北师大版八年级数学上册试题 第7章 平行线的证明 单元提高卷 (含详解)

第7章《平行线的证明》（单元提高卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ∥BC ，DE 交AB 于E ，若AB ＝BC ，则下列结论中错误的是（ ）
A ．BD ⊥AC
B ．∠A ＝∠EDA
C ．2A
D ＝BC D ．B
E ＝ED
2．如图，直线AB 、CD 相交于点E ，DF ∥AB ．若∠AEC=100°，则∠D 等于（ ）
A ．70°
B ．80°
C ．90°
D ．100°
3．如图，直线，点在上，点、点在上，的角平分线交于点，过点作于点，已知，则的度数为（ ）
A ．26º
B ．32º
C ．36º
D ．42º
4．如下图，在下列条件中，能判定AB//CD 的是(
)
//AB CD E CD O F AB EOF ∠OG CD G F FH OE ⊥H 148OGD ∠=︒OFH ∠
A ．∠1=∠3
B ．∠2=∠3
C ．∠1=∠4
D ．∠3=∠4
5．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=121°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找到一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）
A ．118°
B ．121°
C ．120°
D ．119°
6．如图所示，若∠1＝∠2＝45°，∠3＝70°，则∠4等于（ ）
A ．70°
B ．45°
C ．110°
D ．135°
7．如图，，∠M ＝44°，AN 平分∠BAM ，CN 平分∠DCM ，则∠N 等于（ ）
A ．21.5°
B ．21°
C ．22.5°
D ．22°
8．在和中，，，，，则这两个三角形的关系是（ ）
A ．不一定全等
B ．不全等
AB CD ∥ABC V A B C '''V A B C ∠∠=∠+B C A '''∠+∠=∠b a b c ''-=-b a b c ''+=+
C ．根据“ASA ”全等
D ．根据“SAS ”全等
9．如图，在中，，点D 是BC 上一点，BD 的垂直平分线交AB 于点E ，将沿AD 折叠，点C 恰好与点E 重合，则等于（ ）
A ．19°
B ．20°
C ．24°
D ．25°
10．如图，中，，且，，则 的度数为( )
A ．80°
B ．60°
C ．40°
D ．20°
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，将一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使顶点C ，D 分别落在点C ′、D ′处，C ′E 交AF 于点G ，若∠CEF=64°，则∠GFD ′=_____________.
12．如图，AB ∥CD, AC ∥BD, CE 平分∠ACD ，交BD 于点E ，点F 在CD 的延长线上，且∠BEF=∠CEF ，若∠DEF=∠EDF ，则∠A 的度数为_____
.
ABC V 120BAC ∠=︒ACD V B ∠ABC ∆100ABC ∠=︒AEF AFE ∠=∠CFD CDF ∠=∠EFD ∠︒
13．在中，，点是外一点，连接，且交于点，在上取一点，使得，若，，则的度数为 ___________．
14．如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF 和三角板CFB 如图所示摆放，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，且∠CFE ＝13°，∠CFD ＝32°，则∠DEC 的度数为_______．
15．如图，在中，，在边上取点，使得，连接．点、分别为、边上的点，且，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若，则的度数为_______．
16．如图，AO ⊥OM ，OA=7，点B 为射线OM 上的一个动点，分别以OB ，AB 为直角边，B 为直角顶点，在OM 两侧作等腰Rt △OBF 、等腰Rt △ABE ，连接EF 交OM 于P 点，当点B 在射线OM 上移动时，则PB 的长度____________
．
ABC V AB AC =D ABC V AD BD CD 、、BD AC O BD E AE AD EAD BAC =∠=∠，70ACB ABC ∠=∠=︒AED ADE ∠=∠BDC ∠Rt ABC V 90ABC ∠=︒AC D AD AB =BD E F AD BD 48DEF ∠=︒DEF V EF D AB G //GF BC C ∠
17．下列说法中正确的有_____________（填序号）.
①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫两点的距离；③两点之间线段最短；④若AC=BC ，则点C 是线段AB 的中点；⑤相等的角是对顶角；⑥
180°角是补角；⑦65.5°＝65.50′；⑧如果∠1＋∠2＋∠3＝90°，那么∠1、∠
2、∠3互为余角.
18．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点是直线：上的一个动点，若，则点的坐标是__________．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知平面内有一个△ABC ，O 为平面内的一点，延长AO 到A ′，使OA ′=OA ，延长BO 到B ′，使OB ′=OB ，延长CO 到从C ′，使OC ′=OC ，得到△A ′B ′C ′，问：△A ′B ′C ′与△ABC 是否全等？这两个三角形的对应边是否平
行？请说明理由．
O A ()0,8B ()4,0-P l 4x y +=PAB ABO ∠=∠P
20．（8分）如图，点，分别是，上的点，，.
(1) 求证：；
(2) 若比大，求的度数.
21．（10分）已知四边形ABCD 中，∠B=∠C=90°，E 是边AB 上一点，F 为边BC 上一点（不与B ，C 两点重合），连接EF ，DF ，且EF ⊥DF ．
(1) 如图1，若∠DFC=∠A ，求证：AD ⊥FD
(2) 如图2，∠BEF 和∠CDF 的平分线相较于点O ，当点F 在边BC 上运动时，探究∠O 的大小是否发生变化？若不变，求出∠O 的度数；若变化，写出其变化
范围．
D F BC AB //DF AC FD
E A ∠=∠//DE AB AED ∠BFD ∠40︒BFD ∠
22．（10分）已知直线，点A 、B 为分别在直线上，点C 为平面内一点，连接、，且．
(1) 如图，求证：；
(2) 如图2，射线分别平分和，交直线于点E ，与内部的一条射线交于点D ，若，求的度数．
23．（10分）已知：如图，点 是直线 上一动点，连接 ．
(1) 如图，当点在线段上时，若，，求 度数．
(2) 当点在直线上时，请写出，，的数量关系，并
证明．
,MN PQ ,MN PQ AC BC C NAC CBQ ∠=∠+∠MN PQ ∥,AE BD MAC ∠CBQ ∠AE PQ BD MAC ∠AD 2C D ∠=∠EAD ∠D AB CD D AB 105ABC ∠= 30BCD ∠= ADC ∠D AB ADC ∠ABC ∠BCD ∠
24．（12分）如图，在中，，平分，点为中点，与相交于点．
(1) 若，，求的度数；
(2) 如图1，若，求线段的长的取值范围；
(3) 如图2，过点作交延长线于点，设，的面积分别为，，若，试求
的最大值．
ABC V 12BC =AD BAC ∠E AC AD BE F 40ABC ∠=︒80C ∠=︒ADB ∠10AB =BE B BH AD ⊥AD H BFH △AEF △1S 2S 4AB AC -=12S S -
参考答案
一、单选题
1．C
解：BD 是△ABC 的角平分线， AB ＝BC ，
则BD 是AC 边上的高及中线，
所以∠ABD ＝∠DBC ,BD ⊥AC ，2AD=AC, ∠A ＝∠BCA ；
因为DE ∥BC ，
所以∠EDA ＝∠BCA, ∠EDB ＝∠DBC ，
所以∠A ＝∠EDA, ∠ABD ＝∠EDB ，
所以BE ＝ED ．
所以A 、B 、D 正确，C 错误．
2．B
解：因为AB ∥DF ，所以∠D+∠DEB=180°，因为∠DEB 与∠AEC 是对顶角，所以∠DEB=100°，所以∠D=180°﹣∠DEB=80°．故选B ．
3．A
【分析】依据∠OGD=148°，可得∠EGO=32°，根据AB ∥CD ，可得∠EGO =∠GOF ，根据GO 平分∠EOF ，可得∠GOE =∠GOF ，等量代换可得：∠EGO=∠GOE=∠GOF=32°，根据，可得：=90°-32°-32°=26°
解：∵ ∠OGD=148°,
∴∠EGO=32°
∵AB ∥CD ，
∴∠EGO =∠GOF,
FH OE ⊥OFH ∠
∵的角平分线交于点,
∴∠GOE =∠GOF,
∵∠EGO=32°
∠EGO =∠GOF
∠GOE =∠GOF,
∴∠GOE=∠GOF=32°,
∵,
∴=90°-32°-32°=26°
故选A.
4．C
解：根据平行线的判定，可由∠2=∠3，根据内错角相等，两直线平行，得到AD ∥BC ，由∠1=∠4，得到AB ∥CD.
故选C.
5．A
【分析】如图，作A 关于和的对称点，，连接，交于M ，交于N ，则的长度即为周长的最小值．根据，得出．根据，，且
，，可得
，即可求出答案．
解：如图，作A 关于和的对称点，，连接，交于M ，交于N ，
根据对称的性质有：，，
∴周长的为．
当点、、M 、N 四点共线时，的值最小，且最小为，则的长度即为
周长的最小值．EOF ∠OG CD G FH OE ⊥OFH ∠BC CD A 'A ''A A '''BC CD A A '''AMN V 121∠=︒DAB 59'''∠+∠=︒AA M A ''∠=∠MA A MAA NAD A ''∠=∠''∠+∠=∠MA A MAA AMN NAD A ANM ''∠+∠=∠AMN ANM MA A MAA NAD A ''∠+∠=∠++∠+∠'∠'BC CD A 'A ''A A '''BC CD AM A M '=AN A N ''=AMN V A A M M AN MN A N MN +'''+++=A 'A ''A M A N MN '''++A A '''A A '''AMN V
∵，
∴．
∵，，且，
，
∴．故选：A ．
6．C
【分析】根据对顶角的性质可得∠1＝∠5，再由等量代换得∠2＝∠5，即可得到到a ∥b ，利用两直线平行同旁内角互补可得∠3＋∠4=180°，最后根据∠3的度数即可求出∠4的度数．
解：∵∠1与∠5是对顶角，
∴∠1＝∠2＝∠5＝45°，
∴a ∥b ，
∴∠3+∠6＝180°，
∵∠3＝70°，
∴∠4=∠6＝110°．
故答案为C ．
7．D
【分析】由平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，只要证明得，即可求出答案．
解：如图，线段AM 与AN 相交于点E
，
121∠=︒DAB 18012159AA M A '''∠+∠=︒-︒=︒''∠=∠MA A MAA NAD A ''∠=∠''∠+∠=∠MA A MAA AMN NAD A ANM ''∠+∠=∠()2259118AMN ANM MA A MAA NAD A AA M A ''''∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=⨯︒='''︒22M N ∠-∠=︒
∵，
∴，
∵AN 平分∠BAM ，CN 平分∠DCM ，
∴，，，，
∴，
∴；①
在△ACM 中，有
，
∴②，
由①②，得，
∴，即；
∵，
又，
∴，
∴，
即，
∴；
故选：D ．
8．D
【分析】由角度数量关系与三角形内角和定理可得，
，由
线段的数量关系可得，，进而可证明三角形全等．
解：∵，∴
，AB CD ∥180ACD CAB ∠+∠=︒21BAM ∠=∠24DCM ∠=∠12∠=∠3=4∠∠180ACD CAM BAM ∠+∠+∠=︒21180ACD CAM ∠+∠+∠=︒180ACM CAM M ∠+∠+∠=︒2444180ACD CAM ∠+∠+∠+︒=︒-212444∠-∠=︒1422∠-∠=︒1322∠-∠=︒13180AEN N CEM M ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒AEN CEM ∠=∠13N M ∠+∠=∠+∠1322M N ∠-∠=∠-∠=︒4422N ︒-∠=︒22N ∠=︒90C ∠=︒90A '∠=︒b b '=a c '=A B C ∠∠=∠+B C A ∠'+∠'=∠'
90C ∠=︒90A '∠=︒
∵①+②得②-①得∴在和中，
∵∴ 故选D ．
9．B
【分析】根据垂直平分线和等腰三角形性质，得；根据三角形外角性质，得；根据轴对称的性质，得，，；根据补角的性质计算得，根据三角形内角和的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案．
解：∵BD 的垂直平分线交AB 于点E ，
∴
∴
∴
∵将沿AD 折叠，点C 恰好与点E 重合，
∴，，
∵
∴ ∵
∴∴
故选：B ．
10．C
b a b
c b a b c -='-'⎧⎨+='+'⎩①
②
b b '
=a c '
=ABC V C B A '''V b b C A a c =⎧⎪∠=∠⎨⎪='
'⎩
'()
ABC C B A SAS '''V V ≌B EDB ∠=∠2AED B ∠=∠2C B ∠=∠60EAD ∠=︒ADE ADC ∠=∠902
B AD
C ∠∠=︒-EB E
D =B EDB ∠=∠2AED B EDB B ∠=∠+∠=∠ACD V 2C AED B ∠=∠=∠1602
EAD CAD BAC ∠=∠=∠=︒ADE ADC ∠=∠180180CDE EDB B ∠=︒-∠=︒-∠1
9022B ADC CDE ∠∠=∠=︒-180CAD ADC C ∠+∠+∠=︒609021802
B B ∠+︒-+∠=︒20B ∠=︒
【分析】连接FB ，根据三角形内角和和外角知识，进行角度计算即可．解：如图连接FB ，
∵，，
∴，∴，
即，
又∵，
∴，
∵，
∴，故选：C ．
二、填空题
11．520
解：因为AD ∥BC ，所以∠CEF=∠AFE=64°，∠DFE=180°-∠CEF=180°-64°=116°，由折叠得∠EFD=∠EFD ′，所以∠EFD ′=116°，所以∠GFD ′=∠EFD ′-∠AFE=116°-64°=52°，故答案为52°.
12．108
解：分析：根据平行线的性质，得到∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF ，∠A+∠ACD=180°，然后根据角平分线的性质，得到∠ACE=∠ECD=∠CED ，然后根据题意和三角形的外角的性质，四边形的内角和求解.
详解：∵CE 平分∠ACD
∴∠ACE=∠DCE
∵AB ∥CD ，AC ∥
BD,
AEF AFE ∠=∠CFD CDF ∠=∠AEF AFE EFB EBF ∠=∠=∠+∠CFD CDF BFD FBD
∠=∠=∠+∠AFE CFD EFB EBF BFD FBD ∠+∠=∠+∠+∠+∠AFE CFD EFD EBD ∠+∠=∠+∠180AFE EFD DFC ∠+∠+∠=︒2180EFD EBD ∠+∠=︒100ABC ∠=︒180100=402
EFD ︒-︒∠=︒
∴∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF ，∠ACD+∠A=180°，∠ACE=∠CED
∵∠EDF=∠DEF =∠ECD+∠CED
∴∠CEF=∠FEB=∠CED+∠DEF
设∠B=x ，则∠A=180°-x ，∠ACE=∠ECD=∠
CED=x ，∴∠EDF=x ，∠BEF=x
∴∠CEB=360°-2×∠BEF=360°-3x
∴∠A+∠B+∠BEC+∠ACE=180°-x+x+360°-3x+x=360°
解得x=72°
∴∠A=180°-72°=108°.
故答案为108.13．【分析】根据证明，再利用全等三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可．
解：∵，
∴，
即：；
在和中，
，∴（），
∴，
∵是和的外角，
∴，
∴，
1232
1240︒
SAS ABE ACD V V ≌EAD BAC ∠=∠BAC EAC EAD EAC ∠-∠=∠-∠BAE CAD ∠=∠ABE V ACD V AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
ABE ACD V V ≌SAS ABD ACD ∠=∠BOC ∠ABO V DCO V BOC ABD BAC BOC ACD BDC ∠=∠+∠∠=∠+∠，ABD BAC ACD BDC ∠+∠=∠+∠
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．【分析】作FH 垂直于FE ，交AC 于点H ，可证得，由对应边、对应角相等可得出，进而可求出，则．
解：作FH 垂直于FE ，交AC 于点H ，
∵又∵，∴∵，FA=CF
∴∴FH=FE
∵∵∴又∵DF=DF
∴∴∵∴∵∴∴BAC BDC ∠=∠70ABC ACB ∠=∠=︒180180707040BAC ABC ACB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒40BDC BAC ∠=∠=︒40︒64︒
()FAH FCE ASA ≅△△()HDF EDF SAS ≅△△58DEF ∠=︒64DEC CEF DEF ∠=∠-∠=︒90AFC EFH ∠=∠=︒
AFC AFH CFH ∠=∠+∠HFE CFE CFH
∠=∠+∠13AFH CFE ∠=∠=︒
45A FCE ∠=∠=︒()
FAH FCE ASA ≅△△321345DFE DFC EFC ∠=∠+∠=︒+︒=︒
904545DFH HFE DFE ∠=∠-∠=︒-︒=︒
DFE DFH
∠=∠()
HDF EDF SAS ≅△△DHF DEF
∠=∠451358DHF A HFA ∠=∠+∠=︒+︒=︒
58DEF ∠=︒
180CFE CEF FCE ∠+∠+∠=︒
1801801345122CEF CFE FCE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒
1225864DEC CEF DEF ∠=∠-∠=︒-︒=︒
故答案为：．
15．【分析】根据题意可得，设，是的一个外角，可得，根据三角形内角和定理可得
，即，联立解方程组即可求得．
解：折叠
，设，，是的一个外角
即①
即即②
②-①得即
故答案为：64︒26︒
EDF EGF ∠=∠EDF EGF α∠=∠=ADB ∠DBC △290C α-∠=︒ABC C AEG AGE ∠+∠=∠+∠84C α+∠=︒C ∠ 48DEF GEF ∴∠=∠=︒EDF EGF
∠=∠18024884AEG ∴∠=︒-⨯︒=︒
EDF EGF α
∠=∠== AD AB
GBF EDF α
∴∠=∠=//GF BC
90FGA CBA ∴∠=∠=︒GFB DBC
∠=∠90FGE AGE AGE α∴∠+∠=+∠=︒90GFB GBF GFB α∠+∠=+∠=︒
90AGE GFB DBC α
∴∠=∠=∠=︒-ADB ∠ DBC △90ADB DBC C C αα
∴∠=∠+∠=︒-+∠=290C α-∠=︒180180A ABC C AEG AGE
∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠ ABC C AEG AGE
∴∠+∠=∠+∠9084(90)
C α︒+∠=︒+︒-84C α+∠=︒2⨯378C ∠=︒
26C ∠=︒
26︒
16
．【分析】根据题意过点E 作EN ⊥BM ，垂足为点N ，首先证明△ABO ≌△BEN ，得到BO=ME ；进而证明△BPF ≌△MPE 并分析即可得出答案．
解：如图，过点E 作EN ⊥BM ，垂足为点N ，
∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，
∴∠BAO=∠NBE ，
∵△ABE 、△BFO 均为等腰直角三角形，
∴AB=BE ，BF=BO ；
在△ABO 与△BEN 中，
，∴△ABO ≌△BEN （AAS ），
∴BO=NE ，BN=AO ；
∵BO=BF ，
∴BF=NE ，
在△BPF 与△NPE 中，
，∴△BPF ≌△NPE （AAS ），
∴BP=NP= BN ，BN=AO ，
∴BP= AO= ×7=．7
2
BAO NBE AOB BNE AB BE ∠⎪∠⎧⎩
∠⎪∠⎨＝＝＝FBP ENP FPB EPN BF NE ∠⎪∠⎧⎩
∠⎪∠⎨＝＝＝1212127
2
故答案为：．
17．①③
解：根据直线公理，可知过两点有且只有一条直线，①正确；连接两点的线段的长度脚两点的距离，故②不正确；根据线段公理，两点之间线段最短，故③正确；若AC=BC ，只有在一条直线上时，点C 是线段AB 的中点，④不正确；根据对顶角的定义，可知相等的角不一定是对顶角，⑤不正确；根据和为180°的两角互为补角，知⑥不正确.
故答案为①③.18．或【分析】分两种情况：当点P 在y 轴左侧时，由条件可判定AP ∥BO ，容易求得P 点坐标；当点P 在y 轴右侧时，可设P 点坐标为（a ，−a ＋4），过AP 作直线交x 轴于点C ，可表示出直线AP 的解析式，可表示出C 点坐标，再根据勾股定理可表示出AC 的长，由条件可得到AC ＝BC ，可得到关于a 的方程，可求得P 点坐标．
解：当点P 在y 轴左侧时，如图1，连接AP ，
∵∠PAB ＝∠ABO ，
∴AP ∥OB ，
∵A （0，8），
∴P 点纵坐标为8，
又P 点在直线x ＋y ＝4上，把y ＝8代入可求得x ＝−4，
∴P 点坐标为（−4，8）；
当点P 在y 轴右侧时，过A 、P 作直线交x 轴于点C ，如图2，
72
()12,8-()
4,8-
设P 点坐标为（a ，−a ＋4），设直线AP 的解析式为y ＝kx ＋b ，把A 、P 坐标代入可得，解得，∴直线AP 的解析式为y
＝
x ＋8，令y ＝0可得x ＋8＝0，解得x ＝，∴C 点坐标为（，0），
∴AC 2＝OC 2＋OA 2，即AC 2＝（）2＋82，
∵B （−4，0），∴BC 2＝（＋4）2＝（）2＋＋16，
∵∠PAB ＝∠ABO ，
∴AC ＝BC ，
∴AC 2＝BC 2，即（）2＋82＝（）2＋＋16，解得a ＝12，则−a ＋4＝−8，
∴P 点坐标为（12，−8），
综上可知，P 点坐标为（−4，8）或（12，−8）．
故答案为：（−4，8）或（12，−8）．三、解答题
19．
解：△A'B'C'≌△ABC ，这两个三角形的对应边平行，理由如下：84b ak b a =⎧⎨+=-+⎩
48
a k a
b --⎧=⎪⎨⎪=⎩4a a -+4a a
-+84a a +84a a +84a
a +84a a +84a a +644a a +84a a +84a a +644a a +
如图所示，
在△AOC 和△A'OC'中，
，∴△AOC ≌△A'OC'（SAS ），
∴AC=A'C'，
同理可得△BOC ≌△B'OC'，△AOB ≌△A'OB'，
∴BC=B'C'，AB=A'B'，
在△ABC 和△A'B'C'中，
，∴△ABC ≌△A'B'C'（SSS ），
∵△AOC ≌△A'OC'，
∴∠CAO=∠C'A'O ，
∴AC ∥A'C'，
同理可得AB ∥A'B'，BC ∥B'C'．
20．
解：（1
）证明：''''OA OA AOC A OC CO C O =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
''''''AB A B BC B C AC A C =⎧⎪=⎨⎪=⎩
//DF AC
180A AFD ∴∠+∠=︒
FDE A
∠=∠ 180FDE AFD ∴∠+∠=︒
//DE AB
∴
（2）解：
21．
解：（1）∵EF⊥DF
∴∠EFB+∠DFC=90°
∵∠B=90°
∴∠BEF+∠EFB=90°
∴∠DFC=∠BEF
∵∠DFC=∠A
∴∠BEF=∠A
∴AD∥EF
∵∠EFD=90°
∴∠ADF=90°
∴AD⊥DF
（2）不变，∠O=45°
延长EF于OD交于H
，
//
DF AC
A BFD
∴∠=∠
//
DE AB
180
A AED
∴∠+∠=︒
180
BFD AED
∴∠+∠=︒
40
AED BFD
∠=∠+︒
()
40180 BFD BFD
∴∠+∠+︒=︒
70
BFD
∴∠=︒
在△OEH 中，∠EHD=∠OEH+∠O
在△DFH 中，∠EFD=∠EHD+∠FDO
∴ ∠EFD=∠FDO+∠OEH+∠O
∵∠EFD=90°
∴∠FDO+∠OEH+∠O=90°
∵∠B=∠C=90°，且∠EFD=90°
∴∠BEF+∠FDC=90°
∵OE ，OD 分别为∠BEF 和∠FDC 的角平分线
∴∠FDO+∠OEH=45°
∴∠O=45°
22．
解：（1）证明：延长交于点G ，如图，
∴，
∵，
∴，
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
（2）解：延长交于点K ，交于O ，连接，如图，∴（三角形外角定理），
（对顶角相等），
（三角形外角定理），
∴（等量代换），
又∵（已知）
，
BC MN ACB CAG AGC ∠=∠+∠ACB NAC CBQ ∠=∠+∠CAG AGC ∠+∠=NAC CBQ ∠+∠AGC CBQ ∠=∠MN PQ ∥BC MN AD DK ACB CAO AOC ∠=∠+∠AOC KOD ∠=∠KOD OBD ODB ∠=∠+∠ACB CAO OBD ODB ∠=∠+∠+∠2ACB ODB ∠=∠
∴（等量代换），
∵射线分别平分和，
∴（角平分线定义），（角平分线定义），∵，，
∴，
∵，
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
，
，
即．
23．
解：（1）如图 中，
，，，
．
（2）如图中，当点在线段上时，
，
CAO OBD ODB ∠+∠=∠,AE BD MAC ∠CBQ ∠EAC MAE ∠=∠OBD DBQ ∠=∠CBQ CBD DBQ ∠=∠+∠OBD DBQ ∠=∠CBQ CBD OBD ∠=∠+∠MN PQ ∥CEA CBQ ∠=∠2ACB NAC CEA ODB ∠=∠+∠=∠2ACB NAC CBQ ODB ∠=∠+∠=∠2NAC CBD OBD ODB ∠+∠+∠=∠CAO OBD ODB ∠+∠=∠22NAC CBD OBD CAO OBD ∠+∠+∠=∠+∠2NAC CAO ∠=∠CAN CAO OAK ∠=∠+∠2CAO OAK CAO ∠+∠=∠OAK CAO ∠=∠EAC MAE ∠=∠180EAC MAE CAO OAK ︒∠+∠+∠+∠=2()180EAC CAO ∠+∠=︒90EAC CAO ︒∠+∠=90EAD ∠=︒1ADC ABC BCD ∠=∠+∠ 105ABC ∠= 30BCD ∠= 135ADC ∠∴= 1D AB ADC ABC BCD ∠=∠+∠
如图中，当点在线段的延长线上时，，如图中，当点在线段的延长线上时，．24．
解：（1），，，
平分，
，
；
（2）如图1，过点作，交的延长线于，，，点为中点，
，
，
，，
在中，，，，
；
（3）如图2，延长，交于点
，2D AB ABC ADC BCD ∠=∠+∠3D BA 180ADC ABC BCD ∠+∠+∠= 40ABC ∠=︒ 80C ∠=︒60BAC ∴∠=︒AD BAC ∠30BAD CAD ∴∠=∠=︒3080110ADB DAC C ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒A AM BC ∥BE M M CBE ∴∠=∠MAE BCE ∠=∠ E AC AE CE ∴=(AAS)AEM CEB ∴≅V V 12AM BC ∴==BE EM =ABM V 10AB =AM AB BM AB AM -<<+2222BE ∴<<111BE ∴<<AC BH G
，，，，，，，，，
，当时，有最大值，即有最大值，
的最大值
．BAH CAH ∠=∠ AH AH =90AHB AHG ∠=∠=︒(SAS)ABH AGH ∴≅V V AB AG ∴=BH HG =Δ1122BFH AEF ABH ABE ABG ABC S S S S S S -=-=-V V V V V 1211()22ABG ABC BCG S S S S S ∴-=⨯-=V V V 4AB AC -= 4AG AC CG ∴-==∴BC AC ⊥BCG S △12S S -12S S ∴-114121222=⨯⨯⨯=。