2021届新高考数学模拟试卷及答案解析(4)

2021届新高考数学模拟试题（4）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合{2A =-，1-，0，1，2}，2{|1}B x x =>，则(A B = )
A ．{|1x x <-或1}x >
B ．{2-，2}
C ．{2}
D ．{0}
2．已知复数z 满足31(z i i -=-为虚数单位），则复数z 的模为( ) A ．2
B ．2
C ．5
D ．5
3．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈(1丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为( )尺．
A ．5.45
B ．4.55
C ．4.2
D ．5.8
4．函数31
()()2
x f x x =-的零点所在区间为( )
A ．(1,0)-
B ．1
(0,)2
C ．1(,1)2
D ．(1,2)
5．三个数0.87，70.8，0.8log 7的大小顺序是( ) A ．70.80.8log 70.87<< B ．0.870.8log 770.8<<
C ．70.80.80.87log 7<<
D ．0.870.870.8log 7<<
6．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为56和3
4
，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A ．
1
2
B ．13
C ．
512
D ．
16
7．设,a b 是非零向量，则2a b =是
||||
a b a b =成立的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分又不必要条件
8．已知四棱锥P ABCD -的体积是363，底面ABCD 是正方形，PAB ∆是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球体积为( ) A ．2821π
B ．
99
112
π C ．
63
72
π D ．1083π
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(1P ，)(0)m m <，则下列各式一定为正的是( ) A ．sin cos αα+
B ．cos sin αα-
C ．sin cos αα
D ．
sin tan α
α
10．某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是( )
A ．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前
D ．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前
11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件(2)()f x f x +=-，且函数(1)y f x =-为奇函数，则( ) A ．函数()y f x =是周期函数
B ．函数()y f x =的图象关于点(1,0)-对称
C ．函数()y f x =为R 上的偶函数
D ．函数()y f x =为R 上的单调函数
12．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则( ) A ．以线段AB 为直径的圆与直线3
2
x =-相离
B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切
C ．当2AF FB =时，9||2
AB =
D ．||AB 的最小值为4
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知tan 3α=，则
sin cos sin cos αα
αα
-+的值为 ．
14．二项式261
(2)x x
-的展开式中的常数项是 ．（用数字作答）
15．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线22
22:1x y N m n
-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及
椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 ；双曲线N 的离心率为 ．
16．已知函数()9sin(2)6f x x π
=-，当[0x ∈，10]π时，把函数()()6F x f x =-的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，⋯，
n x ，且123n x x x x <<<⋯<，记数列{}n x 的前n 项和为n S ，则12()n n S x x -+= ．
四、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6
ADC π
∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC ．如图，
在平面四边形ABCD 中，34
ABC π
∠=
，BAC DAC ∠=∠， ，24CD AB ==，求AC ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（12分）已知数列{}n a 满足1*
32121
22()222n n n a a a a n N +-+++⋯+=-∈，4log n n b a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T ．
19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，22AD BC ==，90BAD ABC ∠=∠=︒．
（1）证明：PC BC ⊥；
（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为30︒，求二面角B PC D --的余弦值．
20．（12分）某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：
将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．
（Ⅰ）求a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550，650)，[750，850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；
（Ⅲ）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？
属于“高消费群” 不属于“高消费群”
合计 男 女 合计
（参考公式：2
()()()()
K a b c d a c b d =++++，其中)n a b c d =+++
2()P K k
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点F 与抛物线28y x =焦点重合，且椭圆的离心率为6
，过x 轴
正半轴一点(,0)m 且斜率为3
-的直线l 交椭圆于A ，B 两点． （1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在实数m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，若存在，求出实数m 的值；若不存在说明理由．
22．（12分）已知函数1
()1()2
m f x lnx m R x =+-∈的两个零点为1x ，212()x x x <． （1）求实数m 的取值范围； （2）求证：12112
x x e
+>．
2020届新高考数学模拟试题（4）
答案解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合{2A =-，1-，0，1，2}，2{|1}B x x =>，则(A B = )
A ．{|1x x <-或1}x >
B ．{2-，2}
C ．{2}
D ．{0}
【解析】由B 中不等式解得：1x >或1x <-，即{|1B x x =>或1}x <-， {2A =-，1-，0，1，2}， {2A
B ∴=-，2}，
故选：B ．
2．已知复数z 满足31(z i i -=-为虚数单位），则复数z 的模为( ) A ．2
B ．2
C ．5
D ．5
【解析】31z i -=-，312z i i ∴=-+=+，
∴||5z =．
故选：D ．
3．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈(1丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为( )尺．
A ．5.45
B ．4.55
C ．4.2
D ．5.8
【解析】如图，已知10AC AB +=（尺)，3BC =（尺)，2229AB AC BC -==， 所以()()9AB AC AB AC +-=，解得0.9AB AC -=，
因此100.9AB AC AB AC +=⎧⎨-=⎩，解得 5.454.55AB AC =⎧⎨=⎩
，
故折断后的竹干高为4.55尺， 故选：B ．
4．函数31
()()2
x f x x =-的零点所在区间为( )
A ．(1,0)-
B ．1
(0,)2
C ．1(,1)2
D ．(1,2)
【解析】函数31
()()2x f x x =-是增函数并且是连续函数，
可得111()0282f =-<，f （1）1
102
=->．
1
()2
f f ∴（1）0<，
所以函数的零点在1
(2
，1)．
故选：C ．
5．三个数0.87，70.8，0.8log 7的大小顺序是( ) A ．70.80.8log 70.87<< B ．0.870.8log 770.8<<
C ．70.80.80.87log 7<<
D ．0.870.870.8log 7<<
【解析】0.80771>=，700.81<<，0.80.8log 7log 10<=，
∴70.80.87087log <<．
故选：A ．
6．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为56和3
4
，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A ．
12
B ．13
C ．
5
12
D ．
16
【解析】由于两个零件是否加工为一等品相互独立，
所以两个零件中恰有一个一等品为：两人一个为一个为一个一等品，另一个不为一等品． 53531(1)(1)64643
P ∴=-+-=，
故选：B ．
7．设,a b 是非零向量，则2a b =是||||
a b
a b =成立的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件
D ．既不充分又不必要条件
【解析】对于非零向量,a b ，由2a b =，得,a b 共线同向，则
||||
a b a b =； 反之，由
||||
a b a b =，可得,a b 共线同向，但不一定是2a b =． ∴2a b =是
||||
a b a b =成立的充分不必要条件． 故选：B ．
8．已知四棱锥P ABCD -的体积是363，底面ABCD 是正方形，PAB ∆是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球体积为( ) A ．2821π
B ．
99
112
π C ．
63
72
π D ．1083π
【解析】四棱锥P ABCD -的体积是363，底面ABCD 是正方形， 如图所示：
则：设正方形ABCD 的边长为2x ，在等边三角形PAB 中，过P 点作PE AB ⊥， 由于平面PAB ⊥平面ABCD ， 所以PE ⊥平面ABCD ．
由于PAB ∆是等边三角形，解得3PE x =
所以1
2233633
V x x x =
=， 解得3x =．
设外接球的半径为R ， 所以22(32)(3)21R =+=
所以348421
(21)28213V πππ===．
故选：A ．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(1P ，)(0)m m <，则下列各式一定为正的是( ) A ．sin cos αα+
B ．cos sin αα-
C ．sin cos αα
D ．
sin tan α
α
【解析】角α以Ox 为始边，终边经过点(1P ，)(0)m m <，α∴是第四象限角， sin 0α∴<，cos 0α>，
cos sin αα∴+不一定是正数，故排除A ； cos sin 0αα∴->，故B 正确； cos sin 0αα∴<，故C 一定错误；
∴
sin cos 0tan α
αα
=>，故D 正确， 故选：BD ．
10．某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是( )
A ．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前
D ．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前
【解析】根据图示，对于A ，可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前，故A 正确； 对于B ，乙同学的总排名比较靠前，但是他的逻辑思维排名比较靠后，说明他的阅读表达排名比逻辑排名成绩更靠前，故B 错误．
对于C ，甲乙丙三位同学的逻辑思维排名顺序是甲，丙乙并列，故甲同学最靠前．故C 正确．
对于D ，甲同学的逻辑思维成绩排名更靠前，总成绩排名靠后，即有阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠后，故D 错误． 故选：AC ．
11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件(2)()f x f x +=-，且函数(1)y f x =-为奇函数，则( ) A ．函数()y f x =是周期函数
B ．函数()y f x =的图象关于点(1,0)-对称
C ．函数()y f x =为R 上的偶函数
D ．函数()y f x =为R 上的单调函数 【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A ，函数()y f x =满足(2)()f x f x +=-，则(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，
A 正确；
对于B ，(1)y f x =-是奇函数，则(1)f x -的图象关于原点对称，又由函数()f x 的图象是由(1)y f x =-向左平移1个单位长度得到，故函数()f x 的图象关于点(1,0)-对称，B 正确；
对于C ，由B 可得：对于任意的x R ∈，都有(1)(1)f x f x --=--+，即(1)(1)0f x f x --+-+=，变形可得(2)()0f x f x --+=，则有(2)()(2)f x f x f x --=-=+对于任意的x R ∈都成立，令2t x =+，则()()f t f t -=，即函
数()f x 是偶函数，C 正确；
对于D ，()f x 为偶函数，则其图象关于y 轴对称，()f x 在R 上不是单调函数，D 错误； 故选：ABC ．
12．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则( ) A ．以线段AB 为直径的圆与直线3
2
x =-相离
B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切
C ．当2AF FB =时，9||2
AB =
D ．||AB 的最小值为4
【解析】24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-， 设A ，B ，M 在准线上的射影为A '，B '，M '，
由||||AF AA '=，||||BF BB '=，111
||(||||)(||||)||222
MM AA BB AF FB AB '''=+=+=，
可得线段AB 为直径的圆与准线相切，与直线y 轴相交，故A 对； 当直线AB 的斜率不存在时，显然以线段BM 为直径的圆与y 轴相切；
当直线AB 的斜率存在且不为0，可设直线AB 的方程为y kx k =-，联立24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 可得1224
2x x k
+=+
，121x x =，设1322x =+，2322x =-， 可得M 的横坐标为221k +
，MB 的中点的横坐标为2212(1)2x k ++，2
2
2
2||1|1|BM k x k =+--， 当1k =时，MB 的中点的横坐标为5
22-，1||22MB =，显然以线段BM 为直径的圆与y 轴相交，故B 错；
以F 为极点，x 轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为2
1cos ρθ=
-，
设1(A ρ，)θ，2(B ρ，)πθ+，可得12
1cos ρθ
=-，2221cos()1cos ρπθθ==
-++， 可得
111cos 1cos 1||||22AF BF θθ-++=+=，又||2||AF FB =，可得||3AF =，3||2FB =，则9
||||||2
AB AF FB =+=，故C 正确；
显然当直线AB 垂直于x 轴，可得||AB 取得最小值4，故D 正确． 故选：ACD ．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知tan 3α=，则
sin cos sin cos αααα-+的值为 1
2
．
【解析】tan 3α=，
∴
sin cos tan 1311
sin cos tan 1312
αααααα---===+++．
故答案为：
12
． 14．二项式261
(2)x x -的展开式中的常数项是 60 ．（用数字作答）
【解析】261
(2)x x
-的展开式的通项公式为612316(1)2r r r r r T C x --+=-，
令1230r -=，求得4r =，∴展开式中的常数项是4
26
260C =， 故答案为：60．
15．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线22
22:1x y N m n
-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及
椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M
1- ；双曲线N 的离心率为 ．
【解析】椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线22
22:1x y N m n
-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及
椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，
可得椭圆的焦点坐标(,0)c ，正六边形的一个顶点(2c
，可得：22223144c c a b +=，可得22131144(1)e e
+=-，可得42
840e e -+=，(0,1)e ∈，
解得
1e =-．
n
m
= 可得：223n m =
，即22
2
4m n m
+=，
可得双曲线的离心率为2e =
． 1；2．
16．已知函数()9sin(2)6f x x π
=-，当[0x ∈，10]π时，把函数()()6F x f x =-的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，⋯，
n x ，且123n x x x x <<<⋯<，记数列{}n x 的前n 项和为n S ，则12()n n S x x -+=
5513
π
． 【解析】()()6F x f x =-的零点即()6f x =，即2
sin(2)63
x π-=，
由226
2x k π
π
π-
=+
，k Z ∈，解得12(2)23x k ππ=+，0k =，1，⋯，9，即为sin(2)6
y x π
=-的图象的对称轴方程，
则1223x x π+=
，3483x x π+=，⋯
，1920563
x x π+=， 可得1256290()102333n S πππ=+⨯=
，112229(arcsin 18arcsin )263363
n x x πππ
ππ+=+++-+=， 则1580295512()333
n n S x x πππ
-+=-=
， 故答案为：
5513
π． 四、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6
ADC π
∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC ．如图，
在平面四边形ABCD 中，34
ABC π
∠=
，BAC DAC ∠=∠， ①ABC ∆面积2ABC S ∆= ，24CD AB ==，求AC ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】选择①ABC ∆面积2ABC S ∆=，24CD AB ==，34
ABC π
∠=， 所以2AB =．
故13sin 224
AB BC π⨯⨯⨯=，解得22BC =则：22232cos 4
AC BC AB BC AB π=+-， 解得：25AC =
故答案为：①ABC ∆面积2ABC S ∆=．25AC = 选择②
设BAC CAD θ∠=∠=，则04
π
θ<<，4
BCA π
θ∠=
-，
在ABC ∆中
sin sin AC AB
ABC BCA =
∠∠，即23sin sin()44AC ππθ=-，所以2sin()4AC πθ=- 在ACD ∆中，
sin sin AC CD ADC CAD =
∠∠，即4sin sin 6
AC πθ=，所以2
sin AC θ=．
所以
2sin sin()4
πθθ=
-，解得2sin cos θθ=， 又04π
θ<<
，所以sin θ=
2sin AC θ
== 18．（12分）已知数列{}n a 满足1*32121
22()222
n n n a a a
a n N +-+++⋯+=-∈，4log n n
b a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列11n n b b +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T ．
【解析】（Ⅰ）当1n =时，12a = 当2n 时由1
3212122222n n n a a a a +-+++⋯+=-，312122
22222
n n n a a a a --+++⋯+=-， 两式相减得
1
2
2n
n n a -=， 即212n n a -=，
且上式对于1n =时也成立， 所以数列{}n a 的通项公式212n n a -=． （Ⅱ）因为21421
log 22
n n n b --==， 1
1411
2()(21)(21)2121n n b b n n n n +==--+-+． 所以12231
111
n n n T b b b b b b +=
++⋯+
， 11111
2[(1)()()]3352121n n =-+-+⋯+--+，
1
2(1)21
n =-+， 421
n
n =
+． 19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，22AD BC ==，90BAD ABC ∠=∠=︒．
（1）证明：PC BC ⊥；
（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为30︒，求二面角B PC D --的余弦值．
【解析】（1）取AD 的中点为O ，连接PO ，CO ，
PAD ∆为等边三角形，PO AD ∴⊥．
底面ABCD 中，可得四边形ABCO 为矩形，CO AD ∴⊥， PO
CO O =，AD ∴⊥平面POC ，
PC ⊂平面POC ，AD PC ⊥．
又//AD BC ，所以PC BC ⊥⋯（6分）
（2）由面PAD ⊥面ABCD ，PO AD ⊥知，PO ∴⊥平面ABCD ，OP ，OD ，OC 两两垂直， 直线PC 与平面PAD 所成角为30︒，即30CPO ∠=︒，由2AD =，知3PO =，得1CO =． 分别以,,OC OD OP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，
则(0,0,3)P ，(0D ，1，0)，(1C ，0，0)，(1B ，1-，0)，(0,1,0)BC =，(1,0,3),(1,1,0)PC CD =-=-， 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，∴030y x z =⎧⎪⎨-=⎪⎩，则(3,0,1)n =⋯（8分）
设平面PDC 的法向量为(,,)m x y z =，∴0
30x y x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩
，则(3,3,1)m =⋯（10分）．
27
|cos ,|||||27m n m n m n 〈〉=
==，
∴二面角B PC D --的余弦值为27
-
⋯（12分）
20．（12分）某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：
将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．
（Ⅰ）求a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550，650)，[750，850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；
（Ⅲ）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？
属于“高消费群” 不属于“高消费群”
合计 男 女 合计
（参考公式：2
K =，其中)n a b c d =+++
2()P K k
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【解析】（Ⅰ）由题意知100(0.00150.00250.00150.001)1a ⨯++++=，解得0.0035a =， 样本平均数为5000.156000.357000.258000.159000.10670x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元． （Ⅱ）由题意，从[550，650)中抽取7人，从[750，850)中抽取3人， 随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3．
337
3
10
()(0k k
C C P X k k C -===，1，2，3)所以随机变量X 的分布列为： P 0 1 2 3 X
35120
63120
21120
1120
随机变量X 的数学期望632119()2312012012010
E X =
+⨯+⨯=． （Ⅲ）由题可知，样本中男生40人，女生60人属于“高消费群”的25人，其中女生10人；得出以下22⨯列联表：
属于“高消费群” 不属于“高消费群”
合计 男生 15 25 40 女生 10 50 60 合计
25
75
100
2
5.024()()()()257540609
K a b c d a c b d ===≈++++⨯⨯⨯，
所以有97.5%的把握认为概型学生属于“高消费群”与性别有关．
21．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点F 与抛物线28y x =焦点重合，且椭圆的离心率为6，过x 轴
正半轴一点(,0)m 且斜率为3
-的直线l 交椭圆于A ，B 两点． （1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在实数m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，若存在，求出实数m 的值；若不存在说明理由．
【解析】（1）抛物线28y x =的焦点是(2,0)， (2,0)F ∴，2c ∴=，又66
c a = ∴26,6a a ==，则2222b a c =-=
故椭圆的方程为22
162
x y +=；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）
（2）由题意得直线l 的方程为3
)(0)y x m m =->，
由22
162)x y y x m ⎧+
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，消去y 得222260x mx m -+-=， 由△2248(6)0m m =-->
，解得m -<< 又0m >，
∴0m <<
设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则12x x m +=，21262
m x x -=．
∴2
12121212331[()][()]()333m m y y x m x m x x x x =----=-++．⋯⋯⋯（6分）
11(2,)FA x y =-，22(2,)FB x y =-，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）
∴212121212462(3)
(2)(2)()43333
m m m m FA FB x x y y x x x x +-=--+=-+++=
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分） 若存在m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，则必有0FA FB
=， 即
2(3)
03
m m -=，⋯
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分） 解得0m =或3m =．又0m <<3m ∴=．
即存在3m =使以线段AB 为直径的圆经过点F ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分） 22．（12分）已知函数1
()1()2
m f x lnx m R x =+-∈的两个零点为1x ，212()x x x <． （1）求实数m 的取值范围； （2）求证：
12112
x x e
+>． 【解答】（1）解：2
2()2x m
f x x -'=
． ①0m ，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，不可能有两个零点； ②0m >，()0f x '>可解得2x m >，()0f x '<可解得02x m <<， ()f x ∴在(0,2)m 上单调递减，在(2,)m +∞上单调递增， 11()(2)222min f x f m ln m ∴==-，
由题意，11
2022ln m -<，
02
e m ∴<<
； （2）证明：令1t x
=
，11
()102f mt lnt x =--=，
由题意方程2
2lnt m t
+=有两个根为1t ，2t ，不妨设111t x =，221t x =．
令2()2lnt h t t +=
，则2
1
()2lnt h t t +'=-， 令()0h t '>，可得1
0t e <<，函数单调递增；()0h t '<，可得1t e >，函数单调递减．
由题意，121
0t t e >
>>， 要证明12112x x e +>，即证明122t t e +>，即证明122
()()h t h t e
<-．
令2
()()()x h x h x e
ϕ=--，
下面证明()0x ϕ<对任意1
(0,)x e
∈恒成立，
2
22
()1
1()222()ln x lnx e x x x e
ϕ-----'=+-， 1(0,)x e ∈，10lnx ∴-->，222()x x e <-，22
()2
()022()lnx x e x x e ϕ--+-∴'>
>-， ()x ϕ∴在1(0,)e 上是增函数，1
()()0x e
ϕϕ∴<=，∴
原不等式成立．
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