青岛科技大学高等代数考研真题试题2008——2012、2016、2017年

青岛科技大学2008年研究生入学考试试卷
考试科目：高等代数（答案全部写在答题纸上）
一、(30分)
1设是三阶方阵，具有三个不同的(非零)特征值：、、，依次对应的特征向量为A 1λ2λ3λ、、，令，试证：、、线性无关。

1α2α3α123βααα=++β()A β2()A β2 设是维线性空间，是上的线性变换，是的一个重特征值， 是对n V n σn V 0λσk 0V λ0λ应的特征子空间，试证：。

（这里表示子空间的维数）
0dim V k λ≤0dim V λ二、(30分)
1 设，求。

001101010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
100A 2 设，一元多项式，求，102011010B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
1187543()2283174f x x x x x x x =+-+++-()f B 并求。

1(())f B -三、(30分)
试证：1 当、是两个阶方阵时，有 A B n n n E AB E BA λλ-=- 2 当是矩阵，是矩阵()时有： A m n ⨯B n m ⨯n m >n m n m E BA E AB λλλ--=-四、(30分)
试证 矩阵方程有解当且仅当 AX B =()()r A r A B =
五、(20分)
设阶方阵，，，试求的特征值，的最小多项式。

n ()ij A a =1ij a =,1,2,,i j n = A A A 是否与对角阵相似？若相似求出与其相似的对角阵。

六、(10分)
给定方程组(1)与向量， 12341
2342229242312x x x x x x x x -++=⎧⎨-++=⎩(4,2,5,1)α=-
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二OO 九年硕士研究生入学考试试题
考试科目：高等代数
注意事项：1．本试卷共 5 道大题（共计 10 个小题），满分150 分；
2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷上或草纸上均无效。

要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划；
3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。

﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡ 一（30分）
1. 试证: 整除多项式当且仅当的奇次项系数之和 1x +f()x f()x 等于偶数项系数之和.
2. 把多项式 222222
123121213132323f(,,)x x x x x x x x x x x x x x x =+++++用初等对称多项式表示出来．
二 （40分）
1. 设是非零实数, 且 ， 1234,,,a a a a ()i j a a i j ≠≠计算行列式 . 1
2342
222123444441234
1111D a a a a a a a a a a a a =2. 设是4维线性空间的一组基，已知线性变换
1234,,,εεεε4V σ在这组基下的矩阵为
1021121312552212A ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
（1）求线性变换的值域与核.
σ()4V σ1(0)σ-（2）在的核中取一组基，把它扩充成的一组基，求
σ1
(0)σ-4V σ在这组基下的表示矩阵.
三（40分）
1. 设是一组维向量，试证它们线性无关的充分必 12,,,n ααα n 要条件是任一个维向量均可由它们线性表出．
n 2. 设矩阵，矩阵，试证：
A n m ⨯是
B m n ⨯是 .
n m E AB E BA -=-
四（30分）
1. 设级方阵，试证明：若 ，则
A n 是2A A = .
rank rank (E)A A n +-=2. 试证：如果两个级矩阵与的行向量组是同一个线性方程 r A C 组的基础解系，则必存在一个级的满秩矩阵使得. r B A BC =
五（10分）
1. 设为整系数多项式且 为奇数， 32
f()x x bx cx d =+++bd cd +试证：在有理数域上不可约.
f()x 2. 设，把矩阵表示成 00λ≠01000λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭与型初等矩阵的乘积. 101x ⎛⎫ ⎪⎝⎭101x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
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二O 一O 年硕士研究生入学考试试题
考试科目：高等代数
注意事项：1．本试卷共5 道大题（共计 7个小题），满分150 分；
2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题
卷上或草纸上均无效。

要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划；
3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。

﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡
一． （30分）试证：设向量组①:线性无关，并且可由向量组②： r ααα,,21 ，
线性表出，则
s βββ,,,21 1).；
s r ≤2).并且可适当地排列向量组②中向量的次序，使得①替换②中前个向量后得到r 的向量组③:与向量组②等价。

s r r ββααα,,,,,,121 +二． （30分）
1. 设都是阶方阵，且，,试证。

D C B A ,,,n 0≠A CA AC =CB AD D C B A
-=2. 试证如果两个阶矩阵与的行向量组分别构成同一个齐次线性方程组的基r A C 础解系，则必定存在一个阶满秩阵,使得。

r B BC A =三． （30分）
1. 设是阶方阵(),证明：=。

A n 3≥n ()**A
A A n 2-2. 设是一个矩阵，,证明相似于一个对角矩阵
A n n ⨯A A =2A
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡00111 四． （30分）试证：如果已知既约分数是整系数多项式的根，则，q
p )(x f )1(|f p q -，且对任何的整数有。

)1(|-+f p q m )(|m f p mq -五． （30分）设是级实对称矩阵，且，证明：存在正交矩阵使得
A n E A =2T 。

⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=--r n r E E AT T 001 第 1 页（共 1 页）
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二O 一一年硕士研究生入学考试试题
考试科目：高等代数
注意事项：1．本试卷共7道大题（共7道小题），满分 150 分；
2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷
上或草纸上均无效。

要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划；
3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。

﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡ 一（20分）
证明两个数字矩阵,相似的必要条件是它们有相同的特征多项式和相同的最小多项A B 式.
二（20分）
设,,为任意三个矩阵,乘积有意义,求证：
A B C ABC
)()()()(B r BC r AB r ABC r -+≥三（20分）
,分别是和矩阵,证明. A B m n ⨯n m ⨯||||BA E AB E E A
B E m n n
m -=-=四（20分） 设为元实二次型,如果有两个向量,,使 AX X x x x f n '
21),,,(= n 1X n R X ∈2证明存在两个线性无关的向量,使.0)(,0)(21<>X f X f n R Y Y ∈21,
.0)()(21==Y f Y f 五（20分）
设是复数域上的维线性空间，A,B 是的线性变换，且AB=BA ，证明：
V n V 如果是A 的一个特征值，那么（特征子空间）是B 的不变子空间；
)10λ0λV A,B 至少有一个公共的特征向量。

)2六（20分）
求矩阵的不变因子。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+---=--12211000000010001000a a a a a A n n n λλλλ
λ 七（30分） 设是复数域上的维线性空间，而线性变换A 在基下的矩阵是一若尔V n 12,,,n εεε 当块。

证明：
中包含的A 不变子空间只有自身；
)1V 1εV 中任一非零A 不变子空间都包含；
)2V n ε不能分解成两个非平凡的A 不变子空间的直和。

)3V
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二○一二年硕士研究生入学考试试题
考试科目：高等代数
注意事项：1．本试卷共 七 道大题，满分 150 分；
2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷
上或草纸上均无效。

要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划；
3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。

﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡ 一（20分）
求矩阵的不变因子。

-λ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+---2345100010001λλλλ二（20分）
设是数域上矩阵, 是数域上矩阵，试证：
A P m n ⨯
B P s m ⨯.
)](),(min[)(B r A r AB r ≤三（20分）
,分别是和矩阵,若，证明：
A B m n ⨯n m ⨯0≠λ.
||||BA E AB E m m n n -=--λλλ四（20分）
证明：秩等于的对称矩阵可以表成个秩等于1的对称矩阵之和.
r r 五（20分）
设，且，证明：
)()()(),()()(11x dg x cf x g x bg x af x f +=+=0≠-bc ad .
))(),(())(),((11x g x f x g x f =六（20分）
假设向量可以由向量组线性表出，证明：表示法是唯一的充分必要条件是βr ααα,,,21
线性无关.
r ααα,,,21 七（30分）
设是复数域上的维线性空间，而线性变换A 在基下的矩阵是一若尔V n 12,,,n εεε 当块。

证明
中包含的A 不变子空间只有自身；
)1V 1εV 中任一非零A 不变子空间都包含；
)2V n ε不能分解成两个非平凡的A 不变子空间的直和。

)3V
{}
Sβ仍是线性无关的；1h
b c 11
在不同基下的矩阵合同；．线性变换将线性相关向量组变为线性相关向量组；
0001αβ
+
⨯矩阵，证明：如果2A E
n n
=，那么。