高中数学北师大版必修5第1章2《等差数列》(第2课时 等差数列的性质)ppt同步课件

第的性质
1
课前自主预习
2
课堂典例讲练
4
本节思维导图
3
易混易错点睛
5
课时作业
课前自主预习
2010 年 5 月 1 日至 10 月 31 日， 第 41 届世界博览会在中国上海举 办．展会期间，人流如织，总参观 人数超过 7000 万．根据有关部门统 计，某展馆 7 月上旬每天平均参观 人数为 20 万人，在后面 70 天内，前 40 天每天增加 0.5 万人， 后 30 天每天减少 1 万人，问在这段时间内，有多少天参观人数 能达到 30 万人？这是一个与等差数列有关的问题，让我们进一 步来认识等差数列吧.
• 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， • ∴a＝1，a2－9d2＝－8， • ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1. • 又四个数成递增等差数列，∴d>0，∴d＝1，
• 故所求的四个数为－2,0,2,4.
• [方法总结] 利用等差数列的定义巧设未知量，从而
简 项化 数计n为算奇．数一时般，的可有设如中下间规一律项：为当a等，差再数用列公{差a为n}的d向 两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋ 2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d， a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d， a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
本节思维导图
等 差 数若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq 列 的 性a{若λk，a{na＋ank}＋b，m}，成{ba等nk}＋成差2m等，数差…列数成列等，差则数{列an±bn}成等差数列 质
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
解决本类问题较简便的方法．
• 已知若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
[解析] 解法一：设等差数列{an}的公差为 d， ∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d
∴aa11＋＋5194dd＝＝280
，解得a1＝6145 d＝145
∴a75＝a1＋74d＝6145＋74×145＝24.
• 利用关系式an＝am＋(n－m)d求解．
• 利用一次函数图像求解．
• [答案] B
[解析] 解法一：∵ap＝a1＋(p－1)d，
aq＝a1＋(q－1)d，
∴aa11＋＋qp－－11dd＝＝pq
① ②
①－②，得(p－q)d＝q－p.∵p≠q，∴d＝－1.
代入①，有 a1＋(p－1)(－1)＝q，∴a1＝p＋q－1.
• A．－1 B．0 • C．1 D．6
• [答案] B
• [所解以析a]6＝根a4＋据(题6意－知4)ad4＝＝0a.2故＋选(4B－. 2)d，易知d＝－1，
3．若一个等差数列{an}中，a2＝3，a7＝6，则其公差为( )
3
5
A.5
B.3
C．－35
• [答案] A
D．－53
[解析] a7－a2＝5d， ∴5d＝3，d＝35.
• 1(.已知){an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于
• A．4
B．5
• C．6 D．7
• [答案] C
• [解析] ∵{an}为等差数列，∴a2＋a8＝2a5， • ∴2a5＝12，∴a5＝6.
• 2．(2015·重庆高考)在等差数列{an}中，若a2＝4， a4＝2，则a6＝( )
• [辨析] 误解的原因是忽略了对“从第几项开始为正
数”的理解，而当n＝24时，此时a24＝0.
[正解] ∵a51＝a11＋40d， ∴d＝54＋ 4026＝2. ∴an＝a11＋(n－11)d＝－26＋2(n－11)＝2n－48. 由 an≥0，得 2n－48≥0， ∴n≥24. 显然当 n≥25 时，an>0. 即从第 25 项开始，各项为正数．
故 ap＋q＝a1＋(p＋q－1)d＝p＋q－1＋(p＋q－1)(－1)＝0.∴
应选 B.
解法二：∵ap＝aq＋(p－q)d，∴q＝p＋(p－q)d， 即 q－p＝(p－q)d. ∵p≠q，∴d＝－1. 故 ap＋q＝ap＋[(p＋q－p)]d＝q＋q(－1)＝0.∴应选 B.
解法三：不妨设 p<q，由于等差数列中，an 关于 n 的图像 是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点(p，ap)，(q， aq)，(p＋q，ap＋q)共线．设 ap＋q＝m，由已知，得三点(p，q)， (q，p)，(p＋q，m)共线(如图)．
由△ABE∽△BCF，得BAEE＝FBCF. ∴qq－ －pp＝p＋p－qm－q.∴1＝p－p m. 得 m＝0，即 ap＋q＝0.∴应选 B.
• [方法总结] 本题采用了三种方法，第一种方法使
用 公的 差是d的方等程式思，想通，过由解已方知程建组立，了达两到个解关题于目首的项．a第1和二 种 m)方d.法第使三用种的方是法通使项用公的式是的函推数广的形思式想a，n＝通a过m＋点((np－， ap)，(q，aq)，(p＋q，ap＋q)共线求得其解，这也是
•
(1)三个数成等差数列，和为6，积为－
24，求这三个数；
• (2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首 末两项的积为－8，求这四个数．
• [分析] (1)根据三个数的和为6，成等差数列，可设
这三个数为a－d，a，a＋d(d为公差)；
• (2)四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，
可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．
运用等差数列性质am＋an＝ap＋aq (m、n、p、q∈N＋，且m＋n＝p＋q)解题
•
在等差数列{an}中，
• (1)已知a2＋a6＋a20＋a24＝48，求a13；
• (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d；
• (3)已知a1＋3a8＋a15＝120，求3a9－a11.
解法二：设这四个数分别为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d， 则由已知条件得
a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26 a－da＋d＝40
即4aa2－＝d226＝，40， 解得ad＝ ＝13223，
或 ad＝ ＝1－23， 32.
当 a＝123，d＝32时，这四个数分别是 2,5,8,11； 当 a＝123，d＝－32时，这四个数分别是 11,8,5,2.
解法二：∵{an}为等差数列， ∴a15，a30，a45，a60，a75 也为等差数列，设其公差为 d， 则 a15 为首项，a60 为第 4 项． ∴a60＝a15＋3d，∴d＝4. ∴a75＝a60＋d＝24. 解法三：∵a60＝a15＋(60－15)d ∴d＝a6600－－1a515＝145. ∴a75＝a60＋(75－60)d＝24.
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
4．等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则 a2＝( )
A．3
B．－3
3 C.2
• [答案] A
D．－32
• [解析] ∵a4＋a5＝15， • ∴a2＋a7＝a4＋a5＝15， • 又a7＝12. • ∴a2＝3.
• 5．若2，a，b，c,9成等差数列，则c－a＝________.
• [分析] 使用等差数列的性质，在等差数列{an}中， 若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m、n、p、q∈N
＋)．
[解析] (1)由等差数列的性质知 a2＋a24＝a6＋a20＝2a13， 根据已知条件 a2＋a6＋a20＋a24＝48，得 4a13＝48， 解得 a13＝12.
(2)由等差数列的性质知，a2＋a5＝a3＋a4， 根据已知条件 a2＋a3＋a4＋a5＝34，得 a2＋a5＝17， 由aa22＋ ·a5a＝5＝521，7， 解得aa25＝ ＝413， 或aa52＝＝41，3， 故 d＝a55－－2a2＝13－ 3 4＝3 或 d＝a55－－2a2＝4－313＝－3. (3)∵a1＋a15＝2a8，∴a8＝24. ∴3a9－a11＝a9＋2a9－a11＝a9＋a7＝2a8＝48.
• 已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第 三个数之积为40，求这四个数．
[解析] 解法一：设这四个数中的第一个数为 a1，公差为 d， 则由已知条件得
a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝26， a1＋da1＋2d＝40， 即a221a＋1＋3a31dd＝＋123d，2＝40 ，解得da＝1＝32， 或ad1＝＝－113，. 所以这四个数分别是 2,5,8,11 或 11,8,5,2.
• A．20 B．30
• C．40 D．50
• [答案] C
• [解析] ∵a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100， • 又∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，∴5a7＝100，∴a7＝20， • ∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d) • ＝3a7＋6d－a7－6d＝2a7＝40.
灵活设项求解等差数列问题
[答案]
7 2
[解析] 本题考查等差数列．
由题意知：c－a＝2d,9－2＝4d，
∴c－a＝72.
课堂典例讲练
运用等差数列性质an＝am＋(n－m)d (m，n∈N＋)解题
若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，
则 ap＋q 为(
)
A．p＋q
B．0
C．－(p＋q)
p＋q D. 2
• [分析] 本题可用通项公式求解．
易混易错点睛
已知等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，且 a11 ＝－26，a51＝54，该数列从第几项开始为正数．
[误解] ∵a51＝a11＋40d， ∴d＝54＋ 4026＝2. ∴an＝a11＋(n－11)d＝－26＋2(n－11)＝2n－48. 由 an≥0，得 2n－48≥0， ∴n≥24. 即从第 24 项开始，各项为正数．
• [解析] 设等差数列的等差中项为a，公差为 d，则
这
• 三个数分别为a－d，a，a＋d， • 依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24， • 所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24， • 化简得d2＝16，于是d＝±4，
• 故这三个数为－2,2,6或6,2，－2.
• (2)设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差 为2d)，
2．等差数列的项的对称性 有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于 首末两项的和(若有中间项则等于中间项的 2 倍)，即 a1＋an＝a2 ＋__a_n－_1____＝ak＋_a_n－_k_＋_1 ___＝2an＋2 1(其中 n 为奇数且 n≥3)．
3．等差数列的性质 (1)若{an}是公差为 d 的等差数列，则下列数列： ①{c＋an}(c 为任一常数)是公差为____d ____的等差数列； ②{c·an}(c 为任一常数)是公差为___c_d____的等差数列； ③{ank}(k∈N＋)是公差为___k_d ____的等差数列． (2)若{an}、{bn}分别是公差为 d1、d2 的等差数列，则数列 {pan＋qbn}(p、q 是常数)是公差为_pd_1_＋_q_d_2 __的等差数列．
• 1.等差数列的项与序号的性质
• (1)两项关系
• 通项公式的推广：
• an＝am＋__(_n－__m)_d__(m、n∈N＋)．
• (2)多项关系
• 项的运算性质：
• 若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N＋)， • 则___a_m＋_a_n __＝ap＋aq. • 特别地，若m＋n＝2p(m、n、p∈N＋)， • 则am＋an＝____2a_p___.
[方法总结] 在等差数列中，若 m＋n＝p＋q＝2k，则 am＋ an＝ap＋aq＝2ak(m，n，p，q，k 都是正整数)是一条重要性质， 利用该性质可大大简化运算过程，另外 d＝amm＋－ann，2an＝an－m ＋an＋m 在解题中应用也很广泛．
• 在 则等 3a差9－数a1列3的{a值n}为中(，若a)3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，