多元多项式——精选推荐

§1-10 多元多项式
一、多元多项式的一些基本概念
1、形如n k n k k x x ax 2121的表达式，其中a ∈R, k 1,k 2,…,k n 是非负整数，叫R 上x 1,x 2…x n 的单
项式，a 叫单项式的系数，当a ≠0时，k 1+k 2+…+k n 叫单项式的次数.
特别R x x Ox O R x x ax a n k n k k n n ∈=∈= 21210201也可看成单项式
2、有限个单项式用加号联结起来而得到的一个形式表达式.
sn s s n n k n k k x k n k k k n k k x x x a x x x a x x x a 21222211121121212211+++
其中),2,1,,2,1(,n j s i k R a ij i ==∈是非负整数，叫做R 上n 个文字n x x x ,,,21 的一个多项式，简称一个n 元多项式.
N 元多项式用),,,(),,,,(21211n n x x x g x x x f 等来表示，组成多项式的单项式叫做这个多项式的项.
3、R 上两个n 元多项式说是相等的，当且仅当它们有完全相同的项，或者只差一些系数为0的项.
4、R 上一个n 元多项式的次数指的是出现在这个多项式里次数最大的单项式的次数.
5、如果),,,(21n x x x f 各项都有同一次数k ，那么就称它是一个k 次齐次多项式.
二、R 上n 元多项式的运算
1、R 上的n 元多项式),,,(21n x x x f 与),,,(21n x x x g 相加就是合并它们的同类项.记作),,,(),,,(21211n n x x x g x x x f +或f+g.
2、设f 与g 都是R 上的n 元多项式，把f 的每一项与g 的每一项相乘，然后把这些乘积相加所得到的n 元多项式叫作f 与g 的积，记作fg.
3、n 元多项式关于加法和乘法的运算律
(1)(f+g)+h=f+(g+h), (fg)h=f(gh).
(2)f+g=g+f, fg=gf.
(3)(f+g)h=fh+gh.
4、n 元多项式关于加法和乘法的次数
设f,g 是R 上两个不等于0的n 元多项式，则有
).
()()()),
(),(max()(000000g f fg g f g f ∂+∂=∂∂∂≤+∂
5、n 元多项式环
把数环R 上一切n 个文字n x x x ,,,21 的多项式所成的集合连同如上定义的加法和乘法叫
做R 上n 个文字n x x x ,,,21 的多项式环，简称R 上n 元多项式环，记作R[n x x x ,,,21 ].
三、n 元多项式的排序法
数环R 上n 元多项式的一般形式可以写成n n i n i i i i i x x x a 212121Ξ
1、按次数排序
.)()()(),(30321222133020211220011000 ++++++++++=y a xy a y x a x a y a xy a x a y a x a a y x f ++++=)(),,(001010100000z a y a x a a z y x f
++++++)(1101010112002202022000xy a xz a yz a z a y a x a .
但这种排序法不能完全确定各项的次序.
2、字典排序法
设f(n x x x ,,,21 )是数环R 上的一个非零多项式
n k n k k x x ax 2121(a ≠0) （2）
n l n l l x x bx 2121(b ≠0) （3）
是f 的两个不同的项，若有一个i(1≤i ≤n)使
k 1=l 1,…k i-1=l i-1，但k i >l i
则称项（2）大于项（3）（或项（3）小于项（2）），把多项式f(n x x x ,,,21 )的项按这种大于关系排列的方法叫字典排列法，多项式f(n x x x ,,,21 )按字典排列法书写后的第一项叫做f(n x x x ,,,21 )的首项.
Ex 按字典排序法排
41321243221423432132),,,(x x x x x x x x x x x x f ++--=.
解：
23),,,(42324322133221414321---+=x x x x x x x x x x x x x f . Th 数环R 上两个n 元多项式f(n x x x ,,,21 )与g(n x x x ,,,21 )的乘积的首项等于这两个多项式首项的乘积，特别两个非零多项式的乘积也不等于零.
四、n 元多项式函数及n 元多项式的零点
Def: 给定了R 上一个n 元多项式f(n x x x ,,,21 )，n n R c c c ∈∀),,(21 ，规定
),,,(),,(2121n n c c c f c c c →，这样定义的R n →R 的函数叫做由多项式f(n x x x ,,,21 )所确定的多项式函数. 如果),,,(,0),,(2121n n c c c c c c f 则=叫f(n x x x ,,,21 )的一个零点.
Th 数环R 上的多项式f(n x x x ,,,21 )与g (n x x x ,,,21 )相等，当且仅当，这两个多项式议的多项式函数相等.。