2017年学生综合能力测试数学试题卷

2017年学生综合能力测试数学试题卷
考生须知：
（1）本卷满分120分。

（2）本答卷必须用黑色水笔或圆珠笔在答题卷相应的位置答题。

答题时不可以使用计算器。

温馨提示：请仔细审题，细心答题，合理分配时间，相信你会有出色的表现！
一、选择题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1．已知等腰△ABC 的周长为18cm ，BC=8cm ，若△ABC 与△A ′B ′C ′全等，则△A ′B ′C ′的腰长等于( ▲ )
A ． 8cm
B ．2cm 或8cm
C ． 5cm
D ．8cm 或5cm 2．设=a ，=b ，用含a ，b 的式子表示，则下列表示正确的是( ▲ )
A ．0.3ab
B ．3ab
C ．0.1ab 2
D ．0.1a 2
b
3．有一个正方体，在它的各个面上分别标上字母A 、B 、C 、D 、E 、F ，甲、乙、丙三位同学从不同方向去观察其正方体，观察结果如图所示．问：F 的对面是 （ ▲ ）
A ．A 面
B ．B 面
C ．C 面
D ．D 面
4. 无论m 为何实数，直线y=2x+m 与直线y=-x+3的交点都不可能在（ ▲ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5．△ABC 与平行四边形DEFG 如图放置，点D ，G 分别在边AB ，AC 上，点E ，F 在边BC 上．已知BE =DE ，CF =FG ，则∠A 的度数是（ ▲ ） A ．86° B ．90° C ．96° D ．无法判断 6.如图1，A ，B ，C 三个容积相同的容器之间有阀门连接，从某一时刻开始，打开A 容器阀门，以4升/分的速度向B 容器内注水5分钟，然后关闭，接着打开B 容器阀门，以10升/分的速度向C 容器内注水5分钟，然后关闭．设A ，B ，C 三个容器内的水量分别为ya ，yb ，yc （单位：升），时间为t （单位：分）．开始时，B 容器内有水50升，ya ，yc 与t 的函数图象如图2所示，在0≤t ≤10的范围内ya ：yb ：yc=2：3：4时t 的值为（ ▲ ）．
A.3分钟
B.6分钟
C.8分钟
D.9分钟 7. 如图，A 、B 、C 是反比例函数y=
k
x
（k ＜0）图象上三点，作直线L ，使A 、B 、C 到直线L 的距离之比为3：2：1，则满足条件的直线L 共有（ ▲ ） A.1条 B.3条 C.4条 D.无数条
第5题图
8.如图，边长为2的正方形EFGH 在边长为6的正方形ABCD 所在平面上移动，始终保持EF ∥AB ．线段CF 的中点为M ，DH 的中点为N ，则线段MN 的长为（ ▲ ）
D.无法确定
二、填空题（本大题共7小题．每小题5分，共计35分）
9. 甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概率为 ▲ ．
10.已知函数5
y x
=-
与()200y ax bx a b =+>>，的图象交于点P ，点P 的纵坐标为3， 则关于x 的方程2
30ax bx x
++=的解为 ▲
11.马航想制作一个圆锥模型，这个模型的侧面是用半径为9cm 、圆心角为240°的扇形 铁皮制作的，再用一块圆形铁皮做底，请你帮他计算这块圆形铁皮的半径为 ▲ cm. 12.若圆O 的直径AB 为2，弦AC 为2，弦AD 为3，则OCD S 扇形（其中O OCD S S 2圆扇形<）
为 ▲___
13.如图，在矩形ABCD 中，F 是DC 上的一点，BF 丄AC,垂足为E ，
AD AB =1
2,△CEF 的面积为1S ，AEB △的面积为2S ，则12
S S 的值等于 ▲ .
14.已知线段AB 的长为2．以AB 为边在AB 的下方作正方形ACDB ．取AB 边上一点E ．以AE 为边在AB 的上方作正方形AKNM ．过E 作EF ⊥CD ．垂足为F 点．若正方形AENM 与四边形EFDB 的面积相等．则AE 的长为 ▲ ．
15.如图,RT AOB △,点A 在x 轴上，∠OBA=90°,OA=2,OB=AB,射线OF 与x 轴成60°。

把AOB △绕点O 逆时针旋转a 度得''
△OA B ,点M 在射线OF 上
（端点除外），若在''
△OA B 的三个顶点中的任意两个顶点与点M 构成的
三角形与AOB △相似，当0°＜a ＜45°时，则点M 的坐标 ▲ .
三．解答题（本题有6小题，共53分） 16. （本题满分6分）
（1
）计算：101()2cos30(22
--︒-π)
（2）解方程：23211x x x +=+-．
17.（本题满分6分）如图AB 是半圆的直径， 图1中，点C 在半圆外；图2中，点C 在半 圆内，请仅用无刻度．．．的直尺按要求画图．(不要求写出做法与证明，但请保留作图轨迹)
（1）在图1中，画出△ABC 的三条高的交点G ； （2）在图2中，画出△ABC 中AB 边上的高CH ．
18. （本题满分9分）春节期间，小明和小亮相约从金华出发到某市某游乐园游玩，小明乘私家车从金华出发1小时后，小亮乘“和谐号”动车从金华出发，先到某市火车站A ，然后乘出租车去游乐园B （换车时间忽略不计），两人恰好同时到达游乐园，他们离开金华的距离y （千米）与小明乘车时间t （时）的函数图象如图所示． （1）求“和谐号”动车的速度．
（2）当小亮到达某市火车站时，求小明距离游乐园的距离．
（3）若小明乘私家车从金华到达游乐园的时间比原来要提前18分钟，则私家车速度应达到多少千米/小时。

19.（本题满分10分）如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于
点C ，连结AC ，过点O 作AC 的垂线交AC 于点D ，交⊙O 于点E.已知AB ﹦8, ∠P=30°.
（1）求线段PC 的长； （2）求阴影部分的面积.
20.（本题满分10分）在图形的全等变换中，有旋转变换，翻折（轴对称）变换和平移变换．一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动．
（1）第一小组的同学发现，在如图1的矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，Rt △ADC 可以由Rt △ABC 经过一种变换得到，请你写出这种变换的过程 ▲ ．
图
1 图2
. E F A D B C （图2）
（图3）
A B C D O
（图1）
（2）第二小组同学将矩形纸片ABCD 按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF （如图2）；再沿GC 折叠，使点B 落在EF 上的点B'处（如图3），这样能得到∠B'GC 的大小，你知道∠B'GC 的大小是多少吗？请写出求解过程．
（3）第三小组的同学，在一个矩形纸片上按照图4的方式剪下△ABC ，其中BA ＝BC ，将△ABC 沿着直线AC 的方向依次进行平移变换，每次均移动AC 的长度，得到了△CDE 、△EFG 和△GHI ，如图5．已知AH ＝AI ，AC 长为a ，现以AD 、AF 和AH 为三边构成一个新三角形，已知这个新三角形面积小于1515，请你帮助该小组求出满足条件的a 的最大整数值．
（4）探究活动结束后，老师给大家留下了一道探究题:
如图6，已知AA'＝BB'＝CC'＝2，∠AOB'＝∠BOC'＝∠COA'＝60°，请利用图形变换探究S △AOB'＋S △BOC'＋S △COA'与3
的大小关系．
21．（本题满分12分）如图，在直角坐标系中，直线4y x =+分别与x 轴，y 轴交于点
D ，C ，点A ，B 分别在y 轴，x 轴上，且∠ABO=30，AB=4. （1）求经过B ，C ，D 三点的抛物线解析式。

（2）将AOB △绕原点O 顺时针转动一周，当AB 与CD 平行时，求点A 的坐标； （3）如图2，延长BA 与直线CD 相交于点E ，连结OE ，在线段BD 上取点P （B,D 两点除外），在抛物线上取一点Q 。

探究：是否存在以O ，E ，Q ，为顶点的三角形与△OPQ 全等，且点P 与点E 位于直线OQ 的两侧？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

（图4） B C I E D G F
H a （图5） B ' （图6）。