四年级三大原理乘法原理学生版

知识要点
乘法原理
乘法原理概念引入
老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上8点的课，然后得赶到黄埔去上下午1点半的课．如果说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？
我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔．这几个环节是必不可少的，老师是一定要先到长宁上完课，才干去黄埔的．在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是10条路线．但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具，那一共有多少条路线呢？这样数，恐怕是要耗费不少的时间了．这个时候我们的乘法原理就派上上用场了．
一、乘法原理的定义
完成一件事，这个事情可以分成n个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那末一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步有A种不同的方法，第二步有B种不同的方法，……，第n步有N种不同的方法．那末完成这件事情一共有
A×B×……×N种不同的方法．
结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那末老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了，即10条．
简单分步
【例1】 在图中，一只甲虫要从A 点沿着线段爬到B 点，要求任何点不得重复经过。

问：这只甲虫最多有
几种不同走法？
B
A
【例2】 在图中，一只甲虫要从A 点沿着线段爬到B 点，要求任何点不得重复经过。

问：这只甲虫最多有
几种不同走法？
B
A
【例3】 在图中，一只甲虫要从A 点沿着线段爬到B 点，要求任何点不得重复经过。

问：这只甲虫最多有
几种不同走法？
B
A
三、乘法原理解题三部曲
1、完成一件事分N 个必要步骤；
2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；
3、步步相乘
四、乘法原理的考题类型
1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；
2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每一个字然后，问3个字有多少种染色方法；
3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每一个省的染色情况，给你几种颜色，
问你一张包括几个部份的地图有几种染色的方法；
4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；
5、数码问题——就是对一些数字的罗列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法．
【例4】 在图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过。

问：这只甲虫最多有几种不同走法？
B
A
【例5】 （2022年北京“数学解题能力展示”读者评选活动中年级组复赛）如图所示，一个花坛的道路由3个圆和5条线段组成，小兔从A处走到B处，如果它在圆上只能顺时针方向走，在线段上只能从小圆走向大圆，且每条道路最多走一次，那末小兔可以选择的不同的路线有________条。

B
A
【例6】 按下表给出的词造句，每句说明一个人物的旅行目的地及所用交通工具。

请问可以造出多少个不同的句子？
爸爸
乘 飞机
去
北京
妈妈火车拉萨
我汽车台北 【例7】 文艺活动小组有3名男生，4名女生，从男、女生中各选1人做领唱，有多少种选法？
【例8】 小丸子有许多套服装，帽子的数量为5顶、上衣有10件，裤子有8条，还有皮鞋6双，每次出行要从几种服装中各取一个搭配。

问：共可组成多少种不同的搭配（帽子可以选择戴与不戴）？
【例9】 要从四年级6个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，有多少种不同的评选结果？
【例10】 要从四年级6个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，如果要求同一个班级最多只能得到其中一个先进集体，那末一共有多少种评选方法？
排队
【例11】 （2022第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级决赛）6个人排成一排，甲当排头，乙不当排尾，共有多少种排法？
【例12】 4个男生和2个女生共6人站成一排合影留念，有多少种排法？
【例13】 4个男生和2个女生共6人站成一排合影留念，如果要求2个女生紧挨着排在正中间有多少种不同的排法？
数码
【例14】 （2022年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛五年级初赛）用0、1、2、3、4五个数字，共可组成________个数字不重复的三位数。

【例15】 有5张卡片，分别写有数字1、2、4、5、8。

现从中取出3张卡片，并排放在一起，组成一个三位数。

问：可以组成多少个不同的偶数？
【例16】 用0、1、2、3、4、8、9这七个数字，共可组成多少个在1000~3999范围里的数？如果要求数字不能重复使用，能组成多少个在1000~3999范围里的数？
染色
【例
17】 （2022年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛四年级初赛）请用红、黄、绿三种颜色为下列两幅
图涂色，共有几种不同的涂色方法。

（要求：相邻的部份不能涂相同的颜色）
图2
图1
图1有（ ）种不同的涂色方法；图2有（ ）种不同的涂色方法。

【例18】 如图，地图上有A 、B 、C 、D 四个国家，现用5种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相
同，有多少种不同染色方法？
D
C
B
A
【例19】 如图，地图上有A 、B 、C 、D 、E 五个国家，现用4种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色
不相同，有多少种不同染色方法？
E
D
C B A
【例20】 某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如图所示。

现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给该图染
色，要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法?
【例21】 如图所示，A 、B 、C 、D 、E 五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑这五种颜色中的某一种染
色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？
E
D
C
B
A
【例22】 “数学”这个词的英文单词是“MATHEMATICS ”。

用棕、红、橙、黄、青、绿、蓝、靛、紫、
粉、灰、黑这12种颜色去分别给字母染色，相同字母染的颜色都相同，不同字母染的颜色都不同。

这些颜色一共可以染出多少种不同搭配方式？
【例23】 “数学”这个词的英文单词是“MATHEMATICS ”。

用红、黄、青、绿这4种颜色去分别给字母
染色，允许11个字母用相同的颜色，这些颜色一共可以染出多少种不同搭配方式？
其他
【例24】 北京到上海之间一共有6个站，车站应该准备多少种不同的车票？有多少种票价？（往返车票算
不同的2种，相同城市之间往返票价相同，不同城市之间往返票价不同）
【例25】 某次大连与庄河路线的火车，一共有7个停车点，铁路局要为这条路线准备多少种不同的车票？
有多少种票价？(往返车票算不同的2种，相同城市之间往返票价相同，不同城市之间往返票价不同)
【例26】 （2022年国际小学数学竞赛个人赛）从下图的中心所在的圆2出发，每一步都挪移到所接触的圆上，请问要经过四个圆而依序得到数码2、0、0、8共有多少种不同的方法？
8
8
8
8 8
8
8 8
8 8
8
00
8
2
`
复杂
【例27】 一个正整数，如果从左到右顺读和从右到左逆读都是一样，则这个数称为“回文数”，如1、22、434、4554都是回文数。

那末从小到大罗列，请问六位回文数、七位回文数各有多少个？
【例28】 （1994年第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛口试题）在三位数中，数字和是5的倍数的数共有多少个？
【例29】 在正整数中，与数456相加产生进位所有的三位数有多少个？
【例30】 1~1999的正整数中，有多少个与5678相加时，至少发生一次进位？
【例31】 （2022年第六届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛六年
3的倍数。

级初赛）用数字1~8各一个组成8位数，使得任意相邻的三个数字组成的三位数都是
共有_______种组成方法。

【例32】 （2022年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛个人赛）如图，两条平行线上各有相异的六个点。

请问从这12个点中任选三个点可以构成多少个不在相同位置的三角形？
【例33】 （2022年上海重点中学入学综合素质测评活动）如图，图中有18个小方格，要把3枚同样大小的硬币放在方格里，使每行每列只浮现一枚硬币，共有多少种方法？
【例34】 在图的方格内放入5枚棋子，要求每行、每列都只能有一枚棋子，共有多少种放法？
一课一练
【练习1】 小熊从家里出发要去森林采摘蘑菇，途中必经过菜园。

小熊从家到菜园有12条路可以走，从菜园去森林有34条路可以走，小熊从家到森林有多少种不同走法？
【练习2】 学而思乐加乐学校需要一、二、三、四、五、六、七年级各选派一位学生参加活动，已知学
而思乐加乐7个年级的学生人数分别有200、200、250、300、250、240、200人，那末一共有多少种选派方式？
【练习3】 麦兜家有许多餐具，杯子2个，盘子3个，饭碗4个，勺子5把，所有餐具的花色各不相同，
麦兜每次吃饭必须在每种餐具中各选择一种，麦兜家的餐具一共可以有多少种不同搭配？
【练习4】 用5种颜色去涂如图所示的三块区域，要求相邻的区域涂不同的颜色，那末共有多少种不同
的涂法。

【练习5】 班里有49位同学，其中23位男同学，从男同学中推选一人担任体育委员，从女同学中推选
一人担任文艺委员，有多少种选法？
【练习6】 有5面不同颜色的小彩旗，任取其中的3面排成一行表示一种信号，用这5面小彩旗一共可
以表示出多少种不同的信号？
紫
蓝
绿
黄
红
【练习7】 （2022年第六届“走进美妙的数学花园”中国青年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛四
年级初赛）在图中每一个方格中各放1枚围棋（黑子或者白子），有________种放法。

【练习8】 由数字1、2可以组成多少个数字可以重复的两位数？多少个没有重复数字的两位数？
【练习9】 由数字0、1、2、3、4、5可以组成多少个数字可以重复的四位数？多少个没有重复数字的四位数？
【练习10】 （2022年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛个人赛）从1到100的正整数中，有多少个数的各位数码中都没有数码1？
【练习11】 3个三口之家在一起举行家庭宴会，围一桌吃饭，要求一家人不可以被拆开，那末一共有多少种排法？（如果某种排法可以通过旋转得到另一种排法，那末这两种排法算作同一种）
补充
【补充1】 如图所示，从正方体的顶点A走沿正方体的棱长到顶点B，要求行走的路线最短，请问有多少种不同的走法？
B
A
【补充2】 如图所示，从正方体的顶点A 走沿正方体的棱长到顶点B ，要求经过且仅经过正方体的所有
顶点1次，请问有多少种不同的走法？
B
A
【补充3】 （2022年北京“数学解题能力展示”读者评选活动五年级初赛）国际象棋中“马”的走法如
图1所示，位于○位置的“马”只能走到标有×的方格中，类似于中国象棋中的“马走日”。

如果“马”在88 的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图2中标有△的位置），要走到第八行第五列（图2中标有@的位置），最短路线有_________条。

图2
图1
@
○
××
×
××××
×
【补充4】 （2022年两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛笔试一）从A 点出发，一笔划出图中
的奥运五环图，不允许走重复路线，共有__________种不同的画法。

A
【补充5】 如图所示为n 个圆环相连而成（n ≥3），从左至右数，第1个圆环与且仅与第2个圆环有2个
交点1
A 、1
B ，第n 个圆环与且仅与第1n -个圆环有2个交点1
n A
-、1
n B
-；其余2n -个圆中，
每一个圆环（设这个圆环为第m 个环）与其前一个圆环（第1m -个圆环）和后一个圆环（第1m +个圆环）分别有2个交点（交点为1
m A
-、1
m B
-和m
A 、m
B ）。

从第k 个圆环上一点
C （C 为¼1k k
A A
-的中点）出发，一笔划出图中的n 个圆环，不允许走重复路线，请问共有多少种不同的画法？
C
第1个圆环 第2个圆环 第3个圆环 … 第k -1个圆环 第k 个圆环 第k +1个圆环… 第n -2个圆环 第n -1个圆环 第n 个圆环
……
……
A n -2
A n -1
B n -1B n -2A k -1
A k
B k -1
B k B 2
A 2
B 1
A 1
【补充6】 将1332、332、32、2这四个数的10个数码一个一个地划掉，要求先划位数最多的数的最小
数码。

共有多少种不同的划法？
【补充7】 4对夫妇围一圆桌吃饭，要求每对夫妇两人都要相邻，那末一共有多少安排坐位的方法？(如
果某种排法可以通过旋转得到另一种排法，那末这两种排法算作同一种)。