概率论与数理统计-第6章-第6讲-两个正态总体参数的置信区间

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[0.3545 , 2.5545]
本讲内容
01 两个正态总体的情形 02 两个正态总体参数的置信区间 03 *6.2.3 单侧置信区间
03 *6.2.3 单侧置信区间
P(ˆ1 ˆ2 ) 1
[θˆ1, θˆ2 ] θ 的置信区间 双侧置信区间
但在某些实际问题中,例如,对于机器设备零部件来说,平均 寿命越长越好,我们关心的是平均寿命的“下限” ;又如,在购 买家具用品时,其中甲醛含量越小越好,我们关心的是甲醛含量均 值的“上限”.这就引出了单侧置信区间的概念.
2 1
2 2
2,
求均值差
1 2 的置信度为0.95 的置信区间;
02 两个正态总体参数的置信区间

(1) F0.025 (16, 12) 3.16,
F0.975 (16 ,
12)
1 F0.025 (12 ,
16)
1 2.89
由公式得方差比
2 1
2 2
的置信区间为
S12 S22
F0.975 (n2
12
2 2
n1 n2
P u U u 1,
2
2
( X Y uα 2
σ12 n1
σ
2 2
n2
,X
Y

2
σ12 σ22 ) n1 n2
5
02 两个正态总体参数的置信区间
(2)
2 1
2 2
2
未知,1 2 的置信区间
T
X
Y Sw
(1
1 n1
2)
1 n2
~
t (n1
n2
2)
Sw
估什么?
1 2
2 1
2 2
3
本讲内容
01 两个正态总体的情形 02 两个正态总体参数的置信区间 03 *6.2.3 单侧置信区间
02 两个正态总体参数的置信区间
(1)
2 1
,
2 2
已知, 1 2 的置信区间
X
~
N
(
1
,
12
n1
)
Y
~
N
(2
,
2 2
n2
)
X
Y
~
N (1
2
,
12
n1
2 2
n2
)
U X Y (1 2 ) ~ N (0,1)
已知 X1, X 2 , , X13 与 Y1,Y2 , ,Y17 x 10.6g, y 9.5g, s12 2.4g 2 , s22 4.7g 2
假设两条流水线上罐装的辣椒酱的重量都服从正态分布,其均值
分别为 1与 2
(1) 求它们的方差比的置信度为 0.95 的置信区间
(2)
若它们的方差相同,
概率论与数理统计
第6章 参数估计
第6讲 两个正态总体参数的置信区间
主讲教师 |
本讲内容
01 两个正态总体的情形 02 两个正态总体参数的置信区间 03 *6.2.3 单侧置信区间
01 两个正态总体的情形
设有两个独立的正态总体:
X
~
N ( μ1,σ12 ),Y
~
N
(
μ2
,
σ
2 2
)
每个总体抽取一组样本: X1, X 2 , X n1和Y1,Y2 ,Yn2 它们的样本均值和方差为 X ,Y ;S12 , S22
S n
t
2 (n
1),
X
S n
t
2 (n
1)]
经过变换,可得单侧置信下限为
ˆL X t (n 1)
S n
0.05 t (n 1) t0.05 (45) 1.6794
ˆL x t0.05 (45)
s 16.36 n
17
第6讲 两个正态总体参数的置信区间
这一讲,我们主要讨论了总体分布为正态的情 形. 若样本容量很大,即使总体分布未知,应用中心 极限定理,也可以近似求得参数的区间估计.
1, n1
1),
S12 S22
F0.025 (n2
1, n1
1) [
0.1767,
1.6136 ]
(2) 由公式 1 2 的置信区间为
11
( X Y ) t (n1 n2 2)
2
n1 n2
(n1 1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
查表得 t0.025 (28) 2.0484
12
03 *6.2.3 单侧置信区间
单侧置信区间定义
设 是 一个待估参数,给定 0, 若存在统计量 ˆL ˆL (X1, X2, , Xn ) 满足
P{ˆL } 1
则称 [ˆL, )是 的置信度为 1 的单侧置信区间. ˆL 称为
单侧置信下限.
13
03 *6.2.3 单侧置信区间
n1
n2
n1
( Xi 1)2
i 1
n2
(Yj 2 )2
F1
2
(n2
1,
n1
1),
j 1
n1
n2 n1
i 1 n2
( Xi 1)2 (Yj 2 )2
F (n2 2
1, n1 1)
j 1
7
02 两个正态总体参数的置信区间
(4)
方差比
2 1 2 2
的置信区间 ( 1 ,
2
未知)
S12
F
12
S22
~
F (n1 1, n2
1),
2 2
P
F1 2
(n1
1,
n2
1)
F
F
2
(n1
1,
n2
1)
1
S12 S22
F1 2
(n2
1, n1
1),
S12 S22
F
2
(n2
1, n1
1)
8
02 两个正态总体参数的置信区间
例 某厂利用两条自动化流水线罐装辣椒酱. 现分别 从两条流水线 上抽取了容量分别为13与17的相互独立的样本
2
16

03 *6.2.3 单侧置信区间
例6.20
已知某种建筑材料的剪力强度X 服从正态分布,对该种
材料做了46次剪力测试,测得 x 17.17(N / mm2 ),s 3.28(N / mm2 ),
求剪力强度平均值 的置信度为0.95的单侧置信下限.
解 方差 2未知, 的双侧置信区间
[X
(n1
1) S12
(n2
1)S
2 2
n1 n2 2
P t( n 1) T t( n 1) 1
2
2
[ X Y t (n1 n2 2)Sw
2
1 n1
1 n2
,
X
Y
t
2
(n1
n2
2)Sw
1 1] n1 n2
6
02 两个正态总体参数的置信区间
*(3) 方差比
2 1
2 2
的置信区间 ( 1 , 2 已知)
18
概率论与数理统计
学海无涯,祝你成功!
主讲教师 |
求参数 的置信度为 1 的单侧置信下限.
解 取 U X N (0,1)
n
P
X
n
u
1,
u
P
X
u
1

n
ˆ L
X
u
n
15
03 *6.2.3 单侧置信区间
在前面的讨论中,我们已经给出了正态总体参数的双 侧置信区间公式,实际上,只要取相应的上侧或下侧,将 其中的 换成 ,就可以得到单侧置信上限或下限.
设 是 一个待估参数,给定 0, 若存在统计量 ˆU ˆU (X1, X2, , Xn ) 满足
P{ ˆU} 1 则称 [ˆL, )是 的置信度为 1 的单侧置
信区间. ˆU 称为单侧置信上限.
14
03 *6.2.3 单侧置信区间
求单侧置信区间的方法
例 设X1,…Xn 是取自N (, 2 ) 的样本, 2已知,
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