弹性力学试题及答案

《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）
一、填空题（每小题4分）
1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。

2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。

3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D
=⎰⎰
2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆
截面内的扭矩M 。

4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。

5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：
0,=+i j ij X σ ，)(2
1,,i j j i ij u u +=ε。

二、简述题（每小题6分）
1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。

圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显着的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。

作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。

（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。

2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。

题二（2）图
（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩
⎨⎧=+++= )(),(),(3
3
223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 ? 已知。

试求薄板面积的改变量S ∆。

题二（3）图
设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l ∆。

由q E
)1(1με-=得，
设板在力P 作用下的面积改变为S ∆，由功的互等定理有： 将l ∆代入得：
显然，S ∆与板的形状无关，仅与E 、μ、l 有关。

4．图示曲杆，在b r =边界上作用有均布拉应力q ，在自由端作用有水平集中力P 。

试写出其边界条件（除固定端外）。

题二（4）图
（1）0 ,====b
r r b
r r q θτσ； （2）0 ,0====a
r r a r r θ
τσ
（3）
sin cos θτθσθθP dr P dr b a
r b
a
=-=⎰⎰
5．试简述拉甫（Love ）位移函数法、伽辽金（Galerkin ）位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各自的适用性
Love 、Galerkin 位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：
（1）变求多个位移函数),(),,(),,(y x w y x v y x u 或),(),,(θθθr u r u r 为求一些特殊函数，如调和函
数、重调和函数。

（2）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。

适用性：Love 位移函数法适用于求解轴对称的空间问题； Galerkin 位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。

三、计算题
1．图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d 的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P ，设间距d 很小。

试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。

（提示：取应力函数为
θθϕB A +=2sin ） （13分）
题三（1）图
解：d 很小，Pd M =∴，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M 的情形。

将应力函数),(θϕr 代入，可求得应力分量：
θθϕϕσ2s i n 4112222A r r r r r -=∂∂+∂∂=
； 022=∂∂=r
ϕσθ； 边界条件：
（1）0 ,00
00
0==≠=≠=r r r θθ
θθ
τσ； 0 ,00
==≠=≠=r r r πθθ
πθθ
τσ
代入应力分量式，有
0)2(12
=+B A r 或 02=+B A （1）
（2）取一半径为r 的半圆为脱离体，边界上受有：θτσr r ,，和M = Pd
由该脱离体的平衡，得 将θτr 代入并积分，有
02sin 22
=++-M B
A π
πθ 得 0=+M B π （2）
联立式（1）、（2）求得：
ππPd M B -=-=，π
2Pd A =
代入应力分量式，得
2
2sin 2r Pd r θπσ-==； 0=θσ； 22
sin 2r Pd r θπτθ
-=。

结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远
处可适用。

2．图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力x σ由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求出y xy στ,，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。

（12分）
题三（2）图
解：（1）求横截面上正应力x σ
任意截面的弯矩为306x l q M -=，截面惯性矩为12
3h I =
，由材料力学计算公式有 y x lh
q I My
x 3302-==
σ （1） （2）由平衡微分方程求xy τ、y σ
平衡微分方程： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂(3) 0(2) 0Y y x X y
x y yx xy
x σττσ
其中，0,0==Y X 。

将式（1）代入式（2），有 积分上式，得 利用边界条件：02
=±=h
y xy
τ，有
0)(4312230=+x f h x lh q 即 2
23
0143)(h x lh
q x f -= )41(32
223
0h y x lh q xy -=
τ （4）
将式（4）代入式（3），有
0)41(62230=∂∂+-y h y x lh q y σ 或 )41(6223
0h y x lh
q y y --=∂∂σ 积分得
利用边界条件：
x l
q h
y y
2
-
=-=σ，02
=+=h
y y σ
得：
由第二式，得
将其代入第一式，得
x l
q
x l q x l q 00022-=--
自然成立。

将)(2x f 代入y σ的表达式，有
x l q
y h y x lh
q y 2)413(602330---=σ （5）
所求应力分量的结果：
)41(32
223
0h y x lh q xy -=
τ （6）
校核梁端部的边界条件：
（1）梁左端的边界（x = 0）：
022
=⎰
-=h
h x x
dy σ，022
=⎰-=h h x xy
dy τ 代入后可见：自然满足。

（2）梁右端的边界（x = l ）： 可见，所有边界条件均满足。

检验应力分量y xy x στσ,,是否满足应力相容方程： 常体力下的应力相容方程为
将应力分量y xy x στσ,,式（6）代入应力相容方程，有
xy lh q x y
x 3
02212)(-=+∂∂σσ，xy lh q y y x 302212)(-=+∂∂σσ
显然，应力分量y xy x στσ,,不满足应力相容方程，因而式（6）并不是该该问题的正确解。

3．一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l ，抗弯刚度EI 为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为k 。

梁受有均匀分布载荷q 作用，如图所示。

试：
（1）构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度试函数)(x w ；
（2）用最小势能原理或Ritz 法求其多项式形式的挠度近似解（取1项待定系数）。

（13分）
题二（3）图
解：两种形式的梁挠度试函数可取为
)()(23212 +++=x A x A A x x w —— 多项式函数形式
)2cos
1()(1
∑=-=n
m m l
x
m A x w π —— 三角函数形式 此时有：
即满足梁的端部边界条件。

梁的总势能为 取：2
1)(x A x w =，有
12
22A dx
w
d =，21)(l A l w = 代入总势能计算式，有
由0=Πδ，有
代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为
4．已知受力物体内某一点的应力分量为：
0=x σ，MPa 2=y σ，MPa 1=z σ，MPa 1=xy τ，0=yz τ，MPa 2=zx τ，试求经过该点的平面13=++z y x 上的正应力。

（12分）
解：由平面方程13=++z y x ，得其法线方向单位矢量的方向余弦为
11
11
3112
2
2
=
++=
l ，11
31
3132
2
2
=
++=
m ，11
11
3112
2
2
=
++=
n
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=102021210ij σ， {}⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=131111n m l L
《弹性力学》课程考试试卷
学号： 姓名： 工程领域： 建筑与土木工程 题号 一
二
三
四
五
总分
得分
考试时间：120分钟 考试方式：开卷 任课教师：杨静 日期：2007年4月28日
一、简述题（40分）
1. 试叙述弹性力学两类平面问题的几何、受力、应力、应变特征，并指出两类平面问题中弹性常
数间的转换关系。

2. 弹性力学问题按应力和位移求解，分别应满足什么方程？ 3. 写出直角坐标下弹性力学平面问题的基本方程和边界条件？ 4. 写出弹性力学按应力求解空间问题的相容方程。

5. 求解弹性力学问题时，为什么需要利用圣维南原理？
6. 试叙述位移变分方程和最小势能原理，并指出他们与弹性力学基本方程的等价性
7. 试判断下列应变场是否为可能的应变场？（需写出判断过程）
)(22y x C x +=ε，2Cy y =ε，Cxy xy 2=γ。

8. 试写出应力边界条件： （1）（a ）图用极坐标形式写出； （2）（b ）图用直角坐标形式写出。

（a ）图 （b ）图
二、计算题（15分）
已知受力物体中某点的应力分量为：
0=x σ，a y 2=σ，a z =σ，a xy =τ ，0=yz τ，a zx 2=τ。

试求作用在过此点的平面13=++z y x 上的沿坐标轴方向的应力分量，以及该平面上的正应力和切应力。

三、计算题（15分）
图示矩形截面悬臂梁，长为l ，高为h ，在左端面受力P 作用。

不计体力，试求梁的应力分量。

（试取应力函数Bxy Axy +=3
ϕ）
四、计算题（15分）
图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d 的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P ，设间距d 很小。

试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。

（试取应力函数
θθϕB A +=2sin ） 五、计算题（15分）
如图所示的悬臂梁，其跨度为l 。

抗弯刚度为EI ，在自由端受集中力P 作用。

试用最小势能原理求最大挠度。

（设梁的挠度曲线)2cos
1(l
x
A w π-=）
《弹性力学》试题（答题时间：120分钟）
班级 姓名 学号
题号 一
二 三
总 分
（1） （2） （3） （4） 得分
一、填空题（每小题4分）
1．用最小势能原理求解时所假设的位移试函数应满足： 。

2．弹性多连体问题的应力分量应满足 ， ， ， 。

3．拉甫（Love ）位移函数法适用 空间问题；伽辽金（Galerkin ）位移函数法适用于 空间问题。

4．圣维南原理的基本要点有 ， ， 。

5．有限差分法的基本思想为： ， 。

二、简述题（每小题5分）
1．试比较两类平面问题的特点，并给出由平面应力到平面应变问题的转换关系。

2．试就下列公式说明下列问题：
（1）单连体问题的应力分量与材料的弹性常数无关； （2）多连体弹性力学问题中应力分量与弹性常数无关的条件。

式中：)(),(11z z ψϕ均为解析函数；)(),(11z z **ψϕ均为单值解析函数。

3．试列写图示半无限平面问题的边界条件。

题二（3）图
4．图示弹性薄板，作用一对拉力P 。

试由功的互等定理证明：薄板的面积改变量S ∆与板的形状无关，仅与材料的弹性模量E 、泊松比 ? 、两力P 作用点间的距离l 有关。

题二（4）图
5．下面给出平面问题（单连通域）的一组应变分量，试判断它们是否可能。

),(22y x C x +=ε,2Cy y =εCxy xy 2=γ。

6．等截面直杆扭转问题的应力函数解法中，应力函数),(y x ϕ应满足：
式中：G 为剪切弹性模量；K 为杆件单位长度扭转角。

试说明该方程的物理意义。

三、计算题
1． 图示无限大薄板，在夹角为90°的凹口边界上作用有均匀分布剪应力q 。

已知其应力函数为： 不计体力，试求其应力分量。

（13分）
题三（1）图
2．图示矩形截面杆，长为l ，截面高为h ，宽为单位1，受偏心拉力N ，偏心距为 e ，不计杆的体力。

试用应力函数2
3
By Ay +=ϕ求杆的应力分量，并与材料力学结果比较。

（12分）
题三（2）图
3．图示简支梁，其跨度为l ，抗弯刚度EI 为常数，受有线性分布载荷q 作用。

试求：
（1）用三角函数形式和多项式写出梁挠度（w ）近似函数的表达式；
（2）在上述梁挠度（w ）近似函数中任选一种，用最小势能原理或Ritz 法求梁挠度（w ）的
近似解（取2项待定系数）。

（13分）
题三（3）图
4．图示微小四面体OABC，OA = OB = OC，D为AB的中点。

设O点的应变张量为：
试求D点处单位矢量v、t方向的线应变。

（12分）
题三（4）图
2011----2012学年第二学弹性力学模拟考试试卷题号一二三四五六七八九十总分评分
评卷教师
一．名词解释（共10分，每小题5分）
1.弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。

2. 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显着的改变，但是远处所受的影响可以不计。

二．填空（共20分，每空1分）
1.边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式，它可以
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。

2.体力是作用于物体体积内的力，以单位体积力来度量，体力分量的量纲为L-2MT-2；面力是
作用于物体表面上力，以单位表面面积上的力度量，面力的量纲为L-1MT-2；体力和面力符号的规定为以沿坐标轴正向为正，属外力；应力是作用于截面单位面积的力，属内力，应力的量纲为L-1MT-2，应力符号的规定为：正面正向、负面负向为正，反之为负。

3.小孔口应力集中现象中有两个特点：一是孔附近的应力高度集中，即孔附近的应力远大于
远处的应力，或远大于无孔时的应力。

二是应力集中的局部性，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍孔口尺寸的范围内。

4. 弹性力学中，正面是指外法向方向沿坐标轴正向的面，负面是指外法向方向沿坐标轴负向的面。

5. 利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含结构离散化、单元分析、
整体分析三个主要步骤。

三．绘图题（共10分，每小题5分）
分别绘出图3-1六面体上下左右四个面的正的应力分量和图3-2极坐标下扇面正的应力分量。

图3-1
图3-2
四．简答题（24分）
1.（8分）弹性力学中引用了哪五个基本假定？五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？
答：弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为：（答出标注的内容即可给满分）
1）连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

2）完全弹性假定：这一假定包含应力与应变成正比的含义，亦即二者呈线性关系，复合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。

3）均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。

因此，反应这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E 和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化。

4）各向同性假定：各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的，也就是说，物体的弹性常数也不随方向变化。

5）小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变，而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。

同时，在研究物体的变形和位移时，可以将它们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方程。

2. （8分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特征？ 答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：
平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于xy 平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量x σ,y σ,xy τ存在，且仅为x,y 的函数。

平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy 平面，外力沿z 轴无变化，只有平面应变分量x ε,y ε,xy γ存在，且仅为x,y 的函数。

3. （8分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数Φ求解，应力函数Φ必须满
足哪些条件？
答：（1）相容方程：04
=Φ∇
（2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，σs s =）：()()()上在στστσs s f l m f m l y
s xy y x s yx x =⎪⎩⎪⎨
⎧=+=+
（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。

五． 问答题(36)
1. （12分）试列出图5-1的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界
条件。

（板厚1=δ）
图5-1
解：在主要边界2h y ±=上，应精确满足下列边界条件：
()
l qx h y y -=-=2
σ，()
02
=-=h y yx
τ； ()
02
=+=h y y
σ，()
12
q h y yx
-=+=τ
在次要边界0=x 上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚1=δ时，
()⎰+-=-=2
20h h N x x F dy σ，()⎰+-=-=2
20h h x x M ydy σ，()⎰+-=-=2
20h h S x xy F dy τ
在次要边界l x =上，有位移边界条件：()0==l x u ，()0==l x v 。

这两个位移边界条件可以改用三
个积分的应力边界条件代替：
()l q F dy h h N x x ⎰+-=+-=2210σ，()2622
20qlh ql l F M ydy S h h x x +---=⎰+-=σ，()2
220ql
F dy h h S x xy --=⎰+-=τ 2. （10分）试考察应力函数3
cxy =Φ，0>c ，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出
图5-2所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢和主矩。

图5-2
解：（1）相容条件：将3
cxy =Φ代入相容方程024422444=∂Φ
∂+∂∂Φ∂+∂Φ∂y
y x x ，显然满足。

（2）应力分量表达式：cxy y
x 62
2=∂Φ
∂=σ，0=y σ，23cy xy -=τ （3）边界条件：在主要边界2h y ±=上，即上下边，面力为()
chx h y y 32
±=±=σ，()2
24
3ch h y xy -=±=τ 在次要边界l x x ==,0上，面力的主失和主矩为
弹性体边界上的面力分布及在次要边界l x x ==,0上面力的主失量和主矩如解图所示。

3. （14分）设有矩形截面的长竖柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q, 如图5-3所示，试求应力
分量。

（提示：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量0=x σ ）
图 5-3
解：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量0=x σ，
(1) 假设应力分量的函数形式。

0=x σ
(2) 推求应力函数的形式。

此时，体力分量为g f f y x ρ==,0。

将0=x σ代入应力公式2
2y x ∂Φ
∂=
σ有022=∂Φ∂=y x σ对x 积分，得
()x f y
=∂Φ
∂， （a ） ()()x f x yf 1+=Φ。

（b ）
其中()x f ，()x f 1都是x 的待定函数。

(3)由相容方程求解应力函数。

将式（b ）代入相容方程04
=Φ，得
这是y 的一次方程，相容方程要求它有无数多的根（全部竖柱内的y 值都应该满足），可见它的
系数和自由项都必须等于零。

()044=dx x f d ，()04
14=dx x f d ，两个方程要求 ()Cx Bx Ax x f ++=23，()231Ex Dx x f += (c)
()x f 中的常数项，()x f 1中的一次和常数项已被略去，因为这三项在Φ的表达式中成为y 的一
次和常数项，不影响应力分量。

得应力函数
()()
2323Ex Dx Cx Bx Ax y ++++=Φ (d)
（4）由应力函数求应力分量。

022=-∂Φ
∂=x x xf y
σ， (e)
gy E Dx By Axy yf x
y y ρσ-+++=-∂Φ
∂=262622， (f)
C Bx Ax y
x xy
---=∂∂Φ∂-=2322τ. (g)
(5) 考察边界条件。

利用边界条件确定待定系数 先来考虑左右两边2b x ±=的主要边界条件：
()02=±=b x x σ，()02=-=b x xy τ，()q b x xy =+=2τ。

将应力分量式(e)和(g)代入，这些边界条件要求：
()02=±=b x x σ，自然满足； ()04
322=-+-=-=C Bb Ab b x xy τ (h)
()
q C Bb Ab b x xy =---
=+=2
2
4
3τ (i) 由（h ）（i ） 得 b
q
B 2-
= （j ） 考察次要边界0=y 的边界条件，应用圣维南原理，三个积分的应力边界条件为
()
()02262
2
22
==+=⎰
⎰+-=+-Eb dx E Dx dx b b y b b y
σ； 得 0=E
()()02263
2
202
2==+=⎰⎰+-=+-Db dx x E Dx xdx b b y b b y σ， 得 0=D
()04332
22
02
2=--
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-=⎰⎰+-=+-bC Ab dx C x b q Ax dx b b y b b xy τ （k ） 由（h ）（j ）（k ）得 2b q A -
=, 4
q
C =
将所得A 、B 、C 、D 、E 代入式（e ）（f ）（g ）得应力分量为：
0=x σ，gy y b q xy b q y ρσ---=26
， 4
322q
x b q x b q xy -+=τ 2009 ~ 2010学年第 二 学期期末考试试卷 （ A ）卷
题号 一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
评分 评卷教师
六．名词解释（共10分，每小题5分）
2.弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。

2. 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显着的改变，但是远处所受的影响可以不计。

七．填空（共20分，每空1分）
4.边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式，它可以
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。

5.体力是作用于物体体积内的力，以单位体积力来度量，体力分量的量纲为L-2MT-2；面力是
作用于物体表面上力，以单位表面面积上的力度量，面力的量纲为L-1MT-2；体力和面力符号的规定为以沿坐标轴正向为正，属外力；应力是作用于截面单位面积的力，属内力，应力的量纲为L-1MT-2，应力符号的规定为：正面正向、负面负向为正，反之为负。

6.小孔口应力集中现象中有两个特点：一是孔附近的应力高度集中，即孔附近的应力远大于
远处的应力，或远大于无孔时的应力。

二是应力集中的局部性，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍孔口尺寸的范围内。

4. 弹性力学中，正面是指外法向方向沿坐标轴正向的面，负面是指外法向方向沿坐标轴负向的面。

5. 利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含结构离散化、单元分析、
整体分析三个主要步骤。

八．绘图题（共10分，每小题5分）
分别绘出图3-1六面体上下左右四个面的正的应力分量和图3-2极坐标下扇面正的应力分量。

图3-1
图3-2
九．简答题（24分）
4.（8分）弹性力学中引用了哪五个基本假定？五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？
答：弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为：（答出标注的内容即可给满分）
1）连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

2）完全弹性假定：这一假定包含应力与应变成正比的含义，亦即二者呈线性关系，复合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。

3）均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。

因此，反应这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化。

4）各向同性假定：各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的，也就是说，物体的弹性常数也不随方向变化。

5）小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变，而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。

同时，在研究物体的变形和位移时，可以将它们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方程。

5.（8分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特征？
答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分
别为：
平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于xy 平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量x σ,y σ,xy τ存在，且仅为x,y 的函数。

平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy 平面，外力沿z 轴无变化，只有平面应变分量x ε,y ε,xy γ存在，且仅为x,y 的函数。

6. （8分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数Φ求解，应力函数Φ必须满
足哪些条件？
答：（1）相容方程：04
=Φ∇
（2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，σs s =）：()()()上在στστσs s f l m f m l y
s xy y x s yx x =⎪⎩⎪⎨
⎧=+=+
（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。

十． 问答题(36)
4. （12分）试列出图5-1的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界
条件。

（板厚1=δ）
图5-1
解：在主要边界2h y ±=上，应精确满足下列边界条件：
()
l qx h y y -=-=2
σ，()
02
=-=h y yx
τ； ()
02
=+=h y y
σ，()
12
q h y yx
-=+=τ
在次要边界0=x 上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚1=δ时，
()⎰+-=-=2
20h h N x x F dy σ，()⎰+-=-=2
20h h x x M ydy σ，()⎰+-=-=2
20h h S x xy F dy τ
在次要边界l x =上，有位移边界条件：()0==l x u ，()0==l x v 。

这两个位移边界条件可以改用三
个积分的应力边界条件代替：
()l q F dy h h N x x ⎰+-=+-=2210
σ，()2622
20qlh ql l F M ydy S h h x x +---=⎰+-=σ，()2
220ql
F dy h h S x xy --=⎰+-=τ 5. （10分）试考察应力函数3
cxy =Φ，0>c ，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出
图5-2所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢和主矩。

图5-2
解：（1）相容条件：将3
cxy =Φ代入相容方程02442244
4=∂Φ
∂+∂∂Φ∂+∂Φ∂y
y x x ，显然满足。

（2）应力分量表达式：cxy y
x 62
2=∂Φ∂=σ，0=y σ，23cy xy -=τ （3）边界条件：在主要边界2h y ±=上，即上下边，面力为()
chx h y y 32±=±=σ，()2
24
3ch h y xy -=±=τ
在次要边界l x x ==,0上，面力的主失和主矩为
弹性体边界上的面力分布及在次要边界l x x ==,0上面力的主失量和主矩如解图所示。

6. （14分）设有矩形截面的长竖柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q, 如图5-3所示，试求应力
分量。

（提示：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量0=x σ ）
图 5-3
解：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量0=x σ，
(1) 假设应力分量的函数形式。

0=x σ
(2) 推求应力函数的形式。

此时，体力分量为g f f y x ρ==,0。

将0=x σ代入应力公式2
2y x ∂Φ
∂=
σ有022=∂Φ∂=y x σ对x 积分，得
()x f y
=∂Φ
∂， （a ） ()()x f x yf 1+=Φ。

（b ）
其中()x f ，()x f 1都是x 的待定函数。

(3)由相容方程求解应力函数。

将式（b ）代入相容方程04
=Φ，得
这是y 的一次方程，相容方程要求它有无数多的根（全部竖柱内的y 值都应该满足），可见它的
系数和自由项都必须等于零。

()044=dx x f d ，()04
14=dx x f d ，两个方程要求 ()Cx Bx Ax x f ++=23，()231Ex Dx x f += (c)
()x f 中的常数项，()x f 1中的一次和常数项已被略去，因为这三项在Φ的表达式中成为y 的一
次和常数项，不影响应力分量。

得应力函数
()()
2323Ex Dx Cx Bx Ax y ++++=Φ (d)
（4）由应力函数求应力分量。

022=-∂Φ
∂=x x xf y
σ， (e)
gy E Dx By Axy yf x
y y ρσ-+++=-∂Φ
∂=262622， (f)
C Bx Ax y
x xy
---=∂∂Φ∂-=2322τ. (g)
(5) 考察边界条件。

利用边界条件确定待定系数 先来考虑左右两边2b x ±=的主要边界条件：
()02=±=b x x σ，()02=-=b x xy τ，()q b x xy =+=2τ。

将应力分量式(e)和(g)代入，这些边界条件要求：
()02=±=b x x σ，自然满足； ()04
322=-+-=-=C Bb Ab b x xy τ (h)
()
q C Bb Ab b x xy =---
=+=2
2
4
3τ (i) 由（h ）（i ） 得 b
q
B 2-
= （j ） 考察次要边界0=y 的边界条件，应用圣维南原理，三个积分的应力边界条件为
()
()02262
2
22
==+=⎰
⎰+-=+-Eb dx E Dx dx b b y b b y
σ； 得 0=E
()()02263
2
202
2==+=⎰⎰+-=+-Db dx x E Dx xdx b b y b b y σ， 得 0=D
()04332
22
02
2=--
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-=⎰⎰+-=+-bC Ab dx C x b q Ax dx b b y b b xy τ （k ） 由（h ）（j ）（k ）得 2b q A -
=, 4
q
C = 将所得A 、B 、C 、
D 、
E 代入式（e ）（f ）（g ）得应力分量为：
0=x σ，gy y b q xy b q y ρσ---=26
， 4
322q
x b q x b q xy
-+=τ。