(浙江专版)高中数学课时跟踪检测(五)数列的概念与简单表示法新人教A版必修5

课时跟踪检测（五） 数列的概念与简单表示法
层级一学业水平达标
1•有下面四个结论：
① 数列可以看作是一个定义在正整数集 （或它的有限子集）上的函数；
② 数列的项数一定是无限的； ③ 数列的通项公式的形式是唯一的； ④ 数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15 ，…不存在通项公式.
其中正确的是（ ）
A.
①
B.①②
C.③④
D.②④
解析：选A 结合数列的定义与函数的概念可知， ①正确；有穷数列的项数就是有限的,
因此②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一， ③错误；数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15
存在通项公式，④错误•故选
A.
2. 下列说法正确的是（
）
A.
数列1,3,5,7与数集｛1,3,5,7｝是一样的
B. 数列1,2,3与数列3,2,1是相同的
1
C 数列1+n 是递增数列
是摆动数列
解析：选D 数列是有序的，而数集是无序的，所以 A , B 不正确；选项 C 中的数列是
递减数列；选项 D 中的数列是摆动数列.
3. 数列｛a n ｝中，a = 3n -
1
，则a 2等于（
）
A. 2
B. 3
C. 9
D. 32
解析：选B 因为a n = 3 1,所以a 2 = 3 1 = 3.
D.数列 4. 数列
…的一个通项公式是（ A. a n =
n -2 n
C. a n =
n -1 n +1 a n = n -2 n + 2
解析：选C 已知数列可化为：0,
a n =
12 3 n
5. 已知数列--~,^, ，则0.96是该数列的（）
2 3 4 n 十1
解析：选C 由n^=0.96，解得n = 24.
6. ___________________________________________________________ 已知数列Q 2,寸5, 2迟，寸11,…，贝y 2西是该数列的第 ___________________________________ 项. 解析：a i = “./2, a 2 =* 5, a 3=j 8, a 4=”：11, •'•a n = ：J 3 n — 1.
由 3n — 1 = 2 5? 3n — 1 = 20? n = 7, • 2 5是该数列的第7项. 答案：7
7.数列a , b , a , b ,…的一个通项公式是
解
析： a + b a — b a + b a — b a + b n +1 a —
b
a = 2 + 2 ,
b = 2 2 ，故 a n = 2 + ( 1) 2 答案： a + b n +
1 a — b
2 + ( —
1) 2
&已知数列｛a n ｝的通项公式a n = 19— 2n ,则使a n >0成立的最大正整数 n 的值为
__________ 19 解析：由 a n = 19 — 2n >0，得 n v~2・
T n € N ,• n w 9.
答案：9
9•观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： A.第20项 C.第24项
B .第22项 D .第26项
(3)2,1
3 12'
_5 12’ 3' ，2'
3 9 ⑷ 2, 4,
65 16'
解：（1）根据观察：分母的最小公倍数12,把各项都改写成以 12为分母的分数，则
口 号 1
2 3 4
J J J
J
9 8 7
12
12 12 -
5 6
J J 5 4 12 12
于是应填12,而分子恰为10减序号, 故应填2,通项公式为a n =卫1尹
.17 '16+ 1
15
迺 ^/25+1
莎 _ 25- 1， 仰寸36+ 1 药=36- 1
只要按上面形式把原数改写， 便可发现各项与序号的对应关系：
分子为序号加1的平方
通项公式为a n =
I a n = n + 尹
与1的和的算术平方根，分母为序号加 1的平方与1
的差.故应填-10,
8
⑶因为2= 1, 1 = 2, 1 2 2
-，所以数列缺少部分为 2
3数列的通项公式为 3
2 a n =-
n
(4)先将原数列变形为 1 1 1
2，24,
1 4— ,16’ 1
…，所以应填38,数列的通项公式为
10.数列｛a n｝中，a1= a, a n+1 =
2a n
1 + a n
,写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律,
解：••• a i= a,
2 a n
a n + 1 =
1 + a
2a 二a2=后，
2a
2 X ----
2a2 1 + a 4a
a3 = = = ，同理：
1 + a
2 2a 1 + 3a
1 + -
8a
a4=石aa，观察规律：an
2n-1• a
1+ 2n-1- 1 a.
层级二应试能力达标
1 .已知数列｛a n｝的通项公式a n= n+1贝U a n •a n + 1 •a n+2等于()
n
A.n+2
写出该数列的一个通项公式.
C.
n + 1 n ±2
D.n±J n + 3
解析：选B
n n +1 n + 2
n
时an
+
「an +
2
= n+i • n+^ • n+^
n + 3故选A. B.
2. 数列1,
5 7 9
z,乔,—石，…的一个通项公式是 8 15 24
A. a n = ( 一 1)
+
1
2n
±!(n € N)
n + n' 丿
B. a n
= (- 1)
-1
2
^(n € N) n + 3n
c. a n = (— 1)
+
1
21—1
(n € N)
n+2n'
)
D. a n = ( — 1) —!
2 n + 1
*
一 E n € N)
3
解析：选D A 项中a= 2, B 项中
a = 3, D 项中a = 1,因此首先排除A
B. 3n
a 1 = 4, c 项中 通过观察可以发现：第 n 个图形中，火柴棒的根数为 （
5. ________________________________________________________________________ 数列 1,1 + 2+ 1,1 + 2 + 3 + 2+ 1,1 + 2+ 3 + 4+ 3 + 2+ 1,…其通项公式为 ____________________
解析：1 = 12
,
2
1 + 2+ 1 = 4=
2 ,
2
1 +
2 +
3 + 2+ 1= 9 = 3 , 1 + 2 + 3 + 4+ 3+ 2 + 1 = 16= 42
,
观察归纳出通项公式为 a n = n 2
.
答案：a n = n
6•如图(1)是第七届国际数学教育大会 (简称ICME-7)的会徽图案，会徽的主体图案是 由如图 ⑵ 的一连串直角三角形演化而成的， 其中0A = AA = 缶=•••= AA = 1,如果把图2
中的直角三角形继续作下去，记
OA, 0A ,…，0A,…的长度构成数列｛a n ｝，则此数列的通
项公式为 a n= ________
解析：因为 OA = 1, OA =“』2, OA =“』3, =3，…，an=“J n .
答案：.n 7.
已知数列｛a n ｝的通项公式为a n = p n
+ q (p , q € R)，且a — *, a 2=- |.
(1)求｛a n ｝的通项公式；
⑵—255是｛a n ｝中的第几项?
(3)该数列是递增数列还是递减数列? 解：(1) ••• a n = p n
+ q,又 a 1= — 2,
1
p + q = —了，
1 2 p =；,
•••
解得 2
2
3
—彳 p
+
q
=—
4，
q
=—
II ，
II n
因此｛a n ｝的通项公式是a n = 2 — 1.
3
a2
= —
4，
人255 刚1 n 255
(2)令an=_ 256,即2 —1= _ 256，
1 1 255
所以 =齐^,解得n= 8.故一刁花是｛a n｝中的第8项.
2 256 256
1 n1 n
⑶由于a n= 2 n- 1，且2 n随n的增大而减小，因此a n的值随n的增大而减小,
是递减数列.
(1) 求这个数列的第10项；
(2) 1981是不是该数列中的项，为什么?
⑶求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
1 2
(4)在区间3，3内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由.
. 9n —9n+ 2
解：(1)设a n= f(n) = 9n2— 1 -
3n—1 3n—2 _ 3n—2
3n —1 3n+1 ~ _ 3n+ 1
28 令n = 10,得第10 项a10= f(10) =
3 1
e * 3
又n C N」0<1 —市<1，
••• 0<a n<1. •••数列中的各项都在区间(0,1) 内.
人 1 3n— 2 2
⑷令3<an=亍<3，
7
n>；,
3n+ 1<9 n —6, 6
9n—6<6 n+ 2, 8
临.故{a n}
&已知数列
2
9n - 9n+ 2
2
3n—2 3n+ 1
98 而，
得9n= 300.
此方程无正整数解，所以
98
10
1
不是该数列中的项.
⑶证明: a n =3n —
2
3n+ 1
3
3n+
1，
•••当且仅
1 2 4
n=2时，上式成立，故在区间空，3内有数列中的项，且只有一项为a2= 7.
A. 3n—1
C. 3n+ 1
D. 3（n+ 1）
解析：选C通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4 + 3 根；第3个图形中，火柴棒有4 + 3+ 3= 4+ 3X2根；第4个图形中，火柴棒有4 + 3+ 3 + 3 =4 + 3X3根；第5个图形中，火柴棒有4 + 3 + 3+ 3 + 3= 4+ 3X4根，…，可以发现，从第二项起，每一项与前一项的差都等于3,即a2—a1 = 3,3—决=3, a4—a3= 3, a z—a4= 3,…，
a n —a n—1= 3（n》2），把上面的式子累加，则可得第n个图形中，a n=4 + 3（n —1）= 3n+
1（根）.
n—1
4. 已知数列｛a n｝的通项公式是a n= ，那
么这个数列是（）
n+ 1
A.递增数列 B .递减数列
C.常数列 D .摆动数列
解析：选 A a n= ^+1 = 1 —当n越大，越小，贝U a n越大，故该数列是递增数列.。