赋值法处理抽象函数问题

赋值法处理抽象函数问题
李小蛟
(四川省成都市树德中学㊀６１００９１)
摘㊀要:本文举例说明可以用赋值法解决抽象函数的诸多问题.关键词:抽象函数ꎻ处理问题ꎻ赋值法
中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００３３－０３
收稿日期:２０２０－０８－０５
作者简介:李小蛟(１９８４.１０－)ꎬ男ꎬ四川人ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.
㊀㊀不给出具体解析式ꎬ只给出函数的特殊条件或特征的函数即抽象函数.由于抽象函数可以全面考查学生对函数概念和性质的理解ꎬ同时抽象函数问题又将函数的定义域ꎬ值域ꎬ单调性ꎬ奇偶性ꎬ周期性和图象集于一身ꎬ所以在高考中出现频率较高.解答抽象函数题目的基础是熟悉函数的基本知识.抽象函数无具体表达式ꎬ要通过我们所学的一般初等函数的性质来解决比较困难(小题可借用一些类似函数解决)ꎬ但抽象函数问题的解决本质上是将抽象问题具体化ꎬ所以解决抽象函数问题可以将函数中变量具体赋值ꎬ即解决抽象函数有一个万能的方法ꎬ即赋值法.下面我们即分类例析用赋值法解决抽象函数问题.㊀㊀
一㊁赋值法处理抽象函数函数值
抽象函数求值问题是要解决具体函数值问题ꎬ因此
抽象函数问题求值的关键在于赋值ꎬ即赋要求解自变量ꎬ代入求出相应函数值即可.
例１㊀已知ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬ对任意的ｘꎬｙɪＲꎬ有ｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)ꎬ则ｆ(０)＝
.
分析㊀本题函数没有具体表达式ꎬ即抽象函数求值问题ꎬ要求解ｆ(０)的值ꎬ即在ｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)这一式子中要出现ｆ(０)ꎬ所以我们令ｘ＝ｙ＝０ꎬ即出现ｆ(０＋０)＝ｆ(０)＋ｆ(０)ꎬ所以ｆ(０)＝０.
例２㊀定义在Ｒ上的函数ｆ(ｘ)满足ｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)＋２ｘｙ(ｘꎬｙɪＲ)ꎬｆ(１)＝２ꎬ则ｆ(３)＝ꎬｆ(－３)
＝
.
分析㊀根据题意ꎬ已知ｆ(１)＝２且ｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ)＋
ｆ(ｙ)＋２ｘｙꎬ要求解ｆ(３)ꎬｆ(－３)的值ꎬ即要利用赋值法构造出自变量为３ꎬ－３.
ȵｆ(１)＝２ꎬ于是令ｘ＝ｙ＝１ʑｆ(２)＝ｆ(１＋１)＝ｆ(１)＋ｆ(１)＋２ˑ１ˑ１＝２＋２＋２＝６又令ｘ＝２ꎬｙ＝１ʑｆ(３)＝ｆ(２＋１)＝ｆ(２)＋ｆ(１)＋２ˑ２ˑ１＝６＋２＋４＝１２.
现已求出ｆ(３)＝１２ꎬ要求ｆ(－３).注意３与－３互为
相反数ꎬ所以如果令ｘ＝３ꎬｙ＝－３即有ｆ(０)＝ｆ(３－３)＝ｆ(３)＋ｆ(－３)＋２ˑ３ˑ(－３)ꎬ因此我们还应先求出ｆ(０).于是再令ｘ＝ｙ＝０ꎬ则有ｆ(０＋０)＝ｆ(０)＋ｆ(０)＋２ˑ０ˑ０ꎬʑｆ(０)＝０
因此０＝ｆ(０)＝ｆ(３－３)＝ｆ(３)＋ｆ(－３)＋２ˑ３ˑ
(－３)＝１２＋ｆ(－３)－１８ꎬʑｆ(－３)＝６.㊀㊀
二㊁赋值法处理抽象函数解析式
抽象函数求解析式是要求出ｆ(ｘ)ꎬ因此我们要采用
赋值法得到ｆ(ｘ)ꎬ并利用赋值法将法则ｆ作用的其余形式消去即可.
例３㊀已知ｆｘ()－２ｆ１ｘæ
èç
ö
ø
÷
＝３ｘ＋２ꎬ求ｆｘ().分析㊀观察题设函数方程ꎬ应设法消去ｆ(１
ｘ
)ꎬ才能求出ｆ(ｘ).在该式中可将ｘ换成
１
ｘ
ꎬ然后两个方程联立ꎬｆ(ｘ)－２ｆ１ｘæèç
öø÷
＝３ｘ＋２①
ｆ１ｘæèç
öø÷
－２ｆ(２)＝３ｘ
②.ìîí
ïïïï
３３
①＋②ˑ２ꎬ可得ｆ(ｘ)＝－ｘ－
２
ｘ
－２.例４㊀已知ｆｘ()＋２ｆ２－ｘ()＝３ｘ２
－８ｘ＋８ꎬ求ｆｘ().
分析㊀条件中给出有关法则ｆ作用于ｘ和２－ｘꎬ我们要求出ｆ(ｘ)ꎬ因些要想办法消去ｆ(２－ｘ).所以利用赋值法ꎬ我们只需要将上式中所有ｘ换为２－ｘꎬ即ｆ(２－ｘ)＋２ｆ(ｘ)＝３(２－ｘ)２
－８(２－ｘ)＋８ꎬ然后与ｆｘ()＋２ｆ２－ｘ()
＝３ｘ２
－８ｘ＋８联立求解出ｆ(ｘ)＝ｘ２
.
㊀㊀
三㊁赋值法处理抽象函数奇偶性
奇偶性是考察ｆ(ｘ)和ｆ(－ｘ)之间的关系ꎬ所以抽象
函数奇偶性问题关键在于采用赋值法让题目出现ｆ(ｘ)和ｆ(－ｘ)ꎬ并根据表达式探究ｆ(ｘ)和ｆ(－ｘ)两者关系.例５㊀设函数ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬ对任意ｘ１ꎬｘ２ɪＲꎬ
恒有ｆ(ｘ１＋ｘ２)＝ｆ(ｘ１)＋ｆ(ｘ２)成立.则ｆ(ｘ)是(指明
函数的奇偶性).
分析㊀令ｘ１＝ｘꎬｘ２＝－ｘꎬ则出现ｆ(ｘ－ｘ)＝ｆ(ｘ)＋
ｆ(－ｘ)ꎬ所以ｆ(ｘ)＋ｆ(－ｘ)＝ｆ(０)ꎬ所以我们还要先求出ｆ(０)的值.于是我们又令ｘ１＝ｘ２＝０ꎬ所以ｆ(０)＋ｆ(０)＝ｆ(０)ꎬ于是
ｆ(０)＝０ꎬ所以ｆ(－ｘ)＝－ｆ(ｘ)ꎬ即ｆ(ｘ)为奇函数.
例６㊀设函数ｙ＝ｆ(ｘ)(ｘɪＲ且ｘʂ０)对任意非零实数ｘ１ꎬｘ２满足ｆ(ｘ１ ｘ２)＝ｆ(ｘ１)＋ｆ(ｘ２)ꎬ则函数ｙ＝ｆ(ｘ)是
(指明函数的奇偶性).
分析㊀本题要出现ｆ(ｘ)和ｆ(－ｘ)ꎬ我们只需令ｘ１＝
ｘꎬｘ２＝－１ꎬ则出现ｆ(－ｘ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(－１).该式中将ｘ换成－ｘꎬ得ｆ(ｘ)＝ｆ(－ｘ)＋ｆ(－１).这两个方程联立ꎬ消去ｆ(－１)ꎬ可化得ｆ(－ｘ)＝ｆ(ｘ)ꎬ即ｆ(ｘ)为偶函数.
例７㊀已知函数ｆ(ｘ)在(－１ꎬ１)上有定义ꎬ当且仅当０<ｘ<１时ꎬｆ(ｘ)<０ꎬ且对任意ｘꎬｙɪ－１ꎬ１()都有ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)＝ｆｘ＋ｙ１＋ｘｙæèç
ö
ø
÷
ꎬ证明ｆ(ｘ)为奇函数.
分析㊀由于ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)＝ｆｘ＋ｙ１＋ｘｙæèç
ö
ø
÷
ꎬ设ｘ＝ｙ＝０ꎬ则
２ｆ(０)＝ｆ(０)ꎬ解得ｆ(０)＝０.设ｙ＝－ｘꎬ则ｆ(ｘ)＋ｆ(－ｘ)＝ｆ(０)ꎬʑｆ(－ｘ)＝－ｆ(ｘ)＝０ꎬʑｆ(ｘ)为奇函数.㊀㊀
四㊁赋值法处理抽象函数单调性
函数单调性在通过研究自变量大小与相应函数值大小的关系ꎬ即在一个单调区间内通过ｘ１<ｘ２ꎬ去推导ｆ(ｘ１)<ｆ(ｘ２)或ｆ(ｘ１)>ｆ(ｘ２)ꎬ所以解决抽象函数单调性的关键在于通过赋值找出相应的不等关系.
例８㊀已知ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬ对任意的ｘꎬｙɪＲꎬ有ｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)ꎬ且当ｘ>０时ꎬｆ(ｘ)<０ꎬ求证ｆ(ｘ)
为－ɕꎬ＋ɕ()上的减函数.
分析㊀由例５已经知道ｆ(ｘ)为奇函数ꎬ设ｘ１>ｘ２ꎬ则ｘ１－ｘ２>０ꎬʑｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)＝ｆ(ｘ１)＋ｆ(－ｘ２)＝ｆ(ｘ１－ｘ２)ȵ当ｘ>０时ꎬｆ(ｘ)<０ꎬʑ由ｘ１－ｘ２>０可知ꎬｆ(ｘ１－ｘ２)<０ꎬ
ʑ当ｘ１>ｘ２时ꎬ有ｆ(ｘ１)<ｆ(ｘ２)ꎬ所以函数ｆ(ｘ)在－ɕꎬ＋ɕ()上为减函数.
例９㊀已知函数ｆ(ｘ)在(－１ꎬ１)上有定义ꎬ当且仅当０<ｘ<１时ꎬｆ(ｘ)<０ꎬ且对任意ｘꎬｙɪ－１ꎬ１()都有ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)＝ｆｘ＋ｙ１＋ｘｙæ
èç
ö
ø
÷
ꎬ判断ｆ(ｘ)在－１ꎬ１()上的增减性ꎬ并证
明你的结论ꎻ
分析㊀由例７已经求出ｆ(ｘ)为奇函数.
设－１<ｘ１<ｘ２<１ꎬ则ｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)＝ｆ(ｘ１)＋ｆ(－ｘ２)＝ｆｘ１－ｘ２１－ｘ１ ｘ２æèç
öø
÷ꎬ由ｘ１－ｘ２<０ꎬ且－１<ｘ１ ｘ２<１ꎬʑ１－ｘ１ ｘ２>０ꎬʑｘ１－ｘ２１－ｘ１ ｘ２<０ꎬ由ｘ１－ｘ２
１－ｘ１ ｘ２
<０ꎬ可继续验
证ꎬ由
ｘ１－ｘ２１－ｘ１ ｘ２－(－１)＝ｘ１－ｘ２
１－ｘ１ ｘ２
＋１＝
ｘ１－ｘ２＋１－ｘ１ ｘ２１－ｘ１ ｘ２＝
(１－ｘ２)(ｘ１＋１)１－ｘ１ ｘ２
由１－ｘ１ ｘ２>０ꎬ且１－ｘ２>０ꎬｘ１＋１>０ꎬʑ
(１－ｘ２)(ｘ１＋１)１－ｘ１ ｘ２>０ꎬ即ｘ１－ｘ２
１－ｘ１ ｘ２
>－１.
ʑ－１<
ｘ１－ｘ２
１－ｘ１ ｘ２
<０.
ȵ当０<ｘ<１时ꎬｆｘ()<０ꎬ且ｆ(ｘ)为奇函数ꎬʑ当－１
<ｘ<０时ꎬ有０<－ｘ<１ꎬ故ｆ(ｘ)＝－ｆ(－ｘ)>０.
ʑｆｘ１－ｘ２１－ｘ１ ｘ２æèç
öø
÷>０ꎬ即ｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)>０.ʑ当－１<ｘ１<ｘ２<１时ꎬｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)>０ꎬʑｆｘ()在
－１ꎬ１()上为单调减函数.㊀㊀
五㊁赋值法处理抽象函数最值
抽象函数求最值问题可类比求值问题ꎬ但经常会综
合考察抽象函数的单调性ꎬ奇偶性等问题ꎬ以及化归与转化㊁类比等数学思想方法.
例１０㊀已知ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬ对任意的ｘꎬｙɪＲꎬ有ｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)ꎬ且当ｘ>０时ꎬｆ(ｘ)<０ꎬ若ｆ(１)＝－２ꎬ求ｆ(ｘ)在[－２ꎬ４]上的最大值和最小值.分析㊀由例５已经知道ｆ(ｘ)为奇函数ꎬ由例８得出
ｆ(ｘ)为－ɕꎬ＋ɕ()上的减函数.
４３
因此ｆ(ｘ)在[－２ꎬ４]上最大值应该为ｆ(－２)ꎬ最小值应该为ｆ(４)ꎬ下面用赋值法分别求出ｆ(－２)ꎬｆ(４).ȵｆ(１)＝－２ꎬʑｆ(２)＝ｆ(１＋１)＝ｆ(１)＋ｆ(１)＝－４ꎬʑｆ(－２)＝－ｆ(２)＝４.
ʑｆ(４)＝ｆ(２＋２)＝ｆ(２)＋ｆ(２)＝－８.
即ｆ(ｘ)在[－２ꎬ４]上最大值为４ꎬ最小值为－８.㊀㊀
六㊁赋值法处理抽象函数不等式
抽象函数不等式问题的解答需借助抽象函数的单调
性ꎬ奇偶性ꎬ定义域等来综合求解ꎬ利用赋值法将看似无关联的不等式转化为常规不等式问题求解.
例１１㊀已知函数ｆ(ｘ)在(－１ꎬ１)上有定义ꎬ当且仅当０<ｘ<１时ꎬｆ(ｘ)<０ꎬ且对任意ｘꎬｙɪ－１ꎬ１()都有ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)＝ｆｘ＋ｙ１＋ｘｙæèç
ö
ø
÷
.
解不等式ｆ(５ｘ－４)>ｆ(ｘ２).分析㊀由例７已经知道ｆ(ｘ)为奇函数ꎬ由例９得出ｆ(ｘ)为(－１ꎬ１)上的减函数.
所以－１<５ｘ－４<ｘ２<１ꎬ求解出ｘ
３
５
<ｘ<１{
}
.由以上例析我们可以总结出ꎬ解决抽象函数问题的本质是将抽象问题具体化ꎬ而通过赋值法几乎可以解决抽象问题的所有题型ꎬ因此赋值法不失为处理抽象函数问题的一个最常用方法.㊀㊀
参考文献:
[１]张桂祥.例谈几类抽象函数的题型求解策略[Ｊ].高考ꎬ２０１８(３６):２０３.
[责任编辑:李㊀璟]
降低解析几何运算量的几种思维策略
李怀忠
(甘肃省景泰县第二中学㊀７３０４００)
摘㊀要:本文给出了降低解析几何解题中运算量的几种思维策略.关键词:解析几何ꎻ运算ꎻ合理运用
中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００３５－０３
收稿日期:２０２０－０８－０５
作者简介:李怀忠(１９７５－)ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.
㊀㊀解析几何是用代数的方法解决几何问题的一类题型ꎬ它集代数㊁几何㊁三角等知识于一体ꎬ运算量大㊁方法与技巧要求比较高.很多学生往往是按常规思路进行求解ꎬ常在繁杂的运算中越陷越深ꎬ不能自拔ꎬ很难将运算结果进行到底ꎬ出现半途而废的情况.如何减低运算量ꎬ提升学生的运算能力和学习效率ꎬ本文就降低解析几何运算量谈几点思维策略.㊀㊀
一㊁合理运用圆锥曲线的定义
例１㊀设Ｐ是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２
ｂ
２＝１(ａ>ｂ>０)上的一点ꎬ
两焦点分别为Ｆ１ꎬＦ２ꎬ则ＰＦ１ ＰＦ２的最大值为
.
解析㊀由椭圆定义得ＰＦ１＋ＰＦ２＝２ａ
利用基本不等式有ＰＦ１ ＰＦ２ɤ(ＰＦ１＋ＰＦ２２)２
＝ａ２.
所以ꎬ当ＰＦ１＝ＰＦ２时ꎬＰＦ１ ＰＦ２取得最大值ａ２.点评㊀圆锥曲线的定义运用广泛ꎬ对于圆锥曲线中与焦点有关的最值问题㊁轨迹问题㊁计算或证明问题ꎬ需要把定量的计算和定性的分析有机地结合起来ꎬ达到准确判断㊁合理运算㊁灵活解题的目的.㊀㊀
二㊁合理运用曲线系方程
例２㊀已知双曲线的一条渐近线方程为２ｘ－３ｙ＝０
５
３。