教师公开招聘考试小学数学(计算题)模拟试卷6(题后含答案及解析)

教师公开招聘考试小学数学（计算题）模拟试卷6(题后含答案及解
析)
题型有：1. 计算题
计算题
P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：=1(a＞0，b＞0)上－点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为
1．求双曲线的离心率；
正确答案：点P(x0,y0)(x0≠±a)在双曲线=1上，有=1．由题意又由，可得a2=5b2，c2=a2+b2=6b2，则e=.
2．过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上－点，满足，求λ的值．
正确答案：联立，得4x2－10cx+35b2=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x3，y3)，又因为C为双曲线上一点，即x32－5y32=5b2，有(λx1+x2)2－5(λy1+y2)2=5b2．化简得：λ2(x12－5y12)+(x22－5y22)+2λ(x1x2－5y1y2)=5b2，又因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x12－5y12=5b2，x22－5y22=5b2．由①式又由x1x2－5y1y2=x1x2－5(x1－c)(x2－c)=－4x1x2+5c(x1+x2)－5c2=10b2得：λ2+4λ=0，解出λ=0或λ=－4．
已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+(y－4)2=1的圆心为点M．
3．求点M到抛物线C1的准线的距离；
正确答案：由题意可知，抛物线的准线方程为：y=－，所以圆心M(0，4)到准线的距离是.
4．已知点P是抛物线C1上－点(异于原点)，过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．
正确答案：设P(x0，x02)，A(x1，x12)，B(x2，x22)，由题意得x0≠0，x0≠±1，x1≠x2．设过点P的圆C2的切线方程为y－x02=k(x－x0)，即y=kx－kx0+x02①．则=1，即(x02－1)k2+2x0(4一x02)k+(x02－4)2一1=0．设PA，PB 的斜率为k1，k2(k1≠k2)，则k1，k2是上述方程的两根，所以k1+k2=，k1k2=
将①代入y=x2得x2－kx+kx0－x02=0，由于x0是此方程的根，故x1=k1－x0，x2=k2一x0，所以kAB==x1+x2=k1+k2—2x0=一2xx0，kMP=．由MP⊥AB，得kAB·kMP==－1，解得x02=.即点P的坐标为，所以直线l的方程为y=±x+4．
已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：(x－1)2+(y－)2=r2(r＞0)有－个公共点A，且在A处两曲线的切线为同－直线l．
5．求r；
正确答案：设A(x0，(x0+1)2)，对y=(x+1)2求导得y＇=2(x+1)．故l的斜率k=2(x0+1)．当x0=－1时，不合题意，所以x0≠－1．圆心为M(1，)，MA的斜率k＇=.由l⊥MA知k·k＇=－1，即2(x0+1)·=－1，解得x0=0，故A(0，1)，r=|MA|=.
6．设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离．
正确答案：设(t，(t+1)2)为C上－点，则在该点处的切线方程为y－(t+1)2=2(t+1)(x－t)，即y=2(t+1)x—t2+1．若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为，即，化简得t2(t2－4t－6)=0，解得t0=0，t1=2+√10，t2=2－√10．抛物线C在点(ti，(ti+1)2)(i=0，1，2)处的切线分别为l，m，n，其方程分别为y=2x+1①，y=2(t1+1)x－t12+1②，y=2(t2+1)x—t22+1③，②－③得．x==2．将x=2代入②得y=－1，故D(2，－1)．所以D到l的距离d=.
如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．
7．求该椭圆的离心率和标准方程；
正确答案：如图，设所求椭圆的标准方程为=1(a＞b＞0)，右焦点为F2(c，0)．因△AB1B2是直角三角形，又因为|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2为直角，因此|OA|=|OB2|，得b=．结合c2=a2－b2得4b2=a2－b2，故a2=5b2，c2=4b2．所以离心率e=在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2=·| B1B2|·|OA|=| OB2|．|OA|=·b=b2，由题设条件S△AB1B2=4得b2=4，从而a2=5b2=20．因此所求椭圆的标准方程为：=1.
8．过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．
正确答案：由(Ⅰ)知B1(－2，0)，B2(2，0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为：x=my－2．代入椭圆方程得(m2+5)y2－4my－16=0．设P(x1，y1)、Q(x1，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1+y2=,y1·y2=－,
又因为=(x1－2，y1)，=(x2—2，y2)，所以=(x1－2)(x2—2)+y1y2=(my1－4)(my2—4)+y1y2=(m2+1)y1y2—4m(y1+y2)+16=－，由PB2⊥QB2，得=0，即16m2－64=0，解得m=±2．所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x+2y+2=0和x －2y+2=0．
如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD 上一点，且|MD|=PD|．
9．当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
正确答案：设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得.∵P在圆上，∴x2+=25，即C的方程为=1.
10．求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．
正确答案：过点(3，0)且斜率为的直线方程为y=(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y=(x－3)代入C的方程，得=1，即x2－3x－8=0．∴x1=，x2=∴线段AB的长度为|AB|=
设圆c与两圆(x+√5)2+y2=4，(x－√5)2+y2=4中的一个内切，另一个外切．11．求圆C的圆心轨迹L的方程；
正确答案：依题意得两圆的圆心分别为F1(－√5，0)，F2(√5，0)，从而可得|CF1|+2=|CF2|－2或|CF2|+2=|CF1|－2，所以|| CF2|—|CF1||=4=2a＜|F1F2|=2√5=2c．所以圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴长为4，焦距为2√5的双曲线，因此a=2，c=√5，b2=c2－a2=1．故圆C的圆心轨迹L的方程为－y2=1．
12．已知点M，F(√5，0)，且P为L上动点，求||MP|—|FP||的最大值及此时点P的坐标．
正确答案：过点M，F的直线l的方程y=－2(x－√5)，将其代入－y2=1中，解得x1=故直线l与L的交点为T1，因为T1在线段MF外，T2在线段MF上，故||MT1|－|FT1||=|MF|=2，|| MT2|—|FT2||＜|MF|=2，若点P不在MF上，则||MP |－|FP||＜|MF|=2，综上所述，||MP|—|FP|只在点T1处取得最大值，即||MP|—|FP||的最大值为2，此时点P的坐标为.
已知椭圆=1(a＞b＞0)的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
13．求椭圆的方程；
正确答案：由e=，得3a2=4c2．再由c2=a2－b2，得a=2b．由题意可知×2a ×2b=4．即ab=2．解方程组得a=2，b=1，所以椭圆的方程为+y2=1.
14．设直线l与椭圆相交于不同的两点A，
B．已知点A的坐标为(－a，0)，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且=4．求y0的值．
正确答案：由(Ⅰ)可知A(－2，0)，设B点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2)．于是A、B两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理，得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2－4)=0．由－2x1=，得x1=，从而y1=．设线段AB的中点为M，则M的坐标为以下分两种情况：①当k=0时，点B的坐标为(2，0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是=(－2，－y0)，=(2，－y0)．由=4，得y0=±2√2②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y－.令x=0，解得y0=－,由=(－2，－y0)，=(x1，y1—y0)，=－2x1－y0(y1－y0)==4.整理得7k2=2，故k=±，所以y0=±，综上，y0=±2√2或y0=±.
已知椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=.
15．求椭圆E的方程；
正确答案：设椭圆E的方程为：=1，由e=，得,b2=a2－c2=3c2，∴=1．将A(2，3)代入，有=1，解得：c=2，∴椭圆E的方程为=1．
16．求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程．
正确答案：由(Ⅰ)知F1(－2，0)，F2(2，0)，所以直线AF1的方程为y=(x+2)，即3x－4y+6=0，直线AF2的方程为x=2，由椭圆E的图形知∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数．设P(x，y)为∠F1AF2的角平分线所在直线上任－点，则有=|x－2|，若3x－4y+6=5x－10，得x+2y－8=0，其斜率为负，不合题意．舍去，于是3x－4y+6=10－5x，即2x－y－1=0．∴∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为2x—y－1=0．
如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2√3．
17．求点A到平面MBC的距离；
正确答案：取CD中点O，连OB，OM，则OB=OM=√3，OB⊥CD，MO ⊥C
D．又因为平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，MO∥平面ABC，M，O到平面ABC的距离相等．作OH⊥BC于H，连MH，则MH⊥B
C．求得OH=OC·sin60°=，MH=．设点A到平面MBC的距离为d，由V A-MBC=VM-ABC得·S△MBC·d=·S△ABC·OH，即，解得d=.
18．求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．
正确答案：延长AM、BO相交于E，连CE、DE，CE是平面ACM与平面BCD的交线．由(1)知，O是BE的中点，则四边形BCED是菱形．作BF⊥EC 于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A—EC—B的平面角，设为θ．因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°，BF=2sin60°=√3，tanθ==2．sinθ=.则所求二面角的正弦值为
设椭圆C1：=1(a＞b＞0)，抛物线C2：x2+by=b2．
19．若C2经过C1的两个焦点，求C1，的离心率；
正确答案：因为抛物线C2经过椭圆C1的两个焦点F1(－c，0)，F2(c，0)，可得c=b2，由a2=b2+c2=2c2，有，所以椭圆C1的离心率e=
20．设A(0，b)，Q(3√3，b)，又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为B(0，b)，且△QMN的重心在C2上，求椭圆C1和抛物线C2的方程．
正确答案：由题设可知M，N，关于y轴对称，设M(－x1，y1)，N(x1，y1)，(x1＞0)，则由△AMN，的垂心为B，有=0，所以－x12+(y1－b)(y1－b)=0①，由于点N(x1，y1)在C2上，故有x12+by1=b2②，由①②得y1=－或y1=b(舍去)，所以x1=，故，所以△QMN的重心为,因重心在C2上得3+=b2，所以b=2，M(－√5，－)，N(√5，－)，又因为M，N，在C1上，所以=1，得a2=．所以椭圆C1的方程为=1，抛物线C2的方程为x2+2y=4．
圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成－个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)，双曲线C1：=1过点P且离心率为√3.
21．求C1的方程；
正确答案：设切点P(x0，y0)，(x0＞0，y0＞0)，则切线的斜率为－，可得切线的方程为y—y0=－(x－x0)，化为x0x+y0y=4．令x=0，可得y=；令y=0，可得x=．∴切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成－个三角形的面积S=．∵4=x02+y02≥2x0y0，当且仅当x0=y0=√2时取等号．∴S≥=4．此时P(√2，√2)．由题意可得，解得a2=1，b2=2.故双曲线C1的方程为x2－=1．
22．若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．
正确答案：由(Ⅰ)可知双曲线C1的焦点(±√3，0)，即为椭圆C2的焦点．可设椭圆C2的方程为=(b1＞0)．把P(√2，√2)代入可得=1，解得b22=3，因此椭圆C2的方程为=1．由题意可设直线l的方程为x=my+√3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，化为(m2+2)y2+2√3my－3=0，∴y1+y2=－．x1+x2=m(y1+y2)+2√3=，y1y2=∴x1x2=m2y1y2+√3m(y1+y2)+3==(√2－x1，√2－y1)，=(√2－x2，√2－y2)，∵=0，∴x1x2－√2(x1+x2)+y1y2－√2(y1+y2)+4=0，∴2m2－2√6m+4√6－11=0，解得m=－1或m=－(－1)，因此直线l的方程为：x－－1)y－√3=0或x+(－1)y－√3=0．
将圆x2+y2=1上每－点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线
C．
23．写出C的参数方程；
正确答案：在曲线C上任意取一点(x，y)，由题意可得点(x，)在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为(0≤θ＜2π，θ为参数)．
24．设直线l：2x+y－2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
正确答案：由，不妨设P1(1，0)、P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为(，1)，再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y－1=，即x－2y+=0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα－2ρsinα+=0，即ρ=
设F1．F2，分别是椭圆E：=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|．
25．若|AB|=4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
正确答案：由| AF1|=3| F1B|，|AB|=4，得：|AF1|=3，|F1B|=1因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a=16，| AF1|+|AF2|=2a=8故| AF2|=2a－|AF1|=8—3=5．
26．若cos∠AF2B=，求椭圆E的离心率．
正确答案：设|F1B|=k，则k＞0且| AF1|=3k，|AB|=4k，由椭圆定义可得| AF2|=2a－3k，| BF2|=2a－k在△ABF2中，由余弦定理可得| AB |2=| AF2|2+|BF2|2－2| AF2|·| BF2| cos∠AF2B，即(4k)2=(2a－3k)2－(2a－k)2·(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a+k)·(a－3k)=0，而(a+k)＞0，故a－3k=0于是有|AF2|=3k=|AF1|，|BF2|=5k因此|BF2|2=| F2A |2+| AB |2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形，从而c=a，所以椭圆的离心率e=
设F1，F2分别是椭圆C：=1(a＞b＞0)的左，右焦点，M是C上－点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另－个交点为N．
27．若直线MN的斜率为，求C的离心率；
正确答案：根据c=以及题设知M(c，)，2b2=3ac，将b2=a2－c2代入2b2=3ac，解得,=－2(舍去)故C的离心率为.
28．若直线MN，在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．
正确答案：由题意，原点O是F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D是线段MF1的中点，故=4，即b2=4a①，由|MN|=5| F1N |得|DF1|=|F1N|设N(x，y)，由题意可知y＜0，则，代入方程C，得=1②，将①以及c=代入②得到=1解得a=7，b2=4a=28，故a=7，b=2√7．
如图，设椭圆C：=1(a＞b＞0)，动直线l与椭圆C只有－个公共点P，且点P在第－象限．
29．已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标;
正确答案：设直线l的方程为y=kx+m(k＜0)，由消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2－a2b2=0．由于直线l与椭圆C只有－个公共点P，故Δ=0，即b2－m2+a2k2=0，解得点P的坐标为，又因为点P在第－象限，故点P的坐标为P,
30．若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b．
正确答案：由于直线l1过原点O且与直线l垂直，故直线l1的方程为x+ky=0，所以点P到直线l1的距离d=，整理得：d=．因为a2k2+≥2ab，所以=a－b，当且仅当k2=时等号成立．所以点P到直线l1的距离的最大值为a—b．。