上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[3]

上海市华师大二附中 高三年级数学综合练习[3]
一、填空题 (本大题满分48分) 本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．已知集合{|||2,M x x x =≤∈R },{|N x x =∈N ﹡
}，那么M N = ． 2．在ABC ∆中，“3
A π=
”是“sin A =”的 条件．
3．若函数x
y a =在[1,0]-上的的最大值与最小值的和为3，则a = ． 4．设函数2
211()()log 221x x x f x x x
--=
++++的反函数为1
()f x -，则函数1()y f x -=的图象与x 轴的交点坐标是 ．
5. 设数列{}n a 是等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且32n
n S t =-⋅，那么t = ．
6
．若sin(
)242
x π
π+=
，(2,2)x ∈-，则x = ． 7．若函数1,0
()1,0
x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式()2x f x x ⋅+≤的解集是 ．
8．现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏．小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步：分发左、
中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．这时，小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数．你认为中间一堆牌的张数是 ．
9．若无穷等比数列{}n a 的所有项的和是2，则数列{}n a 的一个通项公式是n a = ．
10．已知函数()y f x =是偶函数，当0x >时，4()f x x x
=+；当[3,1]x ∈--时，记()f x 的最大值为m ，
最小值为n ，则m n -= ．
11．已知函数()sin f x x =，()sin()2
g x x π=-，直线x m =与()f x 、()g x 的图象分别交于M 、N 点，
则||MN 的最大值是 ． 12．已知函数13
1()log (31)2x
f x abx =++
为偶函数，()22
x x a b
g x +=+为奇函数，其中a 、b 为常数，则2
2
3
3
100100()()()()a b a b a b a b ++++++
++= ．
二、选择题 (本大题满分16分) 本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且
只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号，选对得4分，不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内)，一律得零分。

13．若集合a c b a S }(,,{=、b 、c ∈R ）中三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能．．．
是 （ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
14．函数)(x f 对任意实数x 都有)1()(+<x f x f ，那么)(x f 在实数集R 上是（ ） A ．增函数 B ．没有单调减区间 C ．可能存在单调增区间，也可能不存在单调增区间 D ．没有单调增区间
15．已知农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成．2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工
资性收入为1800元，其他收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以6 %的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（ ）
A ．4200元～4400元
B ．4400元～4600元
C ．4600元～4800元
D ．4800元～5000元
16．已知函数()y f x =的图象如右图,则函数(
)sin 2
y f x x π
=-⋅在[0,]π上的大致图象为 ( )
三．解答题（本大题满分86分,共有6道大题，解答下列各题必须写出必要的步骤） 17．（本题满分12分）
解关于x 的不等式)2(log 2])4(4[log -<-+x a x a a ，其中(0,1)a ∈.
18．（本题满分12分）
已知函数2
()3cos cos (0)f x x x x ωωωω⋅->的最小正周期2
T π=．
(Ⅰ) 求实数ω的值；
(Ⅱ) 若x 是ABC ∆的最小内角，求函数()f x 的值域．
x
O
2
π-1
-y
1
()
f x 2
π
运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤100x ≤（单位：千米/小
时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油)360
2(2
x +升，司机的工资是每小时14元．
（Ⅰ）求这次行车总费用y 关于x 的表达式；
（Ⅱ）当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．（精确小数点后两位）
20．（本题满分14分）
集合A 是由具备下列性质的函数)(x f 组成的：
(1) 函数)(x f 的定义域是[0,)+∞； (2) 函数)(x f 的值域是[2,4)-；
(3) 函数)(x f 在[0,)+∞上是增函数．试分别探究下列两小题：
（Ⅰ）判断函数1()2(0)f x x =≥，及21()46()(0)2
x f x x =-⋅≥是否属于集合A ？并简要说明理由． （Ⅱ）对于（I ）中你认为属于集合A 的函数)(x f ，不等式)1(2)2()(+<++x f x f x f ，是否对于任意
的0≥x 总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．
已知：*x ∈N ，*y ∈N ，且 211n x y
+=（*
n ∈N ）．
（Ⅰ）当3n =时，求x y +的最小值及此时的x 、y 的值；
（Ⅱ）若n *
∈N ，当x y +取最小值时，记n a x =，n b y =，求n a ，n b ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设12n n S a a a =+++，12n n T b b b =+++，试求lim
n
n n
T n S →∞⋅的值．
注:2
2
2
21
123(1)(21)6
n n n n +++
+=++.
22．（本题满分18分）
已知二次函数2
()f x ax x =+（a ∈R ，a ≠0）．
（Ⅰ）当０＜a ＜1
2时，(sin )f x （x ∈Ｒ）的最大值为54
，求()f x 的最小值．
（Ⅱ）如果x ∈[0，1]时，总有|()f x |1≤．试求a 的取值范围．
（Ⅲ）令1=a ，当[,1]()x n n n *
∈+∈N 时，()f x 的所有整数值的个数为()g n ，求数列()
{
}2
n g n 的前n 项的和n T ．
上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[3]
参考答案
1． {1,2} 2．充分不必要 3．1
2
4．(2,0)． 5. 3． 6．0,1． 7．(,1]-∞ 8．5． 9．1
1()
2
n -． 10．1． 11
12．1-．
13．D 14．C 15．B 16．A
17．解：∵ )2(log 2])4(4[log -<-+x a x a a ∴ 24(4)0
204(4)(2)x a x x a x +->⎧⎪->⎨
⎪+->-⎩
(10<<a ) ， ∴ 442
a x a x -⎧>⎪⎨⎪>⎩ ∴不等式的解集为}42{<<x x 。

18．
解: (Ⅰ) 因为1
()sin 2(1cos 2)22f x x x ωω=-+1sin(2)62
x πω=--， 所以 222
T ππ
ω=
=, 2ω∴=. (Ⅱ) 因为x 是ABC ∆的最小内角，所以(0,
]3x π
∈,又1()sin(4)62f x x π=--,所以1
()[1,]2
f x ∈-. 19．解：（Ⅰ）设行车所用时间为)(130h x
t = ,2
13014130
2(2),[50.100].360x y x x x ⨯=⨯⨯++∈
所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是130182130,[50.100].360
y x x x
⨯⨯=+∈
（或：]100.50[,18
132340∈+=x x x y ）
（Ⅱ）16.821026360
130
218130≈≥⨯+⨯=x x y ，仅当
88.561018,360130218130≈=⨯=⨯x x x 即时，上述不等式中等号成立
答：当x 约为56.88km/h 时，这次行车的总费用最低，最低费用的值约为82.16元. 20． 解：（1）函数2)(1-=
x x f 不属于集合A. 因为1()f x 的值域是[2,)-+∞,所以函数2
)(1-=x x f 不属于集合A.(或1490,(49)54x f =>=>当时，不满足条件.)
x x f )2
1
(64)(2⋅-=(0)x ≥在集合A 中, 因为: ① 函数2()f x 的定义域是[0,)+∞；② 函数2()f x 的值
域是[2,4)-；③ 函数2()f x 在[0,)+∞上是增函数．
（2）0)4
1
()21(6)1(2)2()(<-⋅=+-++x x f x f x f ，
)1(2)2()(+<++∴x f x f x f 不等式对于任意的0≥x 总成立.
21．解: （Ⅰ）19
1x y +=, 199()()1016y x x y x y x y x y
∴+=++=++≥, 当且仅当9y x
x y =,即412x y =⎧⎨=⎩时,取等号. 所以,当412
x y =⎧⎨=⎩时, x y +的最小值为16. （Ⅱ）
211
n x y
+=, 222
21()()1(1)n y n x x y x y n n x y x y ∴+=++=+++≥+,
当且仅当2y n x
x y +,即1(1)x n y n n =+⎧⎨=+⎩
时,取等号. 所以,1n a n =+, (1)n b n n =+.
（Ⅲ）因为12n n S a a a =+++ 1
23(1)(3)2
n n n =++++=+,
12n n T b b b =+++2222
(11)(22)(33)()n n =++++++++
222
(123)(12)n n =++++++++(1)1(1)(21)26
n n n n n +=+++
1
(1)(2)3n n n =++ 所以2lim 3n n n
T n S →∞=⋅.
22． 解：⑴ 由210<<a 知121-<-a 故当1sin =x 时()f x 取得最大值为4
5
，
即()()()124
1414145112
2-+=+=∴=∴=+=x x x x f a a f ，所以()f x 的最小值为1-；
⑵ 由()1≤x f 得,12≤+x ax 112
≤+≤-x ax 对于任意[]1,0∈x 恒成立，
当0=x 时，()0=x f 使()1≤x f 成立；
当0≠x 时，有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--≥-
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-≤412111141
211112
22
2x x x a x x x a 对于任意的(]1,0∈x 恒成立；(]111,0≥∴∈x x ，则041
2112
≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ,故要使①式成立，则有0≤a ，
又00<∴≠a a ；又24
1
2112
-≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x ，则有2-≥a ，综上所述：02<≤-a ；
⑶ 当1=a 时，()x ax x f +=2
，则此二次函数的对称轴为2
1-=x ，开口向上，
故()x f 在[]1,+n n 上为单调递增函数，且当1,+=n n x 时，()()1,+n f n f 均为整数，
故()()()()()()*
∈+=+--+++=+-+=N n n n n n n n f n f n g 3
2111112
2
，
则数列()⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n n g 2的通项公式为()2322n n g n n +=，故n n n n n T 232212292725132+++++++=- ① 又14322
3221229272521++++++++=n n
n n n T ② 由①—②得113227227232212121
22521+++-=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=n n n n n n T .
27
72n n
n T +∴=-
① ②。