高中数学《1.2.1 集合间的关系》课件 新人教B版必修1
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题型二 集合的相等 【例 2】 已知集合 A＝{x，xy，x－y}，集合 B＝{0，|x|， y}，若 A＝B，求实数 x，y 的值． [思路探索] 有限集合的相等，即集合中的元素一一对应相 等，可以由此建立关于 x、y 的方程组来解决问题．
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解 ∵0∈B，A＝B，∴0∈A.又由集合中元素的互异性， 可以断定|x|≠0，y≠0，
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题型一 子集关系及应用 【例 1】 已知集合 A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，且 A M⊆B， 写出满足上述条件的集合 M. [思路探索] 属于子集，真子集定义的应用问题． 解 由 A M，则 M 中必定包含元素 1,2，且至少还比集合 A＝{1,2}多 1 个元素，又 M⊆B，即 M 可认为如下集合：{1,2,3}， {1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}． 规律方法 写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个 数的多少来划分标准，由少到多，做到不重不漏．
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(3)“A 是 B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是 B 的元素，即由任意的 x∈A，能推出 x∈B.
(4)当 A 不是 B 的子集时，我们记作“A B”(或 B⊉A)，读 作：“A 不包含于 B”(或“B 不包含 A”)．
(5)对“A⊆B”讨论时，首先要注意 A＝∅的情况．
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(2)注意将方程(或方程组)的解代入原集合检验，对不符合 题意的解要舍去．
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【训练 2】 设集合 A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}且 A＝ B，求 a2 010＋b2 011 的值．
解 由 A＝B，有aab2＝＝1b ，或aa2b＝＝b1， . 解方程组得 a＝1，b 为任意实数或ab＝ ＝0－1 ，或ab＝＝11 . 由集合元素的互异性，得 a≠1. ∴a＝－1，b＝0， ∴a2 010＋b2 011＝1.
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3．集合关系与其特征性质之间的关系 设 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则有
集合间的关系 特征性质间的关系
A⊆B A⊇B A＝B
p(x)⇒q(x) p(x)⇐q(x) p(x)⇔q(x)
想一想：“A⊆B”与“A B”及 A⊇B 相同吗？ 提示 A⊆B 是指 A B 或 A＝B；而 A⊆B：指 A 是 B 的子 集，A⊇B 则表示 B 是 A 的子集，显然不同．
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名师点睛 1．子集概念的理解 (1)A⊆B(A、B 为非空集合)有两种可能：①A 是由 B 中元素 的一部分组成的；②A 与 B 是同一个集合．任何一个集合都是 它本身的子集，即 A⊆A.因为集合中的任何一个元素都是它本 身的元素． (2)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子 集．即：∅⊆A；若 A≠∅，则∅ A.
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题型三 两集合之间关系的应用 【例 3】 设集合 A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a ＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若 B⊆A，求实数 a 的值． 审题指导 本题主要考查了 B⊆A 具体含义，及一元二次方 程根的讨论问题． 【解题流程】
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自学导引 1．子集与真子集 (1)子集：如果集合 A 中的 任意一个 元素都是集合 B 的元 素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集，记作 A⊆B 或 B⊇A 读 作“ A包含于B ”或“ B包含A ”． (2)空集是任意一个集合的 子集 ，∅ ⊆ A.
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(3)真子集：如果集合 A 是集合 B 的 子集 ，并且 B 中至 少有一个元素不属于 A，那么集合 A 叫做集合 B 的真子集，记 作 A B 或 B A ，读作“A 真包含于 B”或“B 真包含 A”．
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【训练 1】 已知集合 A＝{x|x2＋x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|(x －1)(x2－4x＋4)＝0，x∈R}，且 A P B，求满足条件的集合 P.
解 A＝∅，B＝{x|(x－1)(x－2)2＝0，x∈R}＝{1,2}， ∴A P B，∴就是求集合 B 的非空子集， 故满足条件的集合 P 有：{1}，{2}，{1,2}．
∴x≠0，xy≠0，故 x－y＝0，即 x＝y，此时 A＝{x，x2,0}， B＝{0，|x|，x}，
∴x2＝|x|，解得 x＝±1.当 x＝1 时，x2＝1，与元素互异性矛 盾，∴x＝－1，即 x＝y＝－1.
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规律方法 (1)根据两个集合相等求集合中的特定字母，一般 是从集合中元素对应相等来建立方程(或方程组)，要注意将对应 相等的情况分类列全．
(4)如果 A⊆B，B⊆C，则 A ⊆ C；如果 A B，B C， 则 A C.
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2．集合的相等 如果 A⊆B，又 B⊆A，则 A＝B；反之如果 A＝B， 则 A⊆B ，且 B⊆A . 试一试：若集合 A＝{a1，a2，a3，…，an}，n∈N＋则集合 A 的子集有多少个，真子集有多少个？ 提示 当 n＝1,2,3,4 时，则集合 A 的子集有 2,22,23,24 个， 真子集依次为 1,3,7,15 个，归纳得 n∈N＋时，集合 A 的子集有 2n 个，真子集有 2n－1 个．
2．易混淆符号的区分 符号∈，∉是元素与集合关系的连接符号，是属于与不属于 的关系．而⊆，⊇， ， ， 等是集合与集合关系的连接符号．
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3．∅，{0}与 0 的关系 (1)关于空集∅：空集是不含任何元素的集合，它既不是有限 集又不是无限集，不能认为∅＝{0}，也不能认为{∅}＝∅或{空集} ＝∅. (2){0}是由数 0 组成的单元素集，所以 0∈{0}，但 0∉∅，∅ ⊆{0}． (3){∅}是由∅组成的单元素集，因此∅∈{∅}，由于空集是任 何集合的子集，所以∅⊆{∅}也正确.
1.2 集合之间的关系与运算
1．2.1 集合之间的关系
【课标要求】 1．理解集合之间包含与相等的含义，能写出给定集合的子 集． 2．能使用 Venn 图表示集合间的关系． 3．理解集合关系与其特征性质之间的关系，并能简单应用．
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【核心扫描】 1．写出给定集合的子集．(重点) 2．判断两集合之间的关系．(重难点)
题型二 集合的相等 【例 2】 已知集合 A＝{x，xy，x－y}，集合 B＝{0，|x|， y}，若 A＝B，求实数 x，y 的值． [思路探索] 有限集合的相等，即集合中的元素一一对应相 等，可以由此建立关于 x、y 的方程组来解决问题．
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解 ∵0∈B，A＝B，∴0∈A.又由集合中元素的互异性， 可以断定|x|≠0，y≠0，
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题型一 子集关系及应用 【例 1】 已知集合 A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，且 A M⊆B， 写出满足上述条件的集合 M. [思路探索] 属于子集，真子集定义的应用问题． 解 由 A M，则 M 中必定包含元素 1,2，且至少还比集合 A＝{1,2}多 1 个元素，又 M⊆B，即 M 可认为如下集合：{1,2,3}， {1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}． 规律方法 写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个 数的多少来划分标准，由少到多，做到不重不漏．
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(3)“A 是 B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是 B 的元素，即由任意的 x∈A，能推出 x∈B.
(4)当 A 不是 B 的子集时，我们记作“A B”(或 B⊉A)，读 作：“A 不包含于 B”(或“B 不包含 A”)．
(5)对“A⊆B”讨论时，首先要注意 A＝∅的情况．
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(2)注意将方程(或方程组)的解代入原集合检验，对不符合 题意的解要舍去．
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【训练 2】 设集合 A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}且 A＝ B，求 a2 010＋b2 011 的值．
解 由 A＝B，有aab2＝＝1b ，或aa2b＝＝b1， . 解方程组得 a＝1，b 为任意实数或ab＝ ＝0－1 ，或ab＝＝11 . 由集合元素的互异性，得 a≠1. ∴a＝－1，b＝0， ∴a2 010＋b2 011＝1.
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3．集合关系与其特征性质之间的关系 设 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则有
集合间的关系 特征性质间的关系
A⊆B A⊇B A＝B
p(x)⇒q(x) p(x)⇐q(x) p(x)⇔q(x)
想一想：“A⊆B”与“A B”及 A⊇B 相同吗？ 提示 A⊆B 是指 A B 或 A＝B；而 A⊆B：指 A 是 B 的子 集，A⊇B 则表示 B 是 A 的子集，显然不同．
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名师点睛 1．子集概念的理解 (1)A⊆B(A、B 为非空集合)有两种可能：①A 是由 B 中元素 的一部分组成的；②A 与 B 是同一个集合．任何一个集合都是 它本身的子集，即 A⊆A.因为集合中的任何一个元素都是它本 身的元素． (2)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子 集．即：∅⊆A；若 A≠∅，则∅ A.
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题型三 两集合之间关系的应用 【例 3】 设集合 A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a ＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若 B⊆A，求实数 a 的值． 审题指导 本题主要考查了 B⊆A 具体含义，及一元二次方 程根的讨论问题． 【解题流程】
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自学导引 1．子集与真子集 (1)子集：如果集合 A 中的 任意一个 元素都是集合 B 的元 素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集，记作 A⊆B 或 B⊇A 读 作“ A包含于B ”或“ B包含A ”． (2)空集是任意一个集合的 子集 ，∅ ⊆ A.
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(3)真子集：如果集合 A 是集合 B 的 子集 ，并且 B 中至 少有一个元素不属于 A，那么集合 A 叫做集合 B 的真子集，记 作 A B 或 B A ，读作“A 真包含于 B”或“B 真包含 A”．
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【训练 1】 已知集合 A＝{x|x2＋x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|(x －1)(x2－4x＋4)＝0，x∈R}，且 A P B，求满足条件的集合 P.
解 A＝∅，B＝{x|(x－1)(x－2)2＝0，x∈R}＝{1,2}， ∴A P B，∴就是求集合 B 的非空子集， 故满足条件的集合 P 有：{1}，{2}，{1,2}．
∴x≠0，xy≠0，故 x－y＝0，即 x＝y，此时 A＝{x，x2,0}， B＝{0，|x|，x}，
∴x2＝|x|，解得 x＝±1.当 x＝1 时，x2＝1，与元素互异性矛 盾，∴x＝－1，即 x＝y＝－1.
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规律方法 (1)根据两个集合相等求集合中的特定字母，一般 是从集合中元素对应相等来建立方程(或方程组)，要注意将对应 相等的情况分类列全．
(4)如果 A⊆B，B⊆C，则 A ⊆ C；如果 A B，B C， 则 A C.
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2．集合的相等 如果 A⊆B，又 B⊆A，则 A＝B；反之如果 A＝B， 则 A⊆B ，且 B⊆A . 试一试：若集合 A＝{a1，a2，a3，…，an}，n∈N＋则集合 A 的子集有多少个，真子集有多少个？ 提示 当 n＝1,2,3,4 时，则集合 A 的子集有 2,22,23,24 个， 真子集依次为 1,3,7,15 个，归纳得 n∈N＋时，集合 A 的子集有 2n 个，真子集有 2n－1 个．
2．易混淆符号的区分 符号∈，∉是元素与集合关系的连接符号，是属于与不属于 的关系．而⊆，⊇， ， ， 等是集合与集合关系的连接符号．
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3．∅，{0}与 0 的关系 (1)关于空集∅：空集是不含任何元素的集合，它既不是有限 集又不是无限集，不能认为∅＝{0}，也不能认为{∅}＝∅或{空集} ＝∅. (2){0}是由数 0 组成的单元素集，所以 0∈{0}，但 0∉∅，∅ ⊆{0}． (3){∅}是由∅组成的单元素集，因此∅∈{∅}，由于空集是任 何集合的子集，所以∅⊆{∅}也正确.
1.2 集合之间的关系与运算
1．2.1 集合之间的关系
【课标要求】 1．理解集合之间包含与相等的含义，能写出给定集合的子 集． 2．能使用 Venn 图表示集合间的关系． 3．理解集合关系与其特征性质之间的关系，并能简单应用．
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【核心扫描】 1．写出给定集合的子集．(重点) 2．判断两集合之间的关系．(重难点)