混沌的.
证明由于按序列Q的分布攀援偶对都是Li-Yorke攀援偶对, 充分性是显然的.下证
必要性. 设不可数集D⊂X是系统(X, f)的一个Li-Yorke δ-攀援集.因为X是完备可分度量空间, 不妨设D是一个无孤立点的不可数集.令于是X0是一个无孤立点的完备可分度量空间.取D的一个可数稠密子集C. 根据定理2,存在一个严格递增的正整数序列Q,使得C是一个按序列Q分布δ-攀援集.
用R表示系统(X, f)的全体按序列Q分布δ-攀援偶对构成的集合.根据命题3, R为乘积空间X×X中的一个Gδ集. 从而R∩(X0×X0)为X0×X0中的Gδ集. 因为C在D中稠密,D在X0中稠密, 所以C×C\Δ在X0×X0中稠密. 又因为C×C\Δ
⊂R∩(X0×X0), 所以R∩(X0×X0)为X0×X0中的一个稠密Gδ集. 根据Mycielski 定理,存在X0的一个稠密Mycielski集K, 使得K×K\Δ⊂R∩(X0×X0).由R的定义知K是系统(X, f)的一个按序列Q分布δ-攀援集. 由于一个Mycielski集是不可数的, 故系统(X, f)是按序列分布δ-攀援集的.
注记2 设(X, f)是一个动力系统和实数δ>0.如果X是一个无孤立点的完备可分度量空间,系统(X, f)有一个稠密的Li-Yorke δ-攀援集.则在定理3的证明中可要求C在X中稠密,从而系统(X, f)有一个稠密的Mycielski的按序列Q分布δ-攀援集.
注记3 下面我们将看到许多常见的系统都是Li-Yorke δ-混沌的, 从而它也是按序列分布δ-混沌的.
(1)对于I=[0,1]上的动力系统(I, f), 文献[11]证明了如果(I, f)有一个Li-Yorke攀援偶对,则存在实数δ>0, 使得它是Li-Yorke δ-混沌的,从而它也是按序列分布δ-混沌的.
(2)对于符号系统的子转移系统(定义见文献[12]), 如果它是Li-Yorke混沌, 则存在实数δ>0,使得它是Li-Yorke δ-混沌, 从而它也是按序列分布δ-混沌的.
(3)设(X, f)是一个动力系统, 如果X是一个紧致度量空间,则可定义系统的拓扑熵.文献[7]证明了正熵蕴含Li-Yorke混沌.通过其证明过程(文献[7]中定理2.3)可知:若(X, f)具有正拓扑熵, 则存在实数δ>0,使得它是Li-Yorke δ-混沌, 从而它也是按序列分
布δ-混沌的.
(4)设(X, f)是一个动力系统.称系统(X, f)是拓扑传递的(简称传递的),如果对任意非空开集U,V⊂X, 存在n+使得fn(U)∩V≠成立.称系统(X, f)是Devaney混沌的, 如果它是非周期的传递系统且周期点稠密.文献[13]证明了: 如果(X, f)是Devaney混沌的, 则存在实数δ>0,使得它是Li-Yorke δ-混沌, 从而它也是按序列分布δ-混沌的. (5)设(X, f)是一个动力系统. 称系统(X, f)是弱混合的,如果乘积系统(X×X, f×f)是传递的.根据文献[14]的主要结果知: 如果(X, f)是弱混合的, 则存在实数δ>0,使得它是Li-Yorke δ-混沌, 从而它也是按序列分布δ-混沌的.
传递系统是拓扑动力系统研究的一类重要对象. 本节将证明一致混乱集是按某序列分布攀援集和一类较广泛的传递系统是按序列分布混沌的.
定义3[15] 设(X, f)是一个动力系统和A是X的一个非空子集.
(1)称A是一致proximal的, 如果对任意ε>0, 存在k+, 使得对任意x,yA, 有
(2)称A是一致刚性的, 如果对任意ε>0, 存在k+, 使得对任意xA, 有d(fk(x),x)<ε.
(3)称A是系统(X, f)的一个一致混乱集,如果存在一个Cantor集列C1⊂C2⊂…,使得和对任意N+,∪Ni=1Ci既是一致proximal的又是一致刚性的.
定理4 设(X, f)是一个动力系统. 如果A⊂X是系统的一个一致混乱集,则存在一个严格递增的正整数序列Q,使得A是一个按序列Q分布攀援集.
证明由一致混乱集的定义, 存在一个Cantor集列C1⊂C2⊂…,使得和对任意N+,既是一致proximal的, 又是一致刚性的.再由一致proximal和一致刚性的定义, 对任意N+,存在严格递增的正整数序列和使得对任意(x,y)AN×AN\Δ, 有
且
d(fmk(x), fmk(y))=d(x,y)>0.
根据引理1, 存在一个严格递增的正整数序列Q,使得对任意N+, 有接下来类似于定理2的证明可得,A是一个按序列Q分布攀援集.
文献[15]给出了一致混乱集的一个判定准则:
定理5 设(X, f)是一个传递系统, 且X是一个无孤立点的紧致度量空间.如果存在(X, f)的子系统(Y, f)使得(X×Y, f×f)是传递的, 则(X, f)有一个稠密的Mycielski的一致混乱集.
根据文献[15]可知,一类较广泛的传递系统都满足定理5的条件(相关定义见文献[15]或文献[12]).具体有:
推论1[15] 设(X, f)是一个动力系统, 且X是一个无孤立点的紧致度量空间.如果系统(X, f)满足以下任何一个条件：
(1)(X, f)是有不动点的传递系统,
(2)(X, f)是有周期点的完全传递系统,
(3)(X, f)是扩散系统,
(4)(X, f)是有等度连续极小集的弱扩散系统,
(5)(X, f)是弱混合系统,
则(X, f)有一个稠密的Mycielski的一致混乱集. 进一步, 如果(X, f)是传递的且有一个周期为d的周期点,则存在(X, fd)的一个子系统(X0, fd), 使得(X0, fd)有一个稠密的Mycielski的一致混乱集. 特别地,(X, f)有一个Mycielski的一致混乱集.
推论2 设(X, f)是一个动力系统.如果(X, f)满足定理5或推论1的条件,则(X, f)是按序列分布混沌的.
最后我们提出一个未解决的问题: Li-Yorke混沌是否蕴含按序列分布混沌?
致谢作者衷心感谢吕杰教授的指导、鼓励和审稿人认真仔细的审阅！
Key words： Li-Yorke chaos; distributional chaos in a sequence; transitive system
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