2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(04)

2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（04）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1．（5分）已知i为虚数单位，则复数﹣1+i的模等于（）A．B．C．D．2
2．（5分）i是虚数单位，复数=（）
A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
3．（5分）若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．﹣1
4．（5分）如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于（）
A．B．C．D．
5．（5分）已知向量=（4，﹣2），向量=（x，5），且∥，那么x的值等于（）
A．10 B．5 C．D．﹣10
6．（5分）已知、是两个单位向量，那么下列命题中的真命题是（）A．B．C．D．
7．（5分）下列各式中，值为的是（）
A．sin15°cos15° B．cos2﹣sin2
C．D．
8．（5分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
9．（5分）有以下四个命题：
①如果且，那么；
②如果，那么或；
③△ABC中，如果，那么△ABC是钝角三角形；
④△ABC中，如果，那么△ABC为直角三角形．
其中正确命题的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）
A．ω=1，φ= B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ= D．ω=2，φ=﹣
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）
11．（5分）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为．
12．（5分）已知向量满足与的夹角为60°，则
=．
13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为，若向量=，
，则=．
14．（5分）已知向量=（1，﹣3），=（4，2），若⊥（+λ），其中λ∈R，
则λ=．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
15．（12分）已知函数f（x）=4cosxsin（x）﹣1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．
16．（12分）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，那么要满足上述的要求，并且获利最大，甲、乙两车间应当各生产多少箱？
17．（14分）已知函数，x∈R，且
（1）求A的值；
（2）设，，，求cos（α+β）的值．
18．（14分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE ⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4．现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG．
（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；
（2）求多面体CDEFG的体积．
19．（14分）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以
nmile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．
（1）求线段BC的长度；
（2）求∠ACB的大小；
（参考数值：）
（3）问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船？
20．（14分）已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（04）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1．（5分）已知i为虚数单位，则复数﹣1+i的模等于（）A．B．C．D．2
【解答】解：．
所以，复数﹣1+i的模等于．
故选C．
2．（5分）i是虚数单位，复数=（）
A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
【解答】解：复数===2﹣i
故选B．
3．（5分）若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．﹣1
【解答】解：由a2﹣3a+2=0得a=1或2，且a﹣1≠0得a≠1∴a=2．
故选B．
4．（5分）如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵D是△ABC的边AB的中点，∴=（+）
∵=﹣，
∴=（﹣﹣）=﹣+
故选：A
5．（5分）已知向量=（4，﹣2），向量=（x，5），且∥，那么x的值等于（）
A．10 B．5 C．D．﹣10
【解答】解：∵=（4，﹣2），=（x，5），且∥，
∴4×5=﹣2x，解之得x=﹣10
故选：D
6．（5分）已知、是两个单位向量，那么下列命题中的真命题是（）A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，设θ为、的夹角，据此依次分析选项：
对于A、、是两个单位向量，则、的方向不一定相同，则=不一定成立，A错误；
对于B、•=||||cosθ，当、不垂直时，•≠0，B错误；
对于C、•=||||cosθ=cosθ≤1，C错误；
对于D、、是两个单位向量，即||=||，则有2=2，D正确；
故选：D．
7．（5分）下列各式中，值为的是（）
A．sin15°cos15° B．cos2﹣sin2
C．D．
【解答】解：sin15°cos15°=sin30°=，排除A项．
cos2﹣sin2=cos=，排除B项．
==，排除C项
由tan45°=，知选D．
故选D
8．（5分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=sin2（x+），
∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin（2x+）的图象，
故选：B
9．（5分）有以下四个命题：
①如果且，那么；
②如果，那么或；
③△ABC中，如果，那么△ABC是钝角三角形；
④△ABC中，如果，那么△ABC为直角三角形．
其中正确命题的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：①∵且，∴，与不一定相等，故①
不正确；
②∵，∴，或，或，故不正确；
③在△ABC中，∵，∴，∴∠ABC是钝角，故△BAC是钝角三角形，因此正确；
④在△ABC中，∵，∴，即AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴△ABC 是直角三角形，故正确．
综上可知：只有③④正确，即正确命题的个数是2．
故选C．
10．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）
A．ω=1，φ= B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ= D．ω=2，φ=﹣
【解答】解：由图象可知：T==π，∴ω=2；（，1）在图象上，
所以2×+φ=，φ=﹣．
故选D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）
11．（5分）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为﹣1．【解答】解：由（1+i）z=2，得：．
所以，z的虚部为﹣1．
故答案为﹣1．
12．（5分）已知向量满足与的夹角为60°，则=
．
【解答】解：根据题意，•=||||cos60°=1，
2=||2﹣4•+4||2=13，
则2=，
故答案为．
13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为，若向量=，
，则=﹣12．
【解答】解：由已知可得，=
∴=（）•（）=6
=6﹣4×﹣16
=﹣12
故答案为：﹣12
14．（5分）已知向量=（1，﹣3），=（4，2），若⊥（+λ），其中λ∈R，
则λ=．
【解答】解：∵⊥（+λ），
∴•（+λ）=0．
∴（1，﹣3）•（4+λ，2﹣3λ）=0，
即（4+λ）﹣3（2﹣3λ）=0．
解得λ=．
故答案为．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
15．（12分）已知函数f（x）=4cosxsin（x）﹣1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+）﹣1，
=4cosx（sinx+cosx）﹣1
=sin2x+2cos2x﹣1
=sin2x+cos2x
=2sin（2x+），
所以函数的最小正周期为π；
（Ⅱ）∵﹣≤x≤，
∴﹣≤2x+≤，
∴当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2，
当2x+=﹣时，即x=﹣时，f（x）取得最小值﹣1．
16．（12分）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，那么要满足上述的要求，并且获利最大，甲、乙两车间应当各生产多少箱？
【解答】解：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，…（1分）
根据题意，得约束条件…（4分）
画出可行域．…（7分）
目标函数z=280x+200y，…（8分）
即，…（9分）
作直线并平移，得直线经过点A（15，55）时z取最大值．…（11分）
所以当x=15，y=55时，z取最大值．…（12分）
17．（14分）已知函数，x∈R，且
（1）求A的值；
（2）设，，，求cos（α+β）的值．
【解答】解：（1），解得A=2
（2），即
，即
因为，
所以，，
所以．
18．（14分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE ⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4．现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG．
（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；
（2）求多面体CDEFG的体积．
【解答】解：（1）证明：因为DE⊥EF，CF⊥EF，所以四边形CDEF为矩形，
由AD=5，DE=4，得AE=GE==3，
由GC=4，CF=4，得BF=FG==4，所以EF=5，
在△EFG中，有EF2=GE2+FG2，所以EG⊥GF，
又因为CF⊥EF，CF⊥FG，得CF⊥平面EFG，
所以CF⊥EG，所以EG⊥平面CFG，即平面DEG⊥平面CFG．
（2）解：在平面EGF中，过点G作GH⊥EF于H，则GH==，
因为平面CDEF⊥平面EFG，得GH⊥平面CDEF，
=16．
19．（14分）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以
nmile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．
（1）求线段BC的长度；
（2）求∠ACB的大小；
（参考数值：）
（3）问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船？
【解答】解：（1）在△ABC中，∠CAB=45°+75°=120°，…（1分）
由余弦定理，得BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠CAB…（2分）
=+22﹣2×（﹣1）×2×（﹣）=6，…（3分）
所以，BC=．…（4分）
（2）在△ABC中，由正弦定理，得=，
所以，sin∠ACB=…（6分）
==．…（7分）
又∵0°＜∠ACB＜60°，
∴∠ACB=15°．…（8分）
（3）设缉私船用th在D处追上走私船，如图，
则有CD=10t，BD=10t．
在△ABC中，
又∠CBD=90°+30°=120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD=…（8分）
==．…（10分）
∴∠BCD=30°，
又因为∠ACB=15°…（12分）
所以1800﹣（∠BCD+∠ACB+75°）=180°﹣（30°+15°+75°）=60°
即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．（14分）
20．（14分）已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，
∴f（2）=3；
∵f′（x）=3x2﹣3x，
∴f′（2）=6．
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣3=6（x﹣2），即y=6x﹣9；
（Ⅱ）解：f′（x）=3ax2﹣3x=3x（ax﹣1）．
令f′（x）=0，
解得x=0或x=．
以下分两种情况讨论：
（1）若0＜a≤2，则；
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
当时，f（x）＞0，等价于即．
解不等式组得﹣5＜a＜5．因此0＜a≤2；
（2）若a＞2，则
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
）
当时，f（x）＞0等价于即
解不等式组得或．
因此2＜a＜5．
综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5．。