模糊控制3

[1

(
u
1 25) 5
2
]1
0 25

u u

25 200
当u=30时，
A (u)

1 2
，则
[倾向青年](u) P1 [青年](u)
2
2020年2月10日

d
1 ([青年](u))
2
P 1 称为[倾向]

0 1
2
u 30 u 30
除了前面介绍了的两种算子外，还有 模糊化算子、美化算子、比喻算子、 联想算子 4. 语言值及其四则运算
命题

取值问题 推理问题
2020年2月10日
数理逻辑中的命题，例如：
太阳会自己发出光芒。
真
不懂文字的人是文盲。
再如：
月亮会自己发光。
狗会认字。
假
从上面的例子我们可以看到，数理逻辑的命题 非真即假，非假即真，在处理上表现为二值逻辑。
而世界上有很多东西是不能简单用“真”或“假” 来判别。
2020年2月10日
则可得模糊关系Q对R的合成为
3
S Q R (sij )42 (qik rkj )
k 1
0.5 0.6 0.3
0.7 0.4 0 0.8
1 0
0.2

0.8
1 0.4
X

1
z1
0.2
z2
x1 0.6 0.5
0.9
0.5 0.3
模糊相量可看成特殊形式的模糊关系，一个a论n
域U上的模糊子集，可被视为从它的概念名称 到U的一个模糊关系，这个模糊关系写成矩阵 形式就是模糊相量。
2020年2月10日
…
例1 设论域X={1，2，3，4，5}，X上 的模糊子集“大”的隶属函数为： [大]=0/1+0/2+0.4/3+0.7/4+1/5 写成相量为： [大]=（0，0，0.4，0.7，1） 则这个模糊相量可看作从“大”到U的一 个模糊关系。
x1 0.5 y1 0.2 z1 则 S (x1, z1) 0.5 0.2 0.2
x1 0.6 y2 0.8 z1 则 S (x1, z1) 0.6 0.8 0.6
x1 0.3 y3 0.5 z1 则 S (x1, z1) 0.3 0.5 0.3
即首先取每条路径中隶属度较小者，然后再从 得到的三个数值中取大者，可得
x1 0.5
0.3 0.6
x2 0.5 0.7
x2
x3 x 2020年2月10日4
0.8 0.5
0.4
1

x3
x4
S
Q
Y
y1
0.2 1
y2

y3
Z R
z1 z2
说明： 此例的实际意义可以这样理解：如从x1
经y1或y2、y3到达z1或z2，均有三条路径，
即
肯定程度：“非常” “很” “极” 语义变模糊：“大概” “近似于” 语义由模糊变肯定：“偏向” “倾向”
（1）语气算子
定义： (H A)(u) [ A(u)] 其中 A(u)为论域U的一个模糊子集，H 称为
语气算子， 为一正实数。
2020年2月10日
当 1时，H 称为集中化算子，它能加强语
2.5.3 模糊关系的合成
先讨论普通关系的合成，例如，U是一群人的 集合，弟兄关系用Q表示，父子关系为R，叔 侄关系为S，则Q、R、S是U中的三个普通关系， 现在有甲、乙、丙三人，如果甲是乙的弟弟， 乙是丙的父亲，那么甲必是丙的叔叔，即如果 （甲、乙）∈Q， （乙、丙）∈R，则（甲、丙） ∈S，我们称叔侄关系是弟兄关系与父子关系的 合成。
并设 Q X Y, RY Z, S X Z
y1 y2 y3
x1 0.5 0.6 0.3
Q x2 0.7 0.4
1

x3 x4

0 1
0.8 0 0.2 0.9
2020年2月10日
z1 z2
y1 0.2 1 R y2 0.8 0.4
y3 0.5 0.3
2020年2月10日
2. 集合描述的语言系统
论域U、集合T与模糊关系N之间的关系如下图：
N(a,u)
a
u
A
T
U
N是集合T对论域U的模糊关系，设 N : T U
[0,1]为N(a,u)的隶属度函数，它具有两个变
量，其中a T ,u U.N (a,u) 表示T的单词a与
2020年2月10日 属于U的对象u之间关系的程度。
（3） 求非： P
求非运算真值为： P 1 P 1 A(m)
2020年2月10日
2.7.2 模糊语言
1. 自然语言和形式语言
自然语言是指人们日常生活和工作中所使用 的语言，以字或词为符号的一种符号系统。 形式语言是只起符号作用的语言，如机器语言、 高级语言。 模糊语言：具有模糊概念的语言
5. 模糊语言变量
语言变量以自然或人工语言中的字或句作为变 量。用以表征那些非常复杂或定义很不完善无 法用通常的精确术语进行描述的现象。 模糊语言变量的定义：
一个语言变量可定义为一个五元体 (x,T(x),U,G,M)。
其中，x为变量名； T(x)为x的词集，即语言值名称的集合； U为论域； G是产生语言值名称的语法规则； M是与各语言值含义有关的语法规则（语义规则）
P :" m是A"，m M
模糊命题的真值是介于[0，1]之间的值，是 命题对绝对真的隶属度。
2020年2月10日
模糊命题的特点：
1. 一般形式
Q : m是 A
其中：m是个体变元，m M ；A是命题中的
模糊概念。
2. 真值定义
模糊命题P :" m是A" 的真值仍记作P，并定义为
A (m)，即有：
例如：
她长得很美丽。
模糊命题的概念： 凡是含有模糊概念或具有模糊性的陈述句都 称为模糊命题。
模糊命题可以用符号P、Q、R……表示，例：
P：昨天天气很闷。 Q：这顿饭很香。 R：他有点不舒服。
模糊概念：闷，香，舒服
2020年2月10日
模糊命题符号化：
例如模糊命题： P：他是高个 其中”高个“是一个模糊集合，所以可用A表示。 “他”用m表示，论域是人，用M表示。所以 符号化为：
5. 命题运算 模糊命题有析取、合取、求非运算。
设P、Q是模糊命题： P :" m是A"
2020年2月10日
Q : n是B
（1） 析取（并）：P Q
析取运算真值为：P Q A (m) B (n)
（2） 合取（交）：P Q
合取运算真值为：P Q A (m) B (n)
例3
设论域为成年男子，a为单词“高个子”，u为.1 N (高个，1.55) 0.2 N (高个，1.63) 0.5
N (高个，1.77) 0.9
2020年2月10日
N (高个，1.90) 1
3. 模糊语言算子
自然语言中表达语气的词：
Q (qij )nm R (rjk )ml S (sik )nl m 则有 sik j1(qij rjk ) S Q R 模糊变换
此时模糊关系合成运算性质与模糊矩阵 合成运算性质完全相同
2020年2月10日
例1 设模糊集合X，Y，Z分别为：
X {x1, x2, x3, x4} Y {y1, y2 , y3} Z {z1, z2}
(
X
Q
(u,
v)

X
R
(v,
w))
模糊关系合成是普通关系的合成的推广，
定义：
设U、V、W是论域，Q是U→V的模糊关
系，R是V →W的模糊关系，Q R是U
→W的一个模糊关系
QR
(u,
w)


vV
(Q
(u,
v)

R
(v,
w))
2020年2月10日
当论域有限时，模糊关系的合成用模糊
矩阵的合成表示：
2020年2月10日
P A(m)
3. 当模糊命题的真值为0或1时，则退化为 普通命题。
4. 恒真命题
设论域M，模糊命题为P :" m是A"，如果m M ,
有 A (m) , [0,1], 则称P为 恒真命题。
特别当 1 时，有 A(m) 1 为普通恒真命题。
s11 0.2 0.6 0.3 0.6
因此认为走第二条路径所付出的代价最小。
2020年2月10日
2.6 模糊相量
定义：任意 i（ i =1，2，…，n）都有ai∈[0，1]
则称
(a1, a2 ,..., an ) 为模糊相量 a1 的转置 T为列相量 T a2
0.8
a b aT b 0.6 (0.2 0.4 0.7 1)
0.2
2020年2月10日
0.2 0.4 0.7 0.8
0.2 0.4 0.6 0.6
0.2 0.2 0.2 0.2
2.7 模糊逻辑
逻辑


形式逻辑 数理逻辑
真假
模糊逻辑
模糊性
2.7.1 模糊命题
命题就是一个具有某种意义的陈述句
S是U →W的关系如果（u，w）∈S 存在v ∈V，使得（u，v）∈Q，且 （v，w）∈R，则称S是Q对R的合成。
S Q R 即 Q o R {(u, w) | v V ,
(u, v) Q, (v, w) R}
用特征函数表示为：
X QR 2020年2月10日
(u,
w)


vV
2020年2月10日
模糊相量的笛卡尔积
设有两个模糊相量a，b，对应论域分别
为X、Y，定义： a b aT b
为模糊相量的笛卡尔积，表示它们所在 论域X与Y之间的一个模糊转换关系。
2020年2月10日
例2，已知a=（0.8，0.6，0.2）， b=（0.2，0.4，0.7，1），计算笛卡尔集。
(2) 判定化算子
定义： (P A)(u) d [ A(u)]
式中 P 为判定化算子，d为定义在[0,1]区间上
的实函数，表示为
0 x
d
(
x)


1 2


x
1
(0



1 2
)
1 x 1
2020年2月10日
例如，[青年]的隶属度函数为：

A
(u)


0.8 7

1 8

1 9

1 10
[小]

1 1

0.8 2

0.6 3

0.4 4

0.2 5
那么根据前面介绍的语言算子，则有
[倾向大] [倾向小]

P1 [大]
2
P1
[小]
2

1 6
1 1

1 7
1 2

1 8
1 3

1 9

1 10
[不大也不小] [大]C [小]C
2020年2月10日
先看看自然语言中可数量化的词，如大、小、 多、少、长、短、高、矮等， 结合语言算子之后可派生出：很大、略小、 相当多、比较少、极长、倾向短、不高也不矮。
语言值
2020年2月10日
如果在论域U={1，2，3，…，10}上定义[大]、
[小]的语言值，则它们分别为：
[大]
0.2 4

0.4 5

0.6 6
记作：
S Q R （叔侄=兄弟 父子）
2020年2月10日
或可以说已知甲是丙的叔叔，则一定可 以找到一个乙，使乙是甲的兄弟，且乙 是丙的父亲
即（甲，丙）∈S 乙∈U，
使（甲、乙）∈Q， （乙、丙）∈R
2020年2月10日
一般地，设U、V、W是论域 Q是U→V的关系，R是V →W的关系，
[很老](u) (H2 A)(u) [ A(u)]2

[1

(
u
0 50
5
)2
]2
0 50

u u

50 200
当 1时，H 称为散漫化算子，它可以适当
地减弱语气地肯定程度。
H H 例如：可称H 1 为“微”，1 为“略”3， 为“比
4
2
4
2020年2月10日
2020年2月10日
语言变量的每个语言值对应一个定义在论域U中 的模糊数。语言变量基本词集 把模糊概念与精
确值联系起来，实现对定性概念的定量化以及 定量数据的定性模糊化。
例如，以控制系统的误差作语言变量X，论域 取U=[-6，+6]，“误差”语言变量的原子单词有 “大”、“中”、“小”、“零”，施加适当语气
0.2 0.3 0.6 0.6 0.4 0.2
2
3
4
5
6
7
[很小] H2[小]
1 0.64 0.36 0.16 0.04
12
3
4
5
四则运算
两个模糊数I、J，I J 仍是一个模糊数
表示“＋”“, －”“, •”“, ”
四则运算中的一种。
内容详见《模糊控制 神经控制和智能控制论》 2020年一2月10书日 的第64页（哈工大，李士勇）
气的肯定程度。
不妨称 H 5 为“相当”H，2 为“很H”4， 为“极”
4
[相当老（] u）
(H
5
A)(u)

[
5
A(u)]4
4

[1
(u
0 50)2 5
]
5 4
0 50

u u

50 200
其中 A(u) A (u)为“年老”的隶属度函数。
2020年2月10日