沪科版数学九上《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》(第5课时)word导学案

第5课时 用待定系数法求二次函数的解析式
1．已知二次函数图象的顶点坐标为(h ，k )
时，通常设待求二次函数的解析式为顶点式y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)．
2．已知二次函数图象上三个点的坐标时，通常设待求二次函数的解析式为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．
3．已知二次函数的图象经过x 轴上两定点(x 1,0)与(x 2,0)时，通常设待求二次函数的解析式为交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．
4．已知二次函数的图象经过点(1,0)、(0，－3)、(－1，－4)，则此二次函数的解析式为____________．
答案：y ＝x 2＋2x －3
5．已知二次函数图象的顶点是(－1,2)，且过点⎝⎛⎭
⎫0，3
2.求二次函数的解析式． 解：依题意，设此二次函数的解析式为y ＝a (x ＋1)2＋2(a ≠0)，又点⎝⎛⎭
⎫0，3
2在它的图象
上，可得32＝a ＋2，解得a ＝－
1
2
.
∴该二次函数的解析式为y ＝－1
2
(x ＋1)2＋2.
1．已知三点，求二次函数的解析式
【例1】 一抛物线与x 轴的交点是A (－2,0)、B (1,0)，且经过点C (2,8)． (1)求该抛物线的解析式 (2)求该抛物线的顶点坐标．
解：(1)设这个抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由已知，抛物线过A (－2,0)，B (1,0)，C (2,8)三点，得⎩⎪⎨⎪
⎧
4a －2b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝0，
4a ＋2b ＋c ＝8，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝2，
c ＝－4.
∴所求抛物线的解析式为y ＝2x 2＋2x －4.
(2)y ＝2x 2＋2x －4＝2(x 2＋x －2)＝2⎝⎛⎭⎫x ＋122－9
2，∴该抛物线的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－12
，－92. 针对性训练
见当堂检测·基础达标栏目第4题
2．由图象信息，求二次函数的解析式
【例2】 如右图，已知二次函数y ＝ax 2－4x ＋c 的图象经过点A 和点B ．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
(3)点P (m ，m )与点Q 均在该函数图象上(其中m ＞0)，且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 到x 轴的距离．
解：(1)由题图可知，抛物线经过点A (－1，－1)、B (3，－9)，将A 、B 两点的坐标分别
代入y ＝ax 2
－4x ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝a ×(－1)2－4×(－1)＋c ，－9＝a ×32
－4×3＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
c ＝－6.
∴该二次函数的表达式为y ＝x 2－4x －6. (2)∵y ＝x 2－4x －6＝(x －2)2－10， ∴对称轴为x ＝2；顶点坐标为(2，－10)． (3)将(m ，m )代入y ＝x 2－4x －6，得 m ＝m 2－4m －6，解得m 1＝－1，m 2＝6. ∵m ＞0，∴m ＝－1不合题意，舍去．∴ m ＝6. ∵点P 与点Q 关于对称轴x ＝2对称， ∴点Q 到x 轴的距离为6.
针对性训练
见当堂检测·基础达标栏目第6题
1．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋11的顶点坐标为(－2,3)，则这个二次函数的解析式为( )．
A ．y ＝x 2＋8x ＋11
B ．y ＝x 2－8x ＋11
C ．y ＝2x 2＋8x ＋11
D ．y ＝2x 2－8x ＋11
答案：C
2．抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点坐标为(－1,0)、(3,0)，则y ＝－2x 2＋bx ＋c 的函数解析式为( )．
A ．y ＝－2x 2－x ＋3
B ．y ＝－2x 2＋4x ＋5
C ．y ＝－2x 2＋4x ＋6
D ．y ＝－2x 2＋4x ＋8 答案：C
3．已知当x ＝1时，二次函数有最大值5，其图象与y 轴交于点(0,3)，那么此函数关系式为( )．
A ．y ＝－x 2＋2x －3
B ．y ＝－2x 2＋4x ＋3
C ．y ＝x 2－2x ＋3
D ．y ＝2x 2－4x －7
解析：由已知可设所求二次函数为y ＝a (x －1)2＋5，其中a ＜0，又因为图象与y 轴交于点(0,3)，故a ＋5＝3，a ＝－2，所以函数关系式为y ＝－2(x －1)2＋5，即y ＝－2x 2＋4x ＋3. 答案：B
4．小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入 … 1 2 3 4 5 … 输出 … 2 5 10 17 26
若输入的数据是x 时，输出的数据是y ，y 是x 的二次函数，则y 与x 的函数表达式为__________．
解析：设函数表达式为y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，根据题意，得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋
b ＋
c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝5，
9a ＋3b ＋c ＝10.
解得a ＝1，b ＝0，c ＝1.∴解析式为y ＝x 2＋1.
答案：y ＝x 2＋1
5．抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则此抛物线的解析式为__________．
解析：由题图知对称轴为x ＝1，抛物线与x 轴的交点为(3,0)，故另一个交点为(－1,0)，把(3,0)和(－1,0)代入抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c ，得b ＝2，c ＝3.所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.
答案：y ＝－x 2＋2x ＋3
6．已知抛物线y ＝ax 2＋bx 经过点A (－3，－3)和点P (t,0)，且t ≠0.
(1)若该抛物线的对称轴经过点A ，如图，请通过观察图象，指出此时y 的最小值，并写出t 的值；
(2)若t ＝－4，求a 、b 的值，并指出此时抛物线的开口方向； (3)直接写出使该抛物线开口向下的t 的一个值．
解：(1)y min ＝－3，t ＝－6. (2)分别将(－4,0)和(－3，－3)代入y ＝ax 2＋bx ，得
⎩⎪⎨
⎪⎧ 0＝16a －4b ，－3＝9a －3b .解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝4.
所以抛物线开口向上．
(3)－1(答案不唯一)．。