七年级数学下册专题九与三角形的角有关的四种几何模型作业新版华东师大版
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专题(九) 与三角形的角有关的四种几何模型
模型一 角的“8”字模型
1．如图，∠A＝43°，∠D＝57°，∠C＝37°，则∠B的度数为 _6_3_°___．
2．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝_1_8_0_°___．
3．(1)如图①，∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝__1_8_0__°； (2)如图②，∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝__1_8_0___°.
4．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，判断∠A，∠C与∠E之间的数量关系，并 说明理由．
解：结论：∠A＋∠C＝2∠E.理由： ∵∠1＋∠A＝∠3＋∠E①，∠4＋∠C＝∠2＋∠E ②.①＋②，得∠1＋∠A＋∠4＋∠C＝∠3＋∠E＋∠2＋∠E. ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠A＋∠C＝2∠E
模型二 角的“燕尾”模型
5．如图，已知∠A＝60°，∠BDC＝120°，∠C＝37°，则∠B＝__2_3__°.
6．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝__2_7_0__°.
7．如图，在四边形ABCD中，AM，CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM 相交于点M，探究∠AMC与∠B，∠D之间的数量关系．
解：如图，∵∠AMC＝∠1＋∠D＋∠4①，∠B＝∠2＋∠AMC＋∠3②.①－②， 得∠AMC－∠B＝∠1＋∠D＋∠4－∠2－∠AMC－∠3.∵AM平分∠DAB，CM平 分∠DCB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴2∠AMC＝∠B＋∠D
°
10．如图，点M，N分别在AB，AC上，MN∥BC，将△ABC沿MN折叠后，点 A落在点A′处．若∠A′＝20°，∠B＝120°，则∠A′NC的度数为 __1_0_0_°__．
Hale Waihona Puke 模型四 三角形内角及外角的平分线所成的角 如图，BD，CD为角平分线．
(1) 如图①，∠BDC＝90°＋1 ∠A；
2
(2) (2)如图②，∠BDC＝1 ∠A；
8．如图，BP，DP分别平分∠ABC与∠ADC，且交于点P，判断∠A，∠C与 ∠P之间的数量关系，并说明理由．
解：∠P＝1 (∠A－∠C).理由：如图，∵∠ADC＝∠A＋∠ABC＋∠C.∵BP
2
平分∠ABC，DP 平分∠ADC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴2∠4＝∠A＋2∠2＋∠ C①.同理可得∠PDC＝∠P＋∠PBC＋∠C，即∠4＝∠P＋∠2＋∠C②.②×2－①， 得∠P＝1 (∠A－∠C)
2 1
(3)如图③，∠BDC＝90°－ ∠A.
2
11．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥OC交BC 于点D.若∠A＝80°，则∠BOD＝__4_0__°.
12．如图，在△ABC 中，∠A＝64°，D 为 BC 延长线上的一点，∠ABC 与 ∠ACD 的平分线相交于点 A1，则∠A1＝ __3_2__°；∠A1BC 与∠A1CD 的平分线相 交于点 A2，得∠A2……∠An－1BC 与∠An－1CD 的平分线相交于点 An，得∠An，要 使∠An 的度数为整数，则 n 的值最大为 __6___．
2
模型三 折纸中的角
9．如图，将一张三角形纸片沿DE折叠，设∠BDA′＝∠1，∠CEA′＝∠2. (1)如图①，当点A的对应点A′落在四边形BCED内部时，若∠1＝26°，∠2＝ 50°，则∠A的度数为 __3_8_°__； (2)如图②，当点A的对应点A′落在四边形BCED外部时，若∠1＝116°，∠2＝ 20°，则∠A的度数为 __4_8___．
模型一 角的“8”字模型
1．如图，∠A＝43°，∠D＝57°，∠C＝37°，则∠B的度数为 _6_3_°___．
2．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝_1_8_0_°___．
3．(1)如图①，∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝__1_8_0__°； (2)如图②，∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝__1_8_0___°.
4．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，判断∠A，∠C与∠E之间的数量关系，并 说明理由．
解：结论：∠A＋∠C＝2∠E.理由： ∵∠1＋∠A＝∠3＋∠E①，∠4＋∠C＝∠2＋∠E ②.①＋②，得∠1＋∠A＋∠4＋∠C＝∠3＋∠E＋∠2＋∠E. ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠A＋∠C＝2∠E
模型二 角的“燕尾”模型
5．如图，已知∠A＝60°，∠BDC＝120°，∠C＝37°，则∠B＝__2_3__°.
6．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝__2_7_0__°.
7．如图，在四边形ABCD中，AM，CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM 相交于点M，探究∠AMC与∠B，∠D之间的数量关系．
解：如图，∵∠AMC＝∠1＋∠D＋∠4①，∠B＝∠2＋∠AMC＋∠3②.①－②， 得∠AMC－∠B＝∠1＋∠D＋∠4－∠2－∠AMC－∠3.∵AM平分∠DAB，CM平 分∠DCB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴2∠AMC＝∠B＋∠D
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10．如图，点M，N分别在AB，AC上，MN∥BC，将△ABC沿MN折叠后，点 A落在点A′处．若∠A′＝20°，∠B＝120°，则∠A′NC的度数为 __1_0_0_°__．
Hale Waihona Puke 模型四 三角形内角及外角的平分线所成的角 如图，BD，CD为角平分线．
(1) 如图①，∠BDC＝90°＋1 ∠A；
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(2) (2)如图②，∠BDC＝1 ∠A；
8．如图，BP，DP分别平分∠ABC与∠ADC，且交于点P，判断∠A，∠C与 ∠P之间的数量关系，并说明理由．
解：∠P＝1 (∠A－∠C).理由：如图，∵∠ADC＝∠A＋∠ABC＋∠C.∵BP
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平分∠ABC，DP 平分∠ADC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴2∠4＝∠A＋2∠2＋∠ C①.同理可得∠PDC＝∠P＋∠PBC＋∠C，即∠4＝∠P＋∠2＋∠C②.②×2－①， 得∠P＝1 (∠A－∠C)
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(3)如图③，∠BDC＝90°－ ∠A.
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11．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥OC交BC 于点D.若∠A＝80°，则∠BOD＝__4_0__°.
12．如图，在△ABC 中，∠A＝64°，D 为 BC 延长线上的一点，∠ABC 与 ∠ACD 的平分线相交于点 A1，则∠A1＝ __3_2__°；∠A1BC 与∠A1CD 的平分线相 交于点 A2，得∠A2……∠An－1BC 与∠An－1CD 的平分线相交于点 An，得∠An，要 使∠An 的度数为整数，则 n 的值最大为 __6___．
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模型三 折纸中的角
9．如图，将一张三角形纸片沿DE折叠，设∠BDA′＝∠1，∠CEA′＝∠2. (1)如图①，当点A的对应点A′落在四边形BCED内部时，若∠1＝26°，∠2＝ 50°，则∠A的度数为 __3_8_°__； (2)如图②，当点A的对应点A′落在四边形BCED外部时，若∠1＝116°，∠2＝ 20°，则∠A的度数为 __4_8___．