解析山西省朔州市怀仁第一中学高二下学期期末考试数学理试卷含解析

2018-2019学年度第二学期高二年级期末考试
理科数学
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合402x A x Z
x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎭⎩，1244
x B x ⎧⎫
=≤≤⎨⎬⎭⎩，则A B ⋂=（ ） A. }{
12x x -≤≤ B. {}1,0,1,2- C. {}2,1,0,1,2-- D. {}0,1,2
【答案】B 【解析】 【分析】
：首先根据分式不等式的解法以及指数不等式，化简集合A ，B ，之后根据交集的定义写出
A B ⋂．
【详解】： 集合{}{}4|
0|241,0,1,2,3,42x A x Z x Z x x -⎧
⎫
=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭
，{}|22B x x =-≤≤，则{}1,0,1,2A B ⋂=-，故选B ．
【点睛】：该题考查的是有关集合的运算问题，在解题的过程中，需要先将集合中的元素确定，之后再根据集合的交集中元素的特征，求得结果．
2.已知i 为虚数单位，若复数11ti
z i
-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ） A. [1,1]- B. (1,1)-
C. (,1)-∞-
D. (1,)+∞
【答案】B 【解析】 由题()()()()1-ti 1-i 1-ti 1-t 1+t
z=
==-i 1+i 1+i 1-i 22
．又对应复平面的点在第四象限，可知110022
t t
且-+>-<，解得11t -<<．故本题答案选B ．
3.若命题“0x R ∃∈，使()2
00110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ）
A. 13a ≤≤
B. 13a -≤≤
C. 33a -≤≤
D.
11a -≤≤
【答案】B 【解析】 【分析】
由命题“0x R ∃∈，使()2
00110x a x +-+<”是假命题，知∀x ∈R，使x 2
+（a ﹣1）x +1≥0，
由此能求出实数a 的取值范围．
【详解】∵命题“0x R ∃∈，使()2
00110x a x +-+<”是假命题，
∴∀x ∈R，使x 2+（a ﹣1）x +1≥0， ∴△＝（a ﹣1）2﹣4≤0， ∴﹣1≤a ≤3． 故选：B ．
【点睛】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要注意由命题“0x R ∃∈，使
()200110x a x +-+<”是假命题，知∀x ∈R，使x 2+（a ﹣1）x +1≥0，由此进行等价转化，
能求出结果．
4.已知双曲线1C ：22
12x y -=与双曲线2C ：2212
x y -=-，给出下列说法，其中错误的是
（ ）
A. 它们的焦距相等
B. 它们的焦点在同一个圆上
C. 它们的渐近线方程相同
D. 它们的离心率相等
【答案】D 【解析】
由题知2
2
2:12
x C y -=．则两双曲线的焦距相等且2c =焦点都在圆223x y +=的圆上，
其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为2
y x =±，由于实轴长度不同故离心率c e a =不
同．故本题答案选D ，
5.在等比数列{}n a 中，“412a ,a 是方程2x 3x 10++=的两根”是“8a 1=±”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
由韦达定理可得a 4+a 12＝﹣3，a 4•a 12＝1，得a 4和a 12均为负值，由等比数列的性质可得． 【详解】∵a 4，a 12是方程x 2+3x+1＝0的两根，∴a 4+a 12＝﹣3，a 4•a 12＝1，∴a 4和a 12均为负值， 由等比数列的性质可知a 8为负值，且a 82＝a 4•a 12＝1，∴a 8＝﹣1， 故“a 4，a 12是方程x 2+3x+1＝0的两根”是“a 8＝±1”的充分不必要条件. 故选：A ．
【点睛】本题考查等比数列的性质和韦达定理，注意等比数列隔项同号，属于基础题．
6.已知直线l 过点P(1,0,－1)，平行于向量(2,1,1)a =r
，平面α过直线l 与点M(1,2,3)，则
平面α的法向量不可能是（ ） A. (1,－4,2) B. 1
1(,1,)42
-
C. 11(,1,)42
--
D. (0,－
1,1) 【答案】D 【解析】
试题分析：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量(2,1,1)a =r ，和向量PM u u u u r
， 而PM u u u u r
=（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），
选项A ，（2，1，1）⋅（1，-4，2）=0，（0，2，4）⋅（1，-4，2）=0满足垂直，故正确； 选项B ，（2，1，1）⋅（
14，-1，12）=0，（0，2，4）⋅（1
4，-1，12）=0满足垂直，故正确； 选项C ，（2，1，1）⋅（-14，1，−12）=0，（0，2，4）⋅（-14，1，−12
）=0满足垂直，故正确；
选项D ，（2，1，1）⋅（0，-1，1）=0，但（0，2，4）⋅（0，-1，1）≠0，故错误． 考点：平面的法向量
7.在极坐标系中，由三条直线0θ=，
3
πθ=，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为（ ）
A.
1
4
D.
13
【答案】B 【解析】 【分析】
求出直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，直线3
πθ=
与直线
cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标2,3πρ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，然后利用三角形的面积公式121sin 23S πρρ=可
得出结果.
【详解】设直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，则1cos 01ρ=，得
11ρ=.
设直线3
πθ=
与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标2,
3πρ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，
则22cos
sin
13
3π
π
ρρ+=，即221122
ρρ+=，得21ρ.
因此，三条直线所围成的三角形的面积为)
1211
sin 11232
S πρρ==⨯⨯=
故选：B.
【点睛】本题考查极坐标系中三角形面积的计算，主要确定出交点的极坐标，并利用三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
8. 若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 A. 60种
B. 63种
C. 65种
D. 66种
【答案】D 【解析】
试题分析：要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有
44C 1=种结果，当取得4个奇数时，有45C 5=种结果，当取得2奇2偶时有
2245C C ⋅61060=⨯=种结果,共有156066++=种结果.故答案为D.
考点：分类计数原理.
9.设m 为正整数，(x ＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y)2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a=7b ，则m ＝ ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B 【解析】
试题分析：由题意可知221,m m m m C a C b +==,137a b =Q ,221137m m
m m C C +∴=,即
()()()2!21!137!!!1!m m m m m m +=⋅⋅+, 21
1371
m m +∴=⋅
+,解得6m =．故B 正确． 考点：1二项式系数；2组合数的运算．
10.通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
由2
222
()110(40302030),7.8()()()()60506050
n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯=
=≈++++⨯⨯⨯算得 附表：
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】A 【解析】
【详解】由27.8 6.635K ≈>，而(
)
2
6.6350.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A
11.焦点为F 的抛物线2
:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当
MA MF
取
得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A. 2y x =+或2y x =-- B. 2y x =+ C. 22y x =+或 22y x =-+ D. 22y x =-+
【答案】A 【解析】
过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则
11
cos cos MA MA MF
MP
AMP MAF
=
=
=∠∠，则当
MA MF
取得最大值时，MAF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程
为()2y k x =+与2
8y x =联立，消去y 得2
8160ky y k -+=，所以264640k =-=V ，得
1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．
点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离，抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化，如果问题中涉及抛物线上的点到焦点或到准线的距离，那么用抛物线定义就能解决问题．本题就是将到焦点的距离||MF 转化成到准线的距离
MP ，将比值问题转化成切线问题求解．
12.定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，
224,23,()2
,34,x x x f x x x x
⎧-+≤≤⎪
=⎨+<≤⎪
⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）
A. 1
1(,)[,)88
-∞-+∞U B. 11[,0)(0,]48
-
U C. (0,8] D. 11
(,][,)48
-∞-+∞U
【答案】D 【解析】
由题知问题等价于函数()f x 在[]2,0-上的值域是函数()g x 在[]2,1-上的值域的子集．当
[]2,4x ∈时，()()2
24,23
2,34{x x x x x
f x --+≤≤+<≤=，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时
()93,2f x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，由()()22f x f x +=，可得()()()112424f x f x f x =+=+，当[]2,0x ∈-时，[]
42,4x +∈．则()f x 在[]2,0-的值域为39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．当0a >时，()[]
21,1g x a a ∈-++，
则有3214
918{
a a -+≤+≥
，解得1
8
a ≥
，当0a =时，()1g x =，不符合题意；当0a <时，()[]1,21g x a a ∈+-+，则有314
9218
{
a a +≤
-+≥
，解得1
4
a -
≤．综上所述，可得a 的取值范围为 ][11,,48⎛⎫-∞-⋃+∞
⎪⎝⎭
．故本题答案选D ． 点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该 不重复不遗漏．
二、填空题.
13.已知(1,)a λ=r ，(2,1)b =r ，若向量2a b +r r 与(8,6)c =r
共线，则a r 在b r 方向上的投影为
______.
【解析】
()24,21a b λ+=+r r ,由向量2a b +r r 与()8,6c =r 共线，得()248210λ-+= ，解得
1λ=
，则a =r
.
14.将参数方程1212a x t t b y t t ⎧⎛⎫
=+ ⎪⎪⎪⎝⎭
⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩
（t 为参数），转化成普通方程为_______．
【答案】22
221x y a b
-=
【解析】 【分析】
将参数方程变形为112112x t a t y t b t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭
⎨⎛⎫
⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩
，两式平方再相减可得出曲线的普通方程.
【详解】将参数方程变形为112112x t a t y t b t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，两等式平方得222
2222211241124x t a t y t b t ⎧⎛⎫
=++⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎨⎛⎫
⎪=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，
上述两个等式相减得22221x y a b -=，因此，所求普通方程为22
221x y a b -=，
故答案为：22
221x y a b
-=.
【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，在消参中，常用平方消元法与加减消元法，考查计算能力，属于中等题.
15.已知随机变量X 服从正态分布N(0，σ2)且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)＝____________. 【答案】0.1 【解析】
Q
随机变量
ξ
服从正态分布
()
20,N σ，且
()()200.4,020.4,P X P X -≤≤=∴≤≤=()20.50.40.1P X ∴>=-=，故答案为0.1.
16.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A-BCD 的外接球，BC=3，23AB =，点E 在线段BD 上，且BD=3BE ，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__. 【答案】[2,4]ππ 【解析】 【分析】
设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ，连接oO 1D ，OD ，O 1E ，OE ，可得R 2＝3+（3﹣R ）2，解得R ＝2，过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．
【详解】如图，
设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ， 连接oO 1D ，OD ，O 1E ，OE ， 则0
12
3sin 6033
O D =⨯
=，AO 1221 3.AD DO =-= 在Rt △OO 1D 中，R 2＝3+（3﹣R ）2，解得R ＝2， ∵BD ＝3BE ，∴DE ＝2
在△DEO 1中，O 1E 034232cos300.=+-⨯⨯⨯= ∴22112OE O E OO =+=
过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小， ()
2
222 2.-
=，最小面积为2π．
当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π． 故答案为：[2π，4π]
【点睛】本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最值，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.已知直线l
的参数方程为x 4t 2
y t 2⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半
轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ4cos θ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点．
()1求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；
()2动点P 在圆C 上(不与A ，B 重合)，试求ABP V 的面积的最大值．
【答案】
(1)
(2) 2+. 【解析】
分析：(1)先根据2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再将直线l 的参数方程代入圆C 方程，利用韦达定理以及参数几何意义求弦AB 的长；(2)先根据加减消元法得直线l 的普通方程，再根据点到直线距离公式得点P 到直线l 的距离最大值，最后根据三角形面积公式求最大值.
详解：（1）由4cos ρθ=得2
4cos ρρθ=
所以2
2
40x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为()2
224x y -+=
将直线l 的参数方程代入圆()2
2:24C x y -+=
，并整理得20t +=，
解得120,t t ==-所以直线l 被圆C
截得的弦长为12t t -=. （2）直线l 的普通方程为40x y --= .
圆C 的参数方程为222x cos y sin θ
θ=+⎧⎨=⎩
（θ为参数），
可设圆C 上的动点()22cos ,2sin P θθ+， 则点P 到直线l
的距离2cos 4d πθ⎛
⎫=
=+ ⎪⎝
⎭
当cos 14πθ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭时，d 取最大值，且d
的最大值为2+
所以(
1
222
ABP S ∆≤
⨯=+ 即ABP ∆
的面积的最大值为2+. 点睛：直线的参数方程的标准形式的应用
过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是00cos sin x x t y y t α
α=+⎧⎨=+⎩
.(t 是参数，t 可正、
可负、可为0)
若M 1，M 2是l 上的
两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则
(1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α). (2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.
(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝
12
2
t t +，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝12
2
t t +.
(4)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0.
18.选修4-5：不等式选讲
设函数()1f x x x =+-的最大值为m . （1）求m 的值；
（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211
a b
b a +
++的最小值. 【答案】(1) m ＝1 (2)13
【解析】
试题分析：（1）零点分区间去掉绝对值，得到分段函数的表达式，根据图像即可得到函数最值；（2）将要求的式子两边乘以(b ＋1)＋(a ＋1)，再利用均值不等式求解即可. 解析：
（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝
由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1． 所以m ＝1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，
＋＝
(
＋)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝ [a 2＋b 2＋＋
]
≥ (a 2＋b 2＋2)
＝ (a ＋b )2
＝
．
当且仅当a ＝b ＝时取等号．
即＋
的最小值为
．
19.如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为 AOC ∆的垂心 （1）求证：平面OPG ⊥平面 PAC ；
（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.
【答案】（1）见解析（2251
.
【解析】
试题分析：（1）延长OG 交AC 于点M ，由重心性质及中位线性质可得//OM BC ，再结合圆的性质得OM AC ⊥，由已知PA OM ⊥，可证OM ⊥ 平面PAC ，进一步可得平面
OPG ⊥　
平面PAC ；（2）以点C 为原点，CB u u u r ，CA u u u r ，AP u u u r
方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用二面角与二个半平面的法向量的夹角间的关系可求二面角的余弦值．
试题解析：（1）如图，延长OG 交AC 于点M .因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点.
因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以
OM AC ⊥.
因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥.又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面,PAC PA AC ⋂=A ，所以OM ⊥ 平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ，所以平面OPG ⊥平面PAC
.
（2）以点C 为原点，CB u u u r ，CA u u u r ，AP u u u r
方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系
C xyz -，则()0,0,0C ，()0,1,0A ，)
3,0,0B
，31,022O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，()0,1,2P ，10,,02M ⎛⎫
⎪⎝⎭，则32OM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，31,222OP ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r .平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一
个法向量为(),,n x y z =r ，则30,
{3120,
2
n OM x n OP x y z ⋅==⋅=++=u u u u
r r u u u r r 令1z =，得()0,4,1n =-r .过点
C 作CH AB ⊥于点H ，
由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A ⋂=，所以CH ⊥
平面PAB ，即CH u u u r
为平面PAO 的一个法向量.
在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒
，12CH CB =
=
.
所以cos H x CH HCB =∠=3sin 4H y CH HCB =∠=.
所以3,,044CH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r . 设二面角A OP G --的大小为θ，则cos CH n CH n θ⋅==⋅u u u r r u u u r r
=. 点睛：若12,n n u r u u r
分别二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小θ满足
12cos ,cos n n θ=〈〉u r u u r ，二面角的平面角的大小是12,n n u r u u r
的夹角(或其补角，需根据观察得出结
论)．在利用向量求空间角时，建立合理的空间直角坐标系，正确写出各点坐标，求出平面的法向量是解题的关键．
20.2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. （1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】（1）1
14400
；（2）选择第一种抽奖方案更合算.
【解析】 【分析】
（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率； （2）选择方案一，计算所付款金额X
分布列和数学期望值，选择方案二，计算所付款金额
Z 的数学期望值，比较得出结论.
【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，
设顾客享受到免单优惠为事件A ，则()3
33101
120
C P A C ==，
所以两位顾客均享受到免单的概率为()()1
14400
P P A P A =⋅=
；
（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0、600、700、1000.
()3331010120C P X C ===，()21373
107
60040C C P X C ===， ()12373102170040C C P X C ===，()3
73107
100024
C P X C ===.
故X 的分布列为，
所以()172171060070010007641204040246
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-， 由已知可得3~3,
10Y B ⎛⎫
⎪
⎝⎭
，故()
3931010E Y =⨯=， 所以()()()10002001000200820E Z E Y E Y =-=-=（元）. 因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.
【点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量分布列与数学期望，同时也考查了二项分布的数学期望与数学期望的性质，解题时要明确随机变量所满足的分布列类型，考查计算能力，属于中等题.
21.已知椭圆()222210y x a b a b +=>>的离心率为2
，且22a b =.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l ：0x y m -+=与椭圆交于A ，B 两点，是否存在实数m ，使线段AB 的中点在圆
225x y +=上，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）实数
不存在，理由见解析．
【解析】
试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和的关系，解方程可得，进而得到椭圆方程；
（2）设
，
，线段
的中点为
．联立直线方程和椭圆方程，运
用韦达定理和中点坐标公式，求得的坐标，代入圆的方程，解方程可得
，进而判断不存
在．
试题解析：（1）由题意得
，解得故椭圆的方程
为；
（2）设，，线段
的中点为联立直线与椭圆的方
程得，即
， 即
，
，
所以，
即．又因
点在圆
上，
可得， 解得与矛盾．
故实数
不存在．
考点：椭圆的简单性质．
22.已知函数2
()ln(1)2
k f x x x x =+-+
(0)k ≥. （1）当2k =时，求函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程. （2）求函数()f x 的单调区间. 【答案】（1）3
(1)ln 22
y x =-+；（2）见解析. 【解析】 试题分析：
（1）函数的
定义域()1,-+∞，当2k =时，计算可得：()3
'12
f =，()12f ln =，则切线方程为()3
122
y x ln =
-+. （2）()()211
'111
kx k x f x kx x x +-=-+=
++，考查二次函数()()()()211g x kx k x x kx k =+-=+-，分类讨论：
①若0k =，()f x 在()1,0-上单调递增，在()0,+∞上单调递减.
②若0k >，()g x 为开口向上的二次函数，两个零点均在定义域()1,-+∞上.则： （i ）若01k <<，函数()f x 在()1,0-和1,k k -⎛⎫+∞
⎪⎝⎭上单调递增，在10,k k -⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减. （ii ）若1k =，()f x 在()1,-+∞上单调递增. （iii ）若1k >，函数()f x 在11,k k -⎛
⎫- ⎪⎝
⎭和()0,+∞上单调递增，在1,0k k -⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减. 试题解析：
（1）函数的定义域()1,-+∞， 当2k =时，()1'121f x x x =
-++，()13
'11222
f =-+=， ()12112f ln ln =-+=，∴切线方程为()3
122
y x ln =-+.
（2）()()211
'111
kx k x f x kx x x +-=-+=
++， 易知10x +>，令()()()()
2
11g x kx k x x kx k =+-=+-，
①若0k =，()g x x =-，∴()f x 在()1,0-上单调递增，在()0,+∞上单调递减. ②若0k >，()g x 为开口向上的二次函数，零点分别为0，1k k -，其中
11
11k k k
-=->-， 即()g x 的两个零点均在定义域()1,-+∞上. （i ）若01k <<，
10k k ->，所以函数()f x 在()1,0-和1,k k -⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上单调递增，在10,k k -⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减.
（ii ）若1k =，10k
k
-=，()g x 图象恒在x 轴上方，()'0f x ≥恒成立，∴()f x 在()1,-+∞上单调递增. （iii ）若1k >，10k k -<，∴函数()f x 在11,k k -⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上单调递增，在1,0k k -⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减.
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。